5.1: Загальна рецептура

Порівняно з класичною теорією пучків з нескінченно малою деформацією, теорія помірно великих відхилень вносить зміни в відношення деформації-зміщення і вертикальну рівновагу, але залишає конституційне рівняння і горизонтальну рівновагу без змін. Кінематичне відношення, Рівняння (1.9.5) набуває тепер нового терміну завдяки скінченним обертанням елемента балки.

$$\epsilon^{\circ} = \frac{du}{dx} + \boxed{\frac{1}{2} \left(\frac{dw}{dx}\right)^2} − \text{ new term} \label{5.1.1}$$

Визначення кривизни має також нелінійний термін обертання.

$$\kappa = -\frac{\frac{d^2w}{dx^2}}{\left[ 1+ \left(\frac{dw}{dx}\right)^2\right]^{3/2}} \label{5.1.2}$$

Квадрат схилу може бути великим, порівняно з терміном$\frac{du}{dx}$ і повинен зберігатися в Equation\ ref {5.1.1}. При цьому квадрати нахилу (обертання балки) невеликі в порівнянні з одиницею. Чому? Це пояснюється на малюнку ($\PageIndex{1}$), де квадрат схилу наноситься проти схилу.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Значення квадрата терміна схилу.

При$= 57$ градусах$\theta = 1$ rad два слова в знаменнику рівняння\ ref {5.1.2} рівні. Однак теорія помірно великих прогинів дійсна до$\theta = 10^{\circ} \approx 0.175$ рад. Термін$\theta^2$ становить$0.03$, що мізерно мало в порівнянні з єдністю. Тому кривизна визначається так само, як і в теорії малих прогинів.

$$\kappa = -\frac{d^2w}{dx^2}$$

У главі 2 було показано, що на рівняння рівноваги в горизонтальному напрямку не впливає кінцеве обертання. Тому ми робимо висновок з Рівняння (2.7.4), що осьова сила або постійна, або нульова

$$N = \text{ constant}$$

Вертикальна рівновага, задана рівнянням (3.79), має новий нелінійний член

$$\frac{d^2M}{dx^2} + \boxed{N\frac{d^2w}{dx^2}}^{-\text{new term}} +q = 0$$

Нарешті, на закон пружності не впливає кінцеве обертання.

$$N = EA\epsilon^{\circ}$$

$$M = EI\kappa$$

Розв'язок пов'язаної задачі залежить від граничних умов в горизонтальному напрямку. Посилаючись на рис. 4.1.1, необхідно розглянути два випадки:

• Випадок 1, промінь вільно ковзати,$N = 0, \; u \neq 0$.
• Корпус 2, балка фіксована,$u = 0, \; N \neq 0$.