7.1: Гамма-розпад
- Page ID
- 79460
Гамма-розпад - третій вид радіоактивного розпаду. На відміну від двох інших видів гниття, він не передбачає зміни елемента. Це всього лише просте занепад від збудженого до нижнього (наземного) стану. У процесі звичайно виділяється деяка енергія, яка захоплюється фотоном. Подібні процеси відбуваються в атомній фізиці, однак там енергетичні зміни зазвичай набагато менше, а фотони, що виникають, знаходяться у видимому спектрі або рентгенівських променях.
Ядерну реакцію, що описує гамма-розпад, можна записати як
\[{ }_{Z}^{A} X^{*} \rightarrow{ }_{Z}^{A} X+\gamma \nonumber\]
де ∗ вказує на збуджений стан.
Ми вже говорили, що фотон несе в собі деяку енергію. Він також захоплює імпульс, кутовий момент і паритет (але без маси або заряду), і всі ці величини повинні бути збережені. Таким чином, ми можемо написати рівняння енергії та імпульсу, захоплених гамма-фотоном.
З особливої відносності ми знаємо, що енергія фотона (безмасової частки) дорівнює
\[E=\sqrt{m^{2} c^{4}+p^{2} c^{2}} \rightarrow \quad E=p c \nonumber\]
(тоді як для масивних частинок у нерелятивістській межі\(v \ll c\) ми маємо\(E \approx m c^{2}+\frac{p^{2}}{2 m}\).) У квантовій механіці ми бачили, що імпульс хвилі (а фотон добре описується хвилею) є\(p=\hbar k\) з\(k\) числом хвилі. Тоді у нас є
\[\boxed{E=\hbar k c=\hbar \omega_{k}} \nonumber\]
Це енергія для фотонів, яка також визначає частоту\(\omega_{k}=k c\) (порівняйте це з енергією для масивних частинок\(E=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m}\)).
Гамма-фотони особливо енергійні, оскільки вони походять від ядерних переходів (які мають набагато вищу енергію, ніж, наприклад, атомні переходи, пов'язані з електронними рівнями). Задіяні енергії варіюються від\(E \sim .1 \div 10 \mathrm{MeV}\), даючи\(k \sim 10^{-1} \div 10^{-3} \mathrm{fm}^{-1}\). Чим довжини хвиль\(\lambda=\frac{2 \pi}{k} \sim 100 \div 10^{4} \mathrm{fm} \), набагато довше, ніж типові ядерні розміри.
Гамма-спектроскопія є основним інструментом ядерної фізики, завдяки простоті спостереження (так як вона не поглинається повітрям), точному визначенню енергії та інформації про спін і парності збуджених станів. Крім того, це найважливіше випромінювання, яке використовується в ядерній медицині.
Класична теорія випромінювання
З теорії електродинаміки відомо, що випромінює прискорюючий заряд. Випромінювана потужність задається інтегралом потоку енергії (як задано вектором Пойнтінга) над усіма твердими кутами. Це дає випромінювану потужність як:
\[\boxed{P=\frac{2}{3} \frac{e^{2}|a|^{2}}{c^{3}}} \nonumber\]
де\(a\) - прискорення. Це так звана формула Лармора для нерелятивістського прискореного заряду.
