2.1: Ферми
Вступ
Ферма - це збірка довгих струнких конструктивних елементів, які з'єднуються на їх кінцях. Ферми знаходять значне застосування в сучасному будівництві, наприклад, як вежі (див. Рис. 1), мости, риштування тощо Окрім практичного значення як корисних конструкцій, елементи ферм мають розмірну простоту, що допоможе нам далі розширити концепції механіки, введені в модулі справа з одновісним відгуком. Цей модуль також використовуватиме ферми для введення важливих понять у статиці та числовому аналізі, які будуть розширені в наступних модулів до більш загальних проблем.


Приклад2.1.1
Ферми часто використовуються для посилення конструкцій, і більшість людей знайомі з часто дуже складними системами поперечних кріплень, що використовуються в мостах. Кроквяні кріплення, що використовуються для жорсткості веж підвісних мостів проти вигин, важко пропустити, але не всі помічають вертикальні фермові панелі на більшості таких мостів, які служать для посилення жорсткості палуби від деформації згинання та кручення.
Багато читачів побачать дуже відомий фільм, знятий 7 листопада 1940 року Барні Елліоттом з магазину камер у Такомі, штат Вашингтон. Вітер поривав до 42 миль/год того дня, і викликав послідовність вражаючих хвиль і можливого краху мосту Такома звужується (Інтерактивний навчальний відеодиск колапсу Такома Вузький міст доступний з Wiley Educational Software (ISBN 0-471-87320-9).). Цей міст був побудований з використанням відносно коротких двотаврових балок для жорсткості палуби, а не кроквяних панелей, як повідомляється, з естетичних міркувань; мостові конструкції періоду сприяли все більш струнким і витонченим конструкціям. Ще при будівництві міст став добре відомий своєю тривожною тенденцією погойдуватися на вітрі, заробивши йому місцеве прізвисько «Галопуюча Герті».
Ребра жорсткості ферми використовувалися, коли міст був перебудований в 1950 році, і новий міст був вільний від коливань, які призвели до обвалення його попередника. Це хороший приклад одного важливого використання ферм, але це, мабуть, ще кращий приклад цінності обережності та смирення в інженерії. Відповіді на гліб, які часто даються для початкового колапсу - резонансні пориви вітру, вихори фон Кармана тощо - насправді не є задовільними за межами очевидного твердження про те, що колода була недостатньо жорсткою. Навіть сьогодні знаючі інженери сперечаються про дуже складну структурну динаміку. Зрештою, багато невизначеностей існує навіть у дизайні, виконаних із застосуванням дуже сучасних та складних методів. Мудрий дизайнер ніколи не буде повністю довіряти теоретичному результату, створеному комп'ютером чи ні, і максимально скористається досвідом і інтуїцією.
Статичний аналіз сил
Ньютон зауважив, що маса прискорюється відповідно до векторної суми прикладених до неї сил:∑F=ma. (Векторні величини, позначені жирним шрифтом.) У структурах, які закріплені так, щоб запобігти руху, очевидно, немає прискорення, і сили повинні дорівнювати нулю. Це векторне рівняння має стільки скалярних складових, скільки розмірність задачі; для двовимірних випадків ми маємо:
∑Fx=0
∑Fy=0
деFx іFy є складовимиF вx іy декартових координатних напрямках. Ці два рівняння, які ми можемо інтерпретувати як стримуючі структуру від поступального руху вy напрямкахx і, дозволяють вирішити не більше двох невідомих сил у структурних задачах. Якщо структура обмежена обертанням, а також перекладом, ми можемо додати рівняння моменту, яке стверджує, що сума моментів або крутних моментів уx−y площині також повинна додаватися до нуля:
∑Mxy=0
Тоді у двох вимірах ми маємо три рівняння статичної рівноваги, які можуть бути використані для вирішення невідомих сил. У трьох вимірах додається третє рівняння сили та ще два рівняння моменту, загалом шість:
∑Fx=0 ∑Mxy=0∑Fy=0 ∑Mxz=0∑Fz=0 ∑Myz=0
Ці рівняння можуть бути застосовані до структури в цілому, або ми можемо (концептуально) видалити шматок конструкції і розглянути сили, що діють на видалений шматок. Ескіз твору, що показує всі сили, що діють на нього, називається діаграмою вільного тіла. Якщо кількість невідомих сил на діаграмі дорівнює або менше кількості наявних рівнянь статичної рівноваги, невідомі можуть бути вирішені простим способом; такі задачі називаються статично детермінантними. Зверніть увагу, що ці рівняння рівноваги нічого не припускають про матеріал, з якого виготовлена структура, тому отримані сили також не залежать від матеріалу.
В аналізах, які будуть розглянуті тут, передбачається, що елементи ферми з'єднуються між собою штифтами або іншими такими з'єднаннями, які дозволяють вільне обертання навколо стику. Як видно на діаграмі вільного тіла на малюнку 2, ця нездатність чинити опір обертанню означає, що сила, що діє на штифтовий шарнір фермового елемента, повинна бути в осьовому напрямку елемента: будь-яка поперечна складова, як правило, спричиняє обертання, і якщо елемент повинен бути в статичній рівновазі сили рівняння моменту поперечна складова зникає. Якщо кінці елементів повинні були бути зварені або болтові, а не просто заколоти, кінцеве з'єднання могло б передавати поперечні зусилля і згинальні моменти в елемент. Така конструкція тоді називалася б рамою, а не фермою, і її аналіз повинен був би включати ефекти згинання. Такі конструкції будуть оброблятися в Модулі на вигин.

