3.2: Теорема Варіньйона

Last updated
Save as PDF

Page ID: 31090

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Теорема Варіньона, яку також часто називають принципом моментів, є дуже корисним інструментом у скалярних обчисленнях моментів. У випадках, коли перпендикулярну відстань важко визначити, Теорема Варіньйона пропонує альтернативу знаходженню цієї відстані.

У своїй основній формі Теорема Варіньйона стверджує, що якщо ми маємо дві або більше одночасних сил, сума моментів, які кожна сила створює близько однієї точки, буде дорівнює моменту, створеному сумою цих сил приблизно в одній точці.

Важіль одним кінцем прикріплений до стіни, з двома різними зусиллями, прикладними до її вільного кінця. Третій вектор, сума цих двох сил, також показаний, що діє на вільний кінець. — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Якщо сума\(\vec{F}_1\) і\(\vec{F}_2\) є\(\vec{F}_{total}\), то можна вважати, що сума моментів про точку А, що\(\vec{F}_2\) чиниться\(\vec{F}_1\) і буде дорівнює моменту, що чиниться близько точки А по\(\vec{F}_{total}\).

На його поверхні це не здається таким корисним, але на практиці ми часто будемо використовувати цю теорему в зворотному напрямку, розбиваючи силу на складові (компоненти є сукупністю одночасних сил). Ми можемо вирішити на момент, який надає кожен компонент (де перпендикулярну відстань\(d\) легше знайти), а потім просто скласти моменти з кожного компонента, щоб знайти момент від початкової сили.

Прямокутна форма має силу, прикладену вгору і вправо в нижньому лівому куті, викликаючи обертання фігури навколо її центральної точки. На додаток до вектора прикладеної сили показані x- і y-складові зазначеної сили, а також вертикальні та горизонтальні відстані від точки прикладання сили до центральної точки. — Малюнок\(\PageIndex{2}\): При знаходженні моменту сили\(\vec{F}\) навколо центральної точки буде легше розбити силу на складові і знайти моменти кожної складової, а не намагатися знайти перпендикулярну відстань безпосередньо за допомогою складних геометричних відносин.

Відеолекція, що охоплює цей розділ, прочитана доктором Джейкобом Муром. Джерело YouTube: https://youtu.be/XcxXyPv7Wp4.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Використовуйте теорему Варіньона, щоб знайти момент, коли сили на діаграмі нижче впливають на точку А.

До стіни одним кінцем прикріплений важіль довжиною 0,5 метра; центром цієї області дотику є точка А. На вільний кінець одночасно прикладені три сили: одна величиною 70 Н вгору, одна величиною 150 Н вправо, і одна величиною 300 Н вниз і вліво, під кутом 30 градусів від вертикальні. — Малюнок\(\PageIndex{3}\): діаграма проблеми для Приклад\(\PageIndex{1}\). До стіни одним кінцем кріпиться важіль, і до вільного кінця важеля, 0,5 м від точки зіткнення підстави зі стіною (точка А) прикладається 3 різні зусилля.

Рішення: Відео\(\PageIndex{2}\): Опрацьоване рішення прикладної проблеми\(\PageIndex{1}\), надане доктором Джейкобом Муром. Джерело YouTube: https://youtu.be/JIpgZGxJWu4.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Використовуйте теорему Варіньона, щоб знайти момент, коли сила на діаграмі нижче впливає на точку B.

Прямокутник 24 на 36 дюймів спирається з довшою стороною горизонтально. Сила величини 200 фунтів додається вгору і вліво, утворюючи кут 20 градусів з горизонталлю, на правому верхньому куті прямокутника точка А. Нижній лівий кут прямокутника позначений як точка B. — Малюнок\(\PageIndex{4}\): діаграма проблеми для Приклад\(\PageIndex{2}\). Прямокутна коробка, яку можна вважати двомірною формою, сидить на рівній поверхні і відчуває силу, прикладену до її верхнього правого кута.

Рішення: Відео\(\PageIndex{3}\): Опрацьоване рішення прикладної проблеми\(\PageIndex{2}\), надане доктором Джейкобом Муром. Джерело YouTube: https://youtu.be/jpaLEprFndA.