Як важливий приклад розглянемо електричний диполь. Електричний диполь можна розглядати як коливальний заряд, в діапазоні\(r_{0} \), таким чином, що електричний диполь дається\( d(t)=q r(t)\). Тоді рівняння руху
\[r(t)=r_{0} \cos (\omega t) \nonumber\]
і прискорення
\[a=\ddot{r}=-r_{0} \omega^{2} \cos (\omega t) \nonumber\]
Усереднений за період\(T=2 \pi / \omega\), це
\[\left\langle a^{2}\right\rangle=\frac{\omega}{2 \pi} \int_{0}^{T} d t a(t)=\frac{1}{2} r_{0}^{2} \omega^{4} \nonumber\]
Нарешті ми отримуємо випромінювальну потужність для електричного диполя:
\[P_{E 1}=\frac{1}{3} \frac{e^{2} \omega^{4}}{c^{3}}\left|\vec{r}_{0}\right|^{2} \nonumber\]
Електромагнітні мультиполя
Для того щоб визначити класичне е.м. випромінювання нам потрібно оцінити розподіл заряду, що породжує його. Електростатичний потенціал розподілу заряду\(\rho_{e}(r)\) задається інтегралом:
\[V(\vec{r})=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{V o l^{\prime}} \frac{\rho_{e}\left(\overrightarrow{r^{\prime}}\right)}{\left|\vec{r}-\overrightarrow{r^{\prime}}\right|} \nonumber\]
При лікуванні випромінюванням нас цікавить лише потенціал поза зарядом, і ми можемо припустити заряд (наприклад, частинку!) бути добре локалізованим (\(r^{\prime} \ll r\)). Тоді ми можемо розширити\(\frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}\) в силових рядах. По-перше, виражаємо явно норму
\[\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|=\sqrt{r^{2}+r^{\prime 2}-2 r r^{\prime} \cos \vartheta}=r \sqrt{1+\left(\frac{r^{\prime}}{r}\right)^{2}-2 \frac{r^{\prime}}{r} \cos \vartheta}. \nonumber\]
встановлюємо
\[R=\frac{r^{\prime}}{r} \nonumber\]
і
\[\epsilon=R^{2}-2 R \cos \vartheta. \nonumber\]
Це невелика величина, з огляду на припущення\(r^{\prime} \ll r\). Тоді ми можемо розширити:
\[\frac{1}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}\right|}=\frac{1}{r} \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon}}=\frac{1}{r}\left(1-\frac{1}{2} \epsilon+\frac{3}{8} \epsilon^{2}-\frac{5}{16} \epsilon^{3}+\ldots\right) \nonumber\]
\(\epsilon\)Замінюючи його виразом ми маємо:
\ [\ почати {вирівнювати*}\ розрив {1} {r}\ frac {1} {\ sqrt {1+\ epsilon}} &=\ frac {1} {r}\ лівий (1-\ frac {1} {2}\ лівий (R^ {2} -2 R\ cos\ вартета\ праворуч) +\ frac {3} {8}\ ліворуч (R^ {2} -2 R\ cos\ вартета\ праворуч) +\ frac {3} {8}\ ліворуч (R^ {2} {2} -2 R\ cos\ вартета\ вправо) ^ {2} -\ розрив {5} {16}\ ліворуч (R^ {2} -2 R\ cos\ вартета\ праворуч) ^ {3} +\ ldots\ праворуч)\\ [4pt]
&=\ розрив {1} {r}\ лівий (1+\ лівий [-\ frac {1 } {2} R^ {2} +R\ cos\ вартета\ вправо] +\ лівий [\ розрив {3} {8} R^ {4} -\ розрив {3} {2} R^ {3}\ cos\ vartheta+\ frac {3} {2}\ cos ^ {2}\ vartheta\ праворуч] +\ ліворуч [-\ frac 5 R^ {6}} {16} +\ розрив {15} {8} R^ {5}\ cos (\ вартета) -\ frac {15} {4} R^ {4}\ cos ^ {2} (\ вартета) +\ frac {5} {2} R^ {3}\ cos ^ {3} (\ вартета)\ право] +\ ldots\ право)\\ [4пт]
&=\ розрив {1} {r}\ лівий (1+R\ cos\ vartheta+r^ {2}\ лівий (\ frac {3\ cos ^ {2}\ вартета} {2} -\ frac {1} {2}\ праворуч) +R^ {3}\ ліво (\ frac {5\ cos ^ {3} (\ вартета)} {2}\ вліво (\ frac {5\ cos ^ {3} (\ вартета)} {2}\ frac {3\ cos (\ vartheta)} {2}\ праворуч) +\ ldots\ праворуч)
\ end {align*}\]
Ми визнали в коефіцієнтах до степенів\(R\) многочленів Лежандра\(P_{l}(\cos \vartheta)\) (з силою\(R^{l}\), і\(l\) зауважимо, що для повноважень > 3 ми повинні були включити більш високі члени в початкове\(\epsilon\) розширення):
\[\frac{1}{r} \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon}}=\frac{1}{r} \sum_{l=0}^{\infty} R^{l} P_{l}(\cos \vartheta)=\frac{1}{r} \sum_{l=0}^{\infty}\left(\frac{r^{\prime}}{r}\right)^{l} P_{l}(\cos \vartheta) \nonumber\]