Знання того, що сила в кожному кроквяному елементі повинна бути в осьовому напрямку елемента, є ключем до вирішення для елементів сил в фермах, що містять багато елементів. Кожен елемент, що зустрічається на штифтовому з'єднанні, буде тягнути або натискати на штифт залежно від того, чи знаходиться елемент в напрузі або стисненні, і оскільки штифт повинен знаходитися в статичній рівновазі, сума всіх сил елемента, що діють на штифт, повинна дорівнювати силі, яка зовні прикладається до штифта:
∑eFei=Fi
Тут верхнійe індекс вказує на векторну силу, що подається елементом наith штирі в фермі таFi в силі, що зовнішньо прикладається до цього штифта. Підсумовування відбувається по всіх елементах, з'єднаних зі штирем.
Приклад2.1.2
Дуже проста двоелементна ферма, часто зустрічається в шкільних підручниках фізики і показана на малюнку 3, може бути проаналізована таким чином. Інтуїція говорить нам, що верхній елемент, з'єднуючи суглобиA іB, знаходиться в напрузі, а елементBC знаходиться в стисненні. У більш складних завданнях не завжди можна визначити ознаку сили елемента шляхом огляду, але це не має значення. При накресленні діаграм вільного тіла для штирів навантаження можна провести в будь-якому напрямку; якщо припущення виявиться неправильним, рішення дасть негативне значення величини сили.
Невідомі сили на сполучномуB штирі знаходяться в напрямку прикріплених до нього елементів, і оскільки таких сил всього дві, вони можуть бути визначені з двох рівнянь сили статичної рівноваги:

∑Fy=0=+FABsinθ−P⇒FAB=Psinθ
∑Fx=0=−FABcosθ+FBC⇒FBC=FABcosθ=Ptanθ
У більш складних фермах загальний підхід полягає в тому, щоб почати з штифтового з'єднання, що містить не більше двох елементів, що мають невідомі сили, а потім працювати від стику до з'єднання, використовуючи зусилля елемента з попереднього кроку, щоб зменшити кількість невідомих. Розглянемо 6-елементну ферму, показану на малюнку 4, в якій стики і елементи пронумеровані так, як зазначено, при цьому номери елементів фігурують колами. Суглоб 3 є природною відправною точкою, так як тільки силиF2 іF5 здаються невідомими. Як тільки F5 знайдений, аналіз суглоба 5 має тільки силиF4 іF6 як невідомо. Нарешті, діаграма вільного тіла вузла 2 може бути завершена, оскільки тількиF1 іF3 зараз невідомі. Потім аналіз сили завершується.

Часто існує багато способів вирішити такі проблеми, як це, можливо, з деякими легше, ніж інші. Інший підхід може полягати в тому, щоб почати з одного зі стиків біля стіни; тобто стик 1 або стик 4. Проблема, як спочатку зазначено, дає ці суглоби як мають фіксовані зсуви, а не задані сили. Це приклад змішаної крайової задачі, при якій деякі частини кордону мають задані сили, а інші частини мають задані зсуви. Такі задачі, як правило, складніші і вимагають більше математичної інформації для їх вирішення, ніж задачі, що мають тільки той чи інший тип граничної умови. Однак у статично визначених задачах конструкція може бути перетворена в тип тільки навантаження шляхом виклику статичної рівноваги на конструкції в цілому. Потім граничні умови з фіксованим зміщенням замінюються силами реакції, які встановлюються в точках обмеження.

Рівняння моментної рівноваги не були корисними при спільному аналізі, описаному раніше, оскільки окремі елементи не можуть підтримувати моменти. Але як видно на малюнку 5, ми можемо розглянути 6-елементну ферму в цілому і приймати моменти навколо стику 4. Оскільки моменти проти годинникової стрілки є позитивними, це дає
∑M4=0=F1×L−P×2L⇒F1=2P
СилаF1 - це сила, прикладена стіною до стику 1, і це, очевидно, дорівнює силі розтягування в елементі 1. Вертикальної складової цієї сили реакції бути не може, так як сили елемента повинні бути осьовими і тільки елемент 1 підключений до стику 1. При стику 4 сили реакції Rx і Ry можуть діяти в обохy напрямкахx і, так як елемент 3 не перпендикулярний стіні. Ці сили реакції можна знайти, викликаючи горизонтальну і вертикальну рівновагу:
∑Fx=0=−F1+Rx⇒Rx=F1=2P
∑Fy=0=+Ry−P⇒Ry=P
Спільний аналіз тепер можна починати з суглоба 4, оскільки там діють лише дві невідомі сили (див. Рис. Для вертикальної рівновагиF3cos45=P, такF3=√2P. Тоді для горизонтальної рівновагиF6+F3cos45=2P, такF6=P. Тепер рухаючись до суглоба 5, горизонтальна рівновага даєF5cos45=P такF5=F3=√2P, і вертикальна рівновага даєF4=F5cos45 такF4=P. Нарешті, при суглобі 3 горизонтальна рівновага даєF2=F5cos45 такF2=P.