За допомогою цього результату ми також можемо обчислити потенціал:
\[V(\vec{r})=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{r} \int_{V o l^{\prime}} \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) \frac{1}{r} \sum_{l=0}^{\infty}\left(\frac{r^{\prime}}{r}\right)^{l} P_{l}(\cos \vartheta) d \vec{r}^{\prime} \nonumber\]
Різні терміни розширення - це багатополюсні. Кілька найнижчих з них:
\[\begin{array}{l} \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{r} \int_{V o l^{\prime}} \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) d \overrightarrow{r^{\prime}}=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text { Monopole } \\ \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{r^{2}} \int_{V o l^{\prime}} \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) r^{\prime} P_{1}(\cos \vartheta) d \overrightarrow{r^{\prime}}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{r^{2}} \int_{V o l^{\prime}} \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) r^{\prime} \cos \vartheta d \overrightarrow{r^{\prime}}=\frac{\hat{r} \cdot \vec{d}}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} \quad \quad\text { Dipole } \\ \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{r^{3}} \int_{V o l^{\prime}} \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) r^{\prime 2} P_{2}(\cos \vartheta) d \overrightarrow{r^{\prime}}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{1}{r^{3}} \int_{V o l^{\prime}} \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right) r^{\prime 2}\left(\frac{3}{2} \cos ^{2} \vartheta-\frac{1}{2}\right) d \overrightarrow{r^{\prime}} \quad \text { Quadrupole } \end{array} \nonumber\]
Цей тип розширення може здійснюватися як для магнітостатичного потенціалу, так і для електромагнітного, залежного від часу поля.
На великих відстанях найнижчі замовлення в цьому розширенні є єдиними важливими. Таким чином, замість того, щоб розглядати сумарне випромінювання від розподілу заряду, ми можемо наблизити його, розглядаючи випромінювання, що виникає з перших кількох мультиполів: тобто випромінювання електричного диполя, магнітного диполя, електричного квадруполя тощо.
Кожен з цих термінів випромінювання має своєрідну кутову залежність. Це буде відображено в квантово-механічній обробці певним значенням моменту імпульсу поля випромінювання, пов'язаного з мультипольним. У свою чергу, це дасть початок правилам вибору, визначеним правилами додавання моменту моменту частинок і випромінювання, що беруть участь в радіаційному процесі.
Квантова механічна теорія
У квантовій механіці гамма-розпад виражається у вигляді переходу від збудженого до наземного стану ядра. Тоді ми можемо вивчити швидкість переходу такого розпаду через Золоте правило Фермі.
\[W=\frac{2 \pi}{\hbar}\left|\left\langle\psi_{f}|\hat{V}| \psi_{i}\right\rangle\right|^{2} \rho\left(E_{f}\right) \nonumber\]
У цій формулі є два важливих інгредієнта, щільність станів\( \rho\left(E_{f}\right)\) і потенціал взаємодії\( \hat{V}\).
щільність станів
Щільність станів визначається як кількість доступних станів на енергію:\(\rho\left(E_{f}\right)=\frac{d N_{s}}{d E_{f}} \), де\(N_{s}\) - кількість станів. Ми бачили в різний час поняття виродження: оскільки власні значення оператора можуть бути вироджені, може бути більше однієї власної функції, яка має однакові власні значення. У випадку з гамільтоном, коли є виродження, це означає, що більше одного стану поділяють одну і ту ж енергію.
Розглядаючи ядро+випромінювання, яке буде укладено в порожнину об'єму L 3, ми маємо для випромінюваного фотона хвильову функцію, представлену розв'язком частинки в 3D-коробці, яку ми бачили в наборі задач.