У фактичній конструкції ферми, як тільки сила кожного елемента відома, його площа поперечного перерізу може бути розрахована таким чином, щоб зберегти напругу елемента відповідно доσ=P/A безпечного менше, ніж межа текучості матеріалу. Елементи стиснення, однак, також повинні бути проаналізовані на вигин, оскільки їх співвідношенняEI доL2, як правило, низькі. Навантаження на вигин може бути значно збільшено, закріпивши елемент проти бокового відхилення, і це кріплення очевидно в більшості мостів і кранів. Також кроквяні елементи зазвичай скріплюються зварними або болтовими з'єднаннями, а не штирями. Ці з'єднання можуть нести деякі згинальні моменти, що допомагає жорсткості ферми проти вигин.
прогини
У деяких додатках може бути важливо, щоб ферма була досить жорсткою, щоб зберегти деформації всередині заданих меж. Астрономічні телескопи є прикладом, оскільки відхилення конструкції, що підтримує оптичні вузли, може погіршити фокусуючу здатність приладу. Типова вишка або міст, однак, ймовірно, швидше за все, буде міцністю, а не критичною жорсткістю, тому може здатися, що прогини будуть відносно неважливими. Однак буде видно, що розгляд прогинів необхідний для вирішення великої кількості конструкцій, які не є статично визначеними. Наступні розділи обробляють прогини ферм з обох цих причин.
Геометричний підхід
Після того, як відома осьова сила в кожному кроквяному елементі, деформації окремих елементів слідують безпосередньо за допомогоюδ=PL/AE. Прогин будь-якої точки в фермі потім можна визначити геометрично, посилаючись на вимогу, щоб елементи залишалися закріпленими між собою в місцях їх кріплення. У симетричній двоелементної фермі, показаної на малюнку 7, стикB буде явно відхилятися вниз по вертикалі. Співвідношення міжδ осьовою деформацією елементів і вертикальним прогином суглобаδv потім розглядається як
δv=δcosθ
Тут передбачається, що деформація досить мала, щоб грубі аспекти геометрії були по суті незмінними; в цьому випадку кутθ однаковий до і після прикладання навантаження.

У геометричному аналізі більш складних ферм іноді зручно візуалізувати розкріплення елементів на вибраному стику, дозволяючи елементам подовжуватися або стискатися відповідно до осьової сили, яку вони передають, а потім розгойдуючи їх навколо нерухомого штифтового з'єднання, поки місця штифтів не збігаються знову. Рух незакріплених кінців буде простежувати кругові шляхи, але якщо прогини невеликі, шлях можна наблизити як пряму лінію, перпендикулярну осі елемента. Потім спільну позицію можна обчислити з піфагорієвських відносин.
У більш ранній двоелементної фермі, показаної на малюнку 3, ми малиPAB=P/sinθ іPBC=P/tanθ. Якби штир на стикуB були зняті, прогини елемента були б
δAB=Psinθ(LAE)AB (tension)
δBC=Ptanθ(LAE)BC (compression)
Тоді загальний прогинB суглоба вниз
δv=δ1+δ2=δABsinθ+δBCtanθ
=Psin2θ(LAE)AB+Ptan2θ(LAE)BC
Ці прогини показані на малюнку 8.

Горизонтальний прогинδh штифта обчислити простіше, так як це всього лише стиснення елементаBC:
δh=δBC=Ptanθ(LAE)BC
Енергетичний підхід
Геометричний підхід до аналізу деформації ферми може бути досить стомлюючим, тим більше, що проблеми стають більшими. Багато проблем можна вирішити легше, використовуючи енергію деформації, а не підхід «сила в точці». Загальна енергія деформаціїU в одному пружно навантаженому кроквяному елементі становить
U=∫P dδ
Приріст деформаціїdδ пов'язаний з відповідним збільшенням навантаженняdP на
δ=PLAE⇒dδ=LAEdP
Тоді енергія деформації
U=∫PLAEdP=P2L2AE