Що стосується 1D випадку, ми маємо квантування імпульсу (а отже, і хвильового числа\(k\)) для того, щоб відповідати хвильовій функції в коробці. Тут ми просто маємо квантування у всіх 3 напрямках:
\[k_{x}=\frac{2 \pi}{L} n_{x}, \quad k_{y}=\frac{2 \pi}{L} n_{y}, \quad k_{z}=\frac{2 \pi}{L} n_{z} \nonumber\]
(з\(n\) цілими числами). Потім, перейшовши до сферичних координат, ми можемо підрахувати кількість станів у сферичній оболонці між\(n\) і\(n + dn\) бути\(d N_{s}=4 \pi n^{2} d n\). Висловлюючи це з точки зору\(k\), ми маємо\(d N_{s}=4 \pi k^{2} d k \frac{L^{3}}{(2 \pi)^{3}}\). Якщо розглядати лише невеликий суцільний кут\(d \Omega\) замість того, щоб\(4 \pi\) ми мали тоді число стану\(d N_{s}=\frac{L^{3}}{(2 \pi)^{3}} k^{2} d k d \Omega\). Так як\(E=\hbar k c=\hbar \omega\), остаточно отримаємо щільність станів:
\[\rho(E)=\frac{d N_{s}}{d E}=\frac{L^{3}}{(2 \pi)^{3}} k^{2} \frac{d k}{d E} d \Omega=\frac{L^{3}}{(2 \pi)^{3}} \frac{k^{2}}{\hbar c} d \Omega=\frac{\omega^{2}}{\hbar c^{3}} \frac{L^{3}}{(2 \pi)^{3}} d \Omega \nonumber\]
Векторний потенціал
Далі розглянемо потенціал, що викликає перехід. Взаємодія частинки з е.м. полем може бути виражено через векторний потенціал\( \hat{\vec{A}}\) е.м. поля як:
\[\hat{V}=\frac{e}{m c} \hat{\vec{A}} \cdot \hat{\vec{p}} \nonumber\]
\( \hat{\vec{p}}\)де імпульс частинки. Векторний потенціал\( \hat{\vec{A}}\) в QM - це оператор, який може створювати або знищувати фотони,
\[\hat{\vec{A}}=\sum_{k} \sqrt{\frac{2 \pi \hbar c^{2}}{V \omega_{k}}}\left(\hat{a}_{k} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}+\hat{a}_{k}^{\dagger} e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}\right) \vec{\epsilon}_{k} \nonumber\]
де\( \hat{a}_{k}\left(\hat{a}_{k}^{\dagger}\right)\) знищує (створює) один фотон імпульсу\( \vec{k}\). Також\(\vec{\epsilon}_{k} \) відбувається поляризація е.м. поля. Оскільки гамма-розпад (і багато інших атомних і ядерних процесів) здатний створювати фотони (або поглинати їх), має сенс, що оператор, що описує е.м. поле, зміг би описати створення і знищення фотонів. Другою характеристикою цього оператора є терміни,\(\propto e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}} \) які описують плоску хвилю, як очікується для наприклад хвиль, з імпульсом\(\hbar k \) і частотою\(ck\).
Дипольний перехід для гамма-розпаду
Щоб розрахувати швидкість переходу від золотого правила Фермі,
\[W=\frac{2 \pi}{\hbar}\left|\left\langle\psi_{f}|\hat{V}| \psi_{i}\right\rangle\right|^{2} \rho\left(E_{f}\right), \nonumber\]
нас дійсно цікавить тільки елемент матриці\( \left\langle\psi_{f}|\hat{V}| \psi_{i}\right\rangle\), де початковий стан не має ніякого фотона, а кінцевий має один фотон імпульсу\(\hbar k \) і енергії\( \hbar \omega=\hbar k c .\). Тоді єдиним елементом у сумі вище для векторного потенціалу, який дає ненульовий внесок, буде термін\( \propto \hat{a}_{k}^{\dagger}\), з відповідним\(\vec{k} \) імпульсом:
\[V_{i f}=\frac{e}{m c} \sqrt{\frac{2 \pi \hbar c^{2}}{V \omega_{k}}} \vec{\epsilon}_{k} \cdot\left\langle\hat{\vec{p}} e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}\right\rangle \nonumber\]