Інкрементне збільшення енергії деформації, що відповідає збільшенню деформації,dδ є справедливимdU=Pdδ. Якщо крива силового подовження лінійна, це ідентично збільшенню величини, яка називається додатковою енергією деформації:dUc=δdP. Ці величини зображені на малюнку 9. Тепер розглянемо систему з безліччю з'єднань, що піддаються ряду навантажень, що діють на різних стиках. Якби ми трохи збільшувалиith навантаження, утримуючи всі інші навантаження постійними, збільшення загальної додаткової енергії системи було б
dUc=δidPi
деδi - зміщення, яке відбувалося б в місці розташуванняPi, рухаючись в тому ж напрямку, що і вектор сили дляPi. Перестановка,
δi=∂Uc∂Pi
і так якUc=U:
δi=∂U∂Pi
Отже, зміщення в заданій точці є похідною загальної енергії деформації по відношенню до навантаження, що діє в цій точці. Це забезпечує основу надзвичайно корисного методу аналізу переміщень, відомого як теорема Кастільяно (З тези 1873 року італійського інженера Альберто Кастільяно (1847—1884), в Туринському політехнічному інституті.), який можна констатувати для проблем ферми наступним рецептом:
- Нехай навантаження, прикладене на суглоб, деформація якого шукається, у напрямку бажаної деформації, записується як алгебраїчна змінна, скажімоQ. Якщо навантаження відома чисельно, замініть число на букву. Якщо в потрібному місці і напрямку навантаження немає, поставте туди уявну, яка буде встановлена на нуль в кінці завдання.
- Вирішіть для зусильFi(Q) в кожному кроквяному елементі, кожен з яких може залежати від навантаження,Q призначеної на попередньому етапі.
- Використовуйте ці сили для обчислення енергії деформації для кожного елемента та підсумуйте енергії в кожному елементі, щоб отримати загальну енергію деформації для ферми:
Utot=∑iUi=∑iF2iLi2AiEi
Кожен член цього підсумовування може містити зміннуQ. - Деформація конгруентна доQ, тобто деформація в точці, деQ застосовується і в тому ж напрямкуQ, що і, потім
δQ=∂Utot∂Q=∑iFiLiAiEi∂Fi(Q)∂Q - НавантаженняQ замінюється її числовим значенням, якщо відомо. Або на нуль, якщо це була уявна навантаження в першу чергу.
Застосовуючи цей метод до вертикального прогину двоелементної ферми малюнка 3, завдання вже має силу в необхідному напрямку, прикладену вниз навантаженняP. Сили вже були показаніPAB=P/sinθ іPBC=P/tanθ, тому вертикальний прогин можна записати відразу як
δv=PAB(LAE)AB∂PAB∂P+PBC(LAE)BC∂PBC∂P=Psinθ(LAE)AB1sinθ+Ptanθ(LAE)AB1sinθ+Ptanθ(AEL)BC1tanθ
Це ідентично виразу, отриманому з геометричних міркувань. Енергетичний метод не врятував занадто багато алгебраїчних кроків у цьому випадку, але уникав необхідності візуалізувати та ідеалізувати переміщення геометрично.
Якщо потрібне горизонтальне зміщення наB стику, метод вимагає, щоб в цій точці існувала горизонтальна сила. Одного не дано, тому ми розміщуємо там уявний, скажімоQ. Потім ферма повторно аналізується статично, щоб знайти, як сили елемента впливають на цю нову силуQ. Сила верхнього елемента така,PAB=P/sinθ як і раніше, а сила нижнього елемента стаєPBC=P/tanθ−Q. Повторюючи процес Кастільяно, але тепер диференціюючи щодоQ
δh=PAB(LAE)AB∂PAB∂P+PBC(LAE)BC∂PBC∂P
=Psinθ(LAE)AB⋅0+(Ptanθ−Q)(LAE)BC(−1)
Перший термін зникає при диференціації, оскількиQ не з'явився у виразі forPAB. Це спосіб помітити, що горизонтальний прогин визначається повністю стисненням елементаBC. Після встановленняQ=O кінцевий результат
δh=−Ptanθ(AEL)BC
як і раніше.
Приклад2.1.3
Розглянемо 6-елементну ферму малюнка 4, сили окремих елементів якої були знайдені раніше діаграмами вільного тіла. Шукаємо вертикальний прогин вузла 3, який конгруентний силіP. Використовуючи метод Кастільяно, цей прогин є похідною загальної енергії деформації по відношенню доP. Аналогічно, ми можемо диференціювати енергію деформації кожного елемента по відношенню доP окремо, а потім додати внески кожного елемента для отримання кінцевого результату:
δP=∂∂P∑iF2iLi2AiEi=∑i(FiLiAiEi∂Fi∂P)
Для систематизації такого підходу ми можемо сформувати таблицю необхідних параметрів наступним чином:
i | Fi | LiAiEi | \boldsymbol{\dfrac{\partial F_i}{\partial P} | FiLiAiEi∂Fi∂P |
1 | 2P | L/AE | 2 | 4PL/AE |
2 | P | L/AE | 1 | PL/AE |
3 | √2P | √2L/AE | √2 | 2.83PL/AE |
4 | P | L/AE | 1 | PL/AE |
5 | √2P | √2L/AE | √2 | 2.83PL/AE |
6 | P | L/AE | 1 | PL/AE |
Якщо, наприклад, у нас є числові параметриP=1000 lbsL=100 in,E=30 Mpsi іA=0.5 in2, потімδP=0.0844 in.
Статично невизначені ферми
Вже було відзначено, що сили елемента в проблемах ферми, розглянутих до цього часу, не залежать від властивостей матеріалів, що використовуються в їх конструкції, так само, як напруга в простому випробуванні на розтяг не залежить від матеріалу. Цей результат, який, безумовно, полегшує вирішення проблеми, є наслідком того, що попередні задачі є статично визначеними; тобто можуть бути розв'язані лише за допомогою рівнянь статичної рівноваги. Статична детермінантність, отже, є важливим аспектом складності, яку ми можемо очікувати при вирішенні проблеми. Не всі проблеми статично визначаються, і одним з наслідків цієї невизначеності є те, що сили в конструкції можуть залежати від властивостей матеріалу.
Провівши статичний аналіз ферми в цілому для знаходження сил реакції на опорах, ми зазвичай намагаємося знайти зусилля елемента, використовуючи описаний вище метод «шарнір за часом». Однак у двовимірній задачі ферми може бути щонайбільше дві невідомі сили на штифтовому з'єднанні, якщо стик повинен бути вирішений лише за допомогою статики, оскільки рівняння моменту не дає корисної інформації в цьому випадку. Якщо більше невідомих присутній незалежно від того, в якому порядку аналізуються кроквяні з'єднання, то необхідно знайти ряд додаткових рівнянь, рівних іншим невідомим. Ці додаткові рівняння - це ті, що забезпечують сумісність різних зміщень суглобів, кожен з яких повинен бути таким, щоб тримати фермові з'єднання закріпленими разом.
Приклад2.1.4
Простий приклад, всього два кроквяних елементи, що діють паралельно, як показано на малюнку 10, покаже необхідний підхід. Тут умова сумісності просто
δA=δB

Зміщення окремих елементів пов'язані з силами елементаδ=PL/AE, який є матеріально залежним і може бути названий складовим рівнянням, оскільки воно відображає механічну конституцію матеріалу. Поєднання цього з умовою сумісності дає
PALAAEA=PBLABEB⇒PB=PAABEBAAEA
Нарешті, окремі сили елемента повинні складати до загальної прикладеної навантаження,P щоб задовольнити рівновагу:
P=PA+PB=PA+PAABEBAAEA⇒PA=P(11+(ABEBAAEA))
Зверніть увагу, що остаточна відповідь в наведеному вище прикладі залежить від розмірів елемента і жорсткості матеріалу, як і обіцяно. Тут умова геометричної сумісності була дуже простою і очевидною, а саме те, що зміщення торцевих з'єднань двох елементів були однаковими. У більш складних фермах ці відносини можуть бути тонкими, але, як правило, стають більш очевидними з практикою.
У вищезгаданій задачі були використані три різні типи відносин: рівняння сумісності, яке вказує, як структура повинна деформуватися кінематично, щоб залишатися пов'язаною; складове рівняння, що втілює реакцію матеріалу напруження-деформація; і рівняння рівноваги, в якому зазначено, що сили повинні сума до нуля, якщо слід уникати прискорення. Ці три концепції, зроблені дещо більш загальним математично для вирішення геометрично більш складних проблем, лежать в основі всієї твердої механіки.
У модулі про пружний відгук ми зазначили, що напруження в розтяжному зразку визначається лише міркуваннями статичної рівноваги, що задаєтьсяσ=P/A незалежними від властивостей матеріалу. Тепер ми бачимо, що статична детермінантність залежить, серед іншого, від того, який матеріал є однорідним, тобто однаковим у всьому. Якщо зразок на розтяг складається з двох субодиниць, кожна з яких має різні властивості, напруги будуть розподілятися по-різному між двома одиницями, і напруги не будуть рівномірними. Всякий раз, коли формула напруження або деформації копіюється з довідника, користувач повинен бути обережним, щоб відзначити обмеження основної теорії. Формули довідника, як правило, застосовні лише до однорідних матеріалів у їх лінійному пружному діапазоні, і теорії вищого порядку повинні використовуватися, коли ці умови не виконуються.
Приклад2.1.5

На малюнку 11 (а) показана інша статично невизначена ферма, причому три елементи мають однакову площу і модуль 11, але різної довжини, що зустрічаються в загальному вузлі. З першого погляду ми бачимо, що вузол 4 має три елементи, що зустрічаються там, сили яких невідомі, і це ще одне більше, ніж корисні рівняння статичної рівноваги зможуть впоратися. Це видно і на діаграмі вільного тіла на малюнку 11 (б): горизонтальна і вертикальна рівновага дає
∑Fx=0=−F1+F2→F1=F2
∑Fy=0=−P+F2+F1cosθ+F3cosθ→F2+2F3cosθ=P
Цих двох рівнянь явно недостатньо для визначення невідомихF1,F2,F3. Нам потрібно інше рівняння, і це забезпечується, вимагаючи деформації бути такою, щоб тримати ферму закріпленою разом у вузлі 4. Оскільки симетрія завдань говорить нам про те, що прогин там прямий вниз, можна використовувати діаграму на малюнку 11 (в). А так як прогин невеликий щодо довжин елементів, кут елемента 3 залишається істотно незмінним після деформації. Це дозволяє нам писати
δ3=δ2cosθ
або
F3L3A3E3=F2L2A2E2cosθ
ВикористовуючиA2=A3E2=E3,L3=L,, іL2=Lcosθ, це стає
F3=F2cos2θ
Вирішуючи це одночасно з рівнянням 2.1.8, отримаємо
F2=P1+2cos3θ,F3=Pcos2θ1+2cos3θ
Зверніть увагу, що модульE не відображається в цьому результаті, хоча проблема статично невизначена. Якби елементи мали різну жорсткість, однак скасування не відбулосяE б.
Матричний аналіз ферм
Спільний аналіз вільного тіла ферм є нудним для великих і складних конструкцій, особливо якщо статична невизначеність вимагає, щоб сумісність зміщення розглядалася поряд зі статичною рівновагою. Однак навіть статично невизначені ферми можуть бути вирішені швидко і надійно як для сил, так і для переміщень за допомогою прямої числової процедури, відомої як матричний структурний аналіз. Цей метод є попередником більш загального комп'ютерного методу під назвою скінченно-елементний аналіз (FEA), який за останні два десятиліття домінував більшу частину інженерного аналізу. Тут будуть викладені основи матричного аналізу, насамперед як вступ до більш загального використання ЗЕД в аналізі напружень.
Матричний аналіз ферм працює шляхом розгляду жорсткості кожного кроквяного елемента по одному, а потім за допомогою цих жорсткостей визначити зусилля, які задаються в кроквяних елементах зміщеннями з'єднань, зазвичай званих «вузлами» в кінцевому елементному аналізі. Потім зазначивши, що сума сил, внесених кожним елементом до вузла, повинна дорівнювати силі, яка зовні застосовується до цього вузла, ми можемо зібрати послідовність лінійних алгебраїчних рівнянь, в яких вузлові зміщення є невідомими, а прикладені вузлові сили - відомі величини. Ці рівняння зручно записувати в матричному вигляді, що дає методу свою назву:
[K11K12⋯K1nK21K22⋯K2n⋯⋯⋯⋯Kn1Kn2⋯Knn]{u1u2⋯un}={f1f2⋯fn}
Тутui іfj вказують відхилення уith вузлі і силу наjth вузлі (це насправді були б векторні величини, з підкомпонентами уздовж кожної координатної осі). МасивKij коефіцієнтів називається глобальною матрицею жорсткості, причомуij компонент фізично впливаєjth зміщення наith силу. Матричні рівняння можна скорочувати як
Kijuj=fi or Ku=f
використовуючи або індекси, або напівжирний шрифт для позначення векторних та матричних величин.
Або сила, що застосовується зовні, або зміщення відома на початку для кожного вузла, і неможливо вказати одночасно як довільне зміщення, так і силу на даному вузлі. Ці передбачені вузлові сили і зсуви є граничними умовами задачі. Завданням аналізу є визначення сил, які супроводжують нав'язані зсуви, і зміщення у вузлах, де застосовуються відомі зовнішні сили.
Матриця жорсткості для одного кроквяного елемента
В якості першого кроку в розробці набору матричних рівнянь, що описують кроквяні системи, нам потрібна залежність між силами і переміщеннями на кожному кінці окремого кроквяного елемента. Розглянемо такий елемент вx−y площині, як показано на малюнку 12, прикріплений до вузлівj пронумерованимi і нахиленим під кутомθ від горизонталі.
З огляду на вектор подовження, якийδ потрібно вирішити в напрямках уздовж і поперечно елементу, подовження в кроквяному елементі можна записати в терміні відмінностей зміщень його кінцевих точок:
δ=(ujcosθ+vjsinθ)−(uicosθ+visinθ)