Це можна спростити наступним чином. Пам'ятайте про це\( \left[\hat{\vec{p}}^{2}, \hat{\vec{r}}\right]=-2 i \hbar \hat{\vec{p}}\). Таким чином ми можемо написати,\( \hat{\vec{p}}=\frac{i}{2 \hbar}\left[\hat{\vec p}^{2}, \hat{\vec{r}}\right]=\frac{i m}{\hbar}\left[\frac{\hat{\vec p}^{2}}{2 m}, \hat{\vec{r}}\right]= \frac{i m}{\hbar}\left[\frac{\hat{\vec p}^{2}}{2 m}+V_{n u c}(\hat{\vec{r}}), \hat{\vec{r}}\right]\). Ми ввели ядерний гамільтоніан\(\mathcal{H}_{n u c}=\frac{\hat{\vec p}^{2}}{2 m}+V_{n u c}(\hat{\vec{r}}) \): таким чином ми маємо\( \hat{\vec{p}}=\frac{i m}{\hbar}\left[\mathcal{H}_{n u c}, \hat{\vec{r}}\right]\). Прийняття очікуваного значення
\[\left\langle\psi_{f}|\hat{\vec{p}}| \psi_{i}\right\rangle=\frac{i m}{\hbar}\left(\left\langle\psi_{f}\left|\mathcal{H}_{n u c} \hat{\vec{r}}\right| \psi_{i}\right\rangle-\left\langle\psi_{f}\left|\hat{\vec{r}} \mathcal{H}_{n u c}\right| \psi_{i}\right\rangle\right) \nonumber\]
і пам'ятаючи, що\(\left|\psi_{i, f}\right\rangle\) є власними станами гамільтоніана, ми маємо
\[\left\langle\psi_{f}|\hat{\vec{p}}| \psi_{i}\right\rangle=\frac{i m}{\hbar}\left(E_{f}-E_{i}\right)\left\langle\psi_{f}|\hat{\vec{r}}| \psi_{i}\right\rangle=i m \omega_{k}\left\langle\psi_{f}|\hat{\vec{r}}| \psi_{i}\right\rangle, \nonumber\]
де ми використовували те, що\( \left(E_{f}-E_{i}\right)=\hbar \omega_{k}\) за рахунок збереження енергії. Таким чином отримуємо
\[V_{i f}=\frac{e}{m c} \sqrt{\frac{2 \pi \hbar c^{2}}{V \omega_{k}}} i m \omega \vec{\epsilon}_{k} \cdot\left\langle\hat{\vec{r}} e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}\right\rangle=i \sqrt{\frac{2 \pi \hbar e^{2} \omega_{k}}{V}} \vec{\epsilon}_{k} \cdot\left\langle\hat{\vec{r}} e^{-i \vec{k} \cdot \vec{r}}\right\rangle \nonumber\]
Ми бачили, що довжини хвиль гамма-фотонів набагато більше, ніж ядерний розмір. Тоді\( \vec{k} \cdot \vec{r} \ll 1\) і ми можемо зробити розширення послідовно:\(e^{-\vec{k} \cdot \vec{r}} \sim \sum_{l} \frac{1}{l !}(-i \vec{k} \cdot \vec{r})^{l}=\sum_{l} \frac{1}{l !}(-i k r \cos \vartheta)^{l}\). Цей ряд дуже схожий за змістом на багатополюсний ряд, який ми бачили для класичного випадку.
Наприклад, для\(l\) = 0 отримуємо:
\[V_{i f}=\sqrt{\frac{2 \pi \hbar e^{2} \omega_{k}}{V}}\langle\hat{\vec{r}}\rangle \cdot \vec{\epsilon}_{k} \nonumber\]
що є диполярним наближенням, оскільки його можна записати також за допомогою електричного дипольного оператора\(e \hat{\vec{r}} \).
Кут між поляризацією е.м. поля і положенням\( \hat{\vec{r}}\) дорівнює\(\langle\hat{\vec{r}}\rangle \cdot \vec{\epsilon}=\langle\hat{\vec{r}}\rangle \sin \vartheta\)
Швидкість переходу для дипольного випромінювання\(W \equiv \lambda(E 1)\), тоді:
\[\lambda(E 1)=\frac{2 \pi}{\hbar}\left|\left\langle\psi_{f}|\hat{V}| \psi_{i}\right\rangle\right|^{2} \rho\left(E_{f}\right)=\frac{\omega^{3}}{2 \pi c^{3} \hbar}|\langle\hat{\vec{r}}\rangle|^{2} \sin ^{2} \vartheta d \Omega \nonumber\]
і інтеграція по всіх можливих напрямках емісії (\(\int_{0}^{2 \pi} d \varphi \int_{0}^{\pi}\left(\sin ^{2} \vartheta\right) \sin \vartheta d \vartheta=2 \pi \frac{4}{3}\)):
\[\lambda(E 1)=\frac{4}{3} \frac{e^{2} \omega^{3}}{\hbar c^{3}}|\langle\hat{\vec{r}}\rangle|^{2} \nonumber\]