деu іv горизонтальна і вертикальна складові прогинів відповідно. (Зсуви у вузлі,i намальованому на малюнку 12, є негативними.) Це відношення може бути записано в матричному вигляді як:
δ=[−c−scs]{uiviujvj}
Осьc=cosθ іs=sinθ.

Осьова сила P, яка супроводжує подовження,δ задається законом Гука для лінійних пружних тіл якP=(AE/L)δ. Горизонтальні та вертикальні вузлові сили показані на малюнку 13; їх можна записати через загальну осьову силу як:
{fxifyifxjfyj}={−c−scs}P={−c−scs}AELδ
{−c−scs}AEL[−c−scs]{uiviujvj}
Проведення множення матриці:
{fxifyifxjfyj}=AEL[c2cs−c2−cscss2−cs−s2−c2−csc2cs−cs−s2css2]{uiviujvj}
Величина в дужках, помножена наAE/L, відома як «матриця жорсткості елемента»kij. Кожен його термін має фізичне значення, представляючи собою внесок одного з переміщень в одну з сил. Глобальна система рівнянь формується шляхом об'єднання матриць жорсткості елементів з кожного кроквяного елемента по черзі, тому їх обчислення займає центральне місце в методі матричного структурного аналізу. Принципова відмінність методу матричної ферми від загального методу скінченних елементів полягає в тому, як формуються матриці жорсткості елементів; більшість інших комп'ютерних операцій однакові.
Збірка кількох внесків елементів

Наступним кроком слід розглянути збірку багатьох кроквяних елементів, з'єднаних штифтовими з'єднаннями. Кожен елемент, що зустрічається на стику, або вузол, сприятиме силі там, як це продиктовано зміщеннями обох вузлів цього елемента (див. Рис. Для підтримки статичної рівноваги всі вклади сили елементаfelemi в даному вузлі повинні сумувати силуfexti, яка зовнішньо прикладена до цього вузла:
fexti=∑elemfelemi=(∑elelmkelemijuj)=(∑elemkelemij)uj=Kijuj
Кожен елемент матриці жорсткостіkelemij додається до відповідного розташування загальної, або «глобальної» матриці жорсткостіKij, яка пов'язує всі зміщення і зусилля ферми. Цей процес називається «збірка». Індексні номери в зазначеному вище співвідношенні повинні бути «глобальними» номерами, присвоєними кроквяної конструкції в цілому. Однак, як правило, зручно обчислювати окремі матриці жорсткості елементів за локальною схемою, а потім змусити комп'ютер перетворювати в глобальні числа при складанні окремих матриць.
Приклад2.1.6
Процес складання лежить в основі методу кінцевих елементів, і варто зробити простий випадок вручну, щоб побачити, як він насправді працює. Розглянемо двоелементну кроквяну задачу на рис. 7, при цьому вузлам присвоюються довільні «глобальні» числа від 1 до 3. Оскільки кожен вузол взагалі може рухатися в двох напрямках, в задачі є 3× 2 = 6 загальних ступенів свободи. Глобальна матриця жорсткості буде масивом 6× 6, що стосується шести переміщень з шістьма зовнішніми прикладними силами. Тільки одне з переміщень в даному випадку невідомо, так як всі, крім вертикального зміщення вузла 2 (ступінь свободи № 4) обмежені нулем. На малюнку 15 показаний працездатний перелік глобальних чисел, а також «локальних» чисел для кожного окремого елемента.
Використовуючи локальні числа, матрицю жорсткості елементів× 4 4 кожного з двох елементів можна оцінити за рівнянням 2.1.10. Кут нахилу розраховується з вузлових координат як
θ=tan−1y2−y1x2−x1
Отримана матриця для елемента 1 дорівнює:

k(1)=[25.00−43.30−25.0043.30−43.3075.0043.30−75.00−25.0043.3025.00−43.3043.30−75.00−43.3075.00]×103
і для елемента 2:
k(2)=[25.0043.30−25.00−43.3043.3075.00−43.30−75.00−25.00−43.3025.0043.30−43.30−75.0043.3075.00]×103
(Важливо одиниці бути послідовними; тут довжини в дюймах, сили в фунтах, і модулі в фунтах на квадратний дюйм. Модуль обох елементів єE=10 Mpsi і обидва мають площуA=0.1 in2.) Ці матриці мають рядки і стовпці, пронумеровані від 1 до 4, що відповідають локальним ступеням свободи елемента. Однак кожна з місцевих ступенів свободи може бути підібрана до однієї з глобальних ступенів загальної проблеми. За допомогою огляду на рис. 15 ми можемо сформувати наступну таблицю, яка відображає локальні та глобальні числа:
місцевий | глобальний, елемент 1 | глобальний, елемент 2 |
1 | 1 | 3 |
2 | 2 | 4 |
3 | 3 | 4 |
4 | 4 | 6 |
Використовуючи цю таблицю, ми бачимо, наприклад, що друга ступінь свободи для елемента 2 є четвертою ступенем свободи в глобальній системі нумерації, а третя локальна ступінь свободи відповідає п'ятій глобальній мірі свободи. Звідси значення в другому рядку і третьому стовпці матриці жорсткості елемента 2, позначеніk(2)23, слід додати в положення в четвертому рядку і п'ятому стовпці 6 глобальної матриці жорсткості× 6. Ми пишемо це як
k(2)23→K4,5
Кожна з шістнадцяти позицій в матриці жорсткості кожного з двох елементів повинна бути додана в глобальну матрицю відповідно до відображення, заданого таблицею. Це дає результат
K=[k(1)11k(1)12k(1)13k(1)1400k(1)21k(1)22k(1)23k(1)2400k(1)31k(1)32k(1)33+k(2)11k(1)34+k(2)12k(2)13k(2)14k(1)41k(1)42k(1)43+k(2)21k(1)44+k(2)22k(2)23k(2)2400k(2)31k(2)32k(2)33k(2)3400k(2)41k(2)42k(2)43k(2)44]
Ця матриця попередньо множить вектор вузлових переміщень згідно з рівнянням 2.1.9 для отримання вектора зовнішніх прикладених вузлових сил. Повні системні рівняння, з урахуванням відомих сил і переміщень, потім
103[25.0−43.3−25.043.00.00.00−43.375.043.3−75.00.00.00−25.043.350.00.0−25.0−43.3043.3−75.00.0150.0−43.3−75.000.00.0−25.0−43.325.043.300.00.0−43.3−75.043.375.00]{00u400}={1f2f3−1732f5f5}
Зверніть увагу, що або сила, або зміщення для кожного ступеня свободи відомі, при цьому супутні зміщення або сила невідомі. Тут невідомий лише один з переміщень (u4), але в більшості проблем невідомі переміщення значно перевершують невідомі сили. Зауважте також, що тільки ті елементи, які фізично пов'язані з заданим вузлом, можуть сприяти зусиллям цього вузла. У більшості випадків це призводить до глобальної матриці жорсткості, яка містить багато нулів, відповідних вузловим парам, які не охоплюються елементом. Ефективні комп'ютерні реалізації скористаються перевагами розрідженості матриці для економії пам'яті та скорочення часу виконання.
У великих задачах матричні рівняння вирішуються для невідомих переміщень і сил за допомогою гаусового скорочення або інших методів. У цій двоелементній задачі рішення для єдиного невідомого зміщення можна записати майже з огляду. Перемноживши четвертий ряд системи, ми маємо
0+0+0+150×103u4+0+0=−1732
u4=−1732/150×103=−0.01155 in
Тепер будь-яку з невідомих сил можна отримати безпосередньо. Наприклад, множення першого рядка дає
0+0+0+(43.4)(−0.0115)×103+0+0=f1
f1=−500 lb
Негативний знак тут вказує на горизонтальну силу на глобальному вузлі #1 знаходиться вліво, протилежному напрямку, передбаченому на малюнку 15.
Процес циклічності через кожен елемент для формування матриці жорсткості елемента, складання матриці елемента в правильні позиції в глобальній матриці, рішення рівнянь для переміщень, а потім зворотне множення для обчислення сил, і друк результатів може бути автоматизований, щоб зробити дуже універсальний комп'ютерний код.
Більшого масштабу ферми (та інших) кінцевих елементів аналіз найкраще проводити за допомогою спеціального комп'ютерного коду, а відмінний для вивчення методу доступний з Інтернету за адресою (https://web.archive.org/web/20060108...urceforge.net/). Цей код, названий фетром, був автором Джейсона Гобата та Даррена Аткінсона для освітнього використання, і включає в себе ряд нових функцій для сприяння зручності користувачів. Повна інформація, що описує цей код, а також джерело мови C і ряд пробних запусків і допоміжного модуля коду доступна на їх веб-сторінках. Якщо у вас є доступ до робочих станцій X-window, також доступна графічна оболонка з назвою velvet.
Приклад2.1.7
Щоб проілюструвати, як цей код працює для дещо більшої проблеми, розглянемо шестиелементну ферму на малюнку 4, проаналізовану раніше як спільним підходом до аналізу вільного тіла, так і методом Кастільяно. Ферма перемальовується на малюнку 16 оксамитовим графічним інтерфейсом.
Вхідний набір даних, який може бути написаний вручну або розроблений графічно в оксамиті, використовує методи синтаксичного аналізу, щоб спростити те, що може бути дуже нудним і схильним до помилок крок в аналізі скінченних елементів. Набір даних для цієї 6-елементної ферми:

problem description nodes=5 elements=6 nodes 1 x=0 y=100 z=0 constraint=pin 2 x=100 y=100 z=0 constraint=planar 3 x=200 y=100 z=0 force=P 4 x=0 y=0 z=0 constraint=pin 5 x=100 y=0 z=0 constraint=planar truss elements 1 nodes=[1,2] material=steel 2 nodes=[2,3] 3 nodes=[4,2] 4 nodes=[2,5] 5 nodes=[5,3] 6 nodes=[4,5] material properties steel E=3e+07 A=0.5 distributed loads constraints free Tx=u Ty=u Tz=u Rx=u Ry=u Rz=u pin Tx=c Ty=c Tz=c Rx=u Ry=u Rz=u planar Tx=u Ty=u Tz=c Rx=u Ry=u Rz=u forces P Fy=-1000 end
Сенс цих рядків повинен бути досить очевидним при огляді, хоча для більш докладної інформації слід звернутися до повстяної документації. Вихід, вироблений фетром для цих даних, такий:
** ** Nodal Displacements ---------------------------------------------------------------- Node # DOF 1 DOF 2 DOF 3 DOF 4 DOF 5 DOF 6 ---------------------------------------------------------------- 1 0 0 0 0 0 0 2 0.013333 -0.03219 0 0 0 0 3 0.02 -0.084379 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 5 -0.0066667 -0.038856 0 0 0 0 Element Sress ----------------------------------------------------- 1: 4000 2: 2000 3: -2828.4 4: 2000 5: -2828.4 6: -2000 Material Usage Summary -------------------------- Material: steel Number: 6 Length: 682.8427 Mass: 0.0000 Total mass: 0.0000
Зверніть увагу, що вертикальне зміщення вузла 3 (значення DOF 2) становить -0.0844, таке ж значення, отримане раніше в прикладі2.1.3. На малюнку 17 показаний оксамитовий графічний вихід для прогинів ферми (значно збільшений).
Вправа2.1.1
Жорстка балка довжиниL спирається на дві опори, що чинить опір вертикальному руху, і навантажуєтьсяF вертикальною силою на відстані a від лівої опори. Намалюйте схему вільного тіла для

балки, замінюючиR1 опори силами реакції іR2 які вони чинять на
промінь. Вирішуйте для сил реакції в планіF,a, іL.

Вправа2.1.2
Третя опора додається до балки попередньої задачі. Намалюйте діаграму вільного тіла для цього випадку та запишіть рівняння рівноваги, доступні для вирішення сил реакції на кожній опорі. Чи можна вирішити для всіх сил реакції?

Вправа2.1.3
Ручки плоскогубців стискаються з силою F Намалюйте схему вільного тіла для одного з рук плоскогубців. Яка сила, що чиниться на предмет, захоплений між гранями плоскогубців?

Вправа2.1.4
Об'єкт вагиW підвішується на кадрі, як показано на малюнку. Яке напруження в тросі перепідготовкиAB?

Вправа2.1.5
(а) - (h) Визначте зусилля в кожному елементі ферм, намальованих нижче.

Вправа2.1.6
(а) - (h) Використовуючи геометричні міркування, визначте відхилення точки навантаження (точки, в яку прикладається навантаження, у напрямку навантаження) для ферм у виконанні вправи2.1.5. Всі елементи виготовлені з круглих прутків з вуглецевої сталі діаметром 20 мм.
Вправа2.1.7
(a) - (h) Те саме, що і вправа2.1.6, але з використанням теореми Кастільяно.
Вправа2.1.8
(a) - (h) Те саме, що і\ (\ pageIndex {6}\, але з використанням аналізу скінченних елементів.
Вправа2.1.9
Знайдіть зусилля елемента і прогин в точці навантаження для показаної ферми, використовуючи метод за власним вибором.

Вправа2.1.10
(a) - (c) Випишіть глобальні матриці жорсткості для ферм, перерахованих нижче, і вирішіть для невідомих сил і переміщень.

Вправа2.1.11
Два кроквяних елемента однакової початкової довжиниL0 з'єднуються горизонтально. Припускаючи, що елементи залишаються лінійно пружними при всіх деформаціях, визначають відхилення внизy як функцію навантаження,F прикладеної поперечно до суглоба.