Помноживши швидкість переходу (або фотонів, що випромінюються в одиницю часу) на енергію випромінюваних фотонів отримуємо випромінювану потужність,\(P=W \hbar \omega\):
\[P=\frac{4}{3} \frac{e^{2} \omega^{4}}{c^{3}}|\langle\hat{\vec{r}}\rangle|^{2} \nonumber\]
Зверніть увагу на схожість цієї формули з класичним відмінком:
\[P_{E 1}=\frac{1}{3} \frac{e^{2} \omega^{4}}{c^{3}}\left|\vec{r}_{0}\right|^{2} \nonumber\]
Швидкість переходу ми можемо оцінити, використовуючи типову енергію\( E=\hbar \omega\) для випромінюваного фотона (рівну типовій різниці енергій між збудженим і наземним ядерним рівнями) та очікуваного значення для диполя (\( |\langle\hat{\vec{r}}\rangle| \sim R_{n u c} \approx r_{0} A^{1 / 3}\)). Потім швидкість переходу оцінюється як
\[\lambda(E 1)=\frac{e^{2}}{\hbar c} \frac{E^{3}}{(\hbar c)^{3}} r_{0}^{2} A^{2 / 3}=1.0 \times 10^{14} A^{2 / 3} E^{3} \nonumber\]
(З Е в МеВ). Наприклад, для А = 64 і Е = 1МеВ швидкість дорівнює\(\lambda \approx 1.6 \times 10^{15} s^{-1} \) або\( \tau=10^{-15}\) (фемтосекунди!) для E = 0.1MEV\( \tau\) знаходиться на порядку пікосекунд.
Через великі енергії, що беруть участь, очікуються дуже швидкі процеси в ядерному розпаді від збуджених станів, відповідно до Золотим правилом Фермі та співвідношенням невизначеності енергії/часу.
Розширення на багатополюсні
Ми отримали вище швидкість переходу для електричного диполя, тобто коли взаємодія між ядром і е.м. полем описується електричним диполем і випромінюване випромінювання має характер електричного дипольного випромінювання. Цей тип випромінювання може здійснювати з ядра тільки один квант моменту моменту (тобто\(\Delta l=\pm 1 \) між збудженим і наземним станом). Загалом, збуджені рівні відрізняються більш ніж на 1\(l\), тому випромінюване випромінювання повинно бути більш високим багатополюсним випромінюванням, щоб зберегти кутовий імпульс.
Електричні мультиполя
Ми можемо повернутися до розширення радіаційної взаємодії в мультиполюсах:
\[\hat{V} \sim \sum_{l} \frac{1}{l !}(i \hat{\vec{k}} \cdot \hat{\vec{r}})^{l} \nonumber\]
Тоді швидкість переходу стає:
\[\lambda(E l)=\frac{8 \pi(l+1)}{l[(2 l+1) ! !]^{2}} \frac{e^{2}}{\hbar c}\left(\frac{E}{\hbar c}\right)^{2 l+1}\left(\frac{3}{l+3}\right)^{2} c\langle|\hat{\vec{r}}|\rangle^{2 l} \nonumber\]
Зверніть увагу на сильну залежність від\(l\) квантового числа. Постановка знову у\(|\langle\hat{\vec{r}}\rangle| \sim r_{0} A^{1 / 3}\) нас теж сильна залежність від числа маси.
Таким чином, ми маємо наступні оцінки для ставок різних електричних мультиполюсів:
- \(\lambda(E 1)=1.0 \times 10^{14} A^{2 / 3} E^{3}\)
- \(\lambda(E 2)=7.3 \times 10^{7} A^{4 / 3} E^{5}\)
- \(\lambda(E 3)=34 A^{2} E^{7}\)
- \(\lambda(E 4)=1.1 \times 10^{-5} A^{8 / 3} E^{9}\)
Магнітні мультиполюси
Е.м. потенціал також може містити магнітні взаємодії, що призводять до магнітних переходів. Швидкість переходу можна розрахувати за аналогічною формулою:
\[\lambda(M l)=\frac{8 \pi(l+1)}{l[(2 l+1) ! !]^{2}} \frac{e^{2}}{\hbar c} \frac{E^{2 l+1}}{\hbar c}\left(\frac{3}{l+3}\right)^{2} c\langle|\hat{\vec{r}}|\rangle^{2 l-2}\left[\frac{\hbar}{m_{p} c}\left(\mu_{p}-\frac{1}{l+1}\right)\right] \nonumber\]
де\(\mu_{p} \) - магнітний момент протона (і\( m_{p}\) його маса).
Кошториси для перехідних ставок можна дізнатися, встановивши\(\mu_{p}-\frac{1}{l+1} \approx 10\):
- \(\lambda(M 1)=5.6 \times 10^{13} E^{3}\)
- \(\lambda(M 2)=3.5 \times 10^{7} A^{2 / 3} E^{5}\)
- \(\lambda(M 3)=16 A^{4 / 3} E^{7}\)
- \(\lambda(M 4)=4.5 \times 10^{-6} A^{2} E^{9}\)
Правила відбору
Кутовий імпульс повинен бути збережений під час розпаду. Таким чином, різниця в кутовому імпульсі між початковим (збудженим) станом і кінцевим станом захоплюється випромінюваним фотоном. Ще одна збережена кількість - це загальний паритет системи.
Зміна парності
Парність гамма-фотона визначається його характером, або магнітним, або електричним мультипольним. У нас є
\[\Pi_{\gamma}(E l)=(-1)^{l} \quad \text { Electric multipole } \nonumber\]
\[\Pi_{\gamma}(M l)=(-1)^{l-1} \quad \text { Magnetic multipole } \nonumber\]
Тоді, якщо у нас є зміна парності від початкового до кінцевого стану,\(\Pi_{i} \rightarrow \Pi_{f}\) це враховується випромінюваним фотоном як:
\[\Pi_{\gamma}=\Pi_{i} \Pi_{f} \nonumber\]
Це, звичайно, обмежує тип багатополюсних переходів, які дозволені з урахуванням початкового та кінцевого стану.
\[\Delta \Pi=\mathrm{no} \rightarrow \text { Even Electric, Odd Magnetic } \nonumber\]
\[\Delta \Pi=\text { yes } \rightarrow \text { Odd Electric, Even Magnetic } \nonumber\]
Кутовий імпульс
Від збереження моменту моменту:
\[\hat{\vec{I}}_{i}=\hat{\vec{I}}_{f}+\hat{\vec{L}}_{\gamma} \nonumber\]
допустимі значення для кутового моменту квантового числа фотона\(l\), обмежуються
\[l_{\gamma}=\left|I_{i}-I_{f}\right|, \ldots, I_{i}+I_{f} \nonumber\]
Після того, як дозволені\(l\) були знайдені з вищевказаного співвідношення, характер (магнітний або електричний) мультиполя знаходять, дивлячись на парність.
Загалом тоді найважливішим переходом буде той, з найменшим дозволеним\(l\),\( \Pi\). Вищі мультиполюси також можливі, але вони призведуть до набагато повільніших процесів.
Домінантні режими розпаду
Загалом у нас є наступні прогнози того, які переходи будуть відбуватися:
- Домінує найнижчий дозволений мультипольний
- Електричні мультиполюси більш імовірні, ніж ті ж магнітні мультипольні на коефіцієнт 10 2 (однак, який з них відбудеться, залежить від парності)
\[\frac{\lambda(E l)}{\lambda(M l)} \approx 10^{2} \nonumber\] - Емісія з мультипольного\(l\) + 1 в 10 -5 разів менш вірогідна, ніж\(l\) -мультипольне випромінювання.
\[\frac{\lambda(E, l+1)}{\lambda(E l)} \approx 10^{-5}, \quad \frac{\lambda(M, l+1)}{\lambda(M l)} \approx 10^{-5} \nonumber\] - Поєднуючи 2 і 3, ми маємо:
\[\frac{\lambda(E, l+1)}{\lambda(M l)} \approx 10^{-3}, \quad \frac{\lambda(M, l+1)}{\lambda(E l)} \approx 10^{-7} \nonumber\]
Таким чином, E2 конкурує з M1, хоча це не так для M2 проти E1
Внутрішнє перетворення
Що станеться, якщо не можна знайти дозволених переходів? Це стосується рівних нуклідів, де розпад з збудженого стану 0 + повинен відбуватися без зміни кутового моменту. Однак фотон завжди несе певний момент моменту, тому гамма-випромінювання неможливе.
Потім відбувається інший процес, званий внутрішнім перетворенням:
\[\stackrel{A}{Z} X^{*} \rightarrow_{Z}^{A} X+e^{-} \nonumber\]
де\({}^A_Z X \) - іонізований стан і\(e^{-} \) є одним з атомних електронів.
Крім випадку рівних ядер, внутрішнє перетворення, як правило, є конкуруючим процесом гамма-розпаду (див. Krane для більш детальної інформації).