4.4: Ідентичні частинки

Почнемо спочатку з найпростішого випадку двочастинкової системи. Тоді хвильова функція:\(\psi\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)\) і якщо ми припустимо, що між двома частинками немає взаємодії, ми зможемо описати стани за допомогою поділу змінних:

\[\psi\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)=\psi_{a}\left(\vec{r}_{1}\right) \psi_{b}\left(\vec{r}_{2}\right) \nonumber\]

де a і b позначають два різних одночастинкових стани. Неявним у цьому виразі є припущення, що я можу розрізнити дві частинки деяким середнім і зв'язати частку одну з позицією 1 і станом а Однак, якщо розглядати дві однакові частинки (2 електрона, два фотони, два нейтрони) немає фізичного засобу, щоб їх розрізнити. Навіть якщо ми спробуємо виміряти їх, щоб відстежувати, який із них є, ми знаємо, що в процесі ми руйнуємо стан (колапс хвильової функції), тому навіть це не є можливістю.

Бозони, ферміони

У квантовій механіці ідентичні частинки принципово не відрізняються. Тоді вираз вище вже не коректно описує стан. Для того, щоб точно описати стан, в якому ми не можемо знати, чи є частка a або b в r ₁ або r ₂, ми можемо взяти лінійну комбінацію цих двох можливостей:\(\psi\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)=A_{1} \psi_{a}\left(\vec{r}_{1}\right) \psi_{b}\left(\vec{r}_{2}\right)+A_{2} \psi_{b}\left(\vec{r}_{1}\right) \psi_{a}\left(\vec{r}_{2}\right)\). Тепер, оскільки дві можливості мають однакову ймовірність, ми маємо\(\left|A_{1}\right|=\left|A_{2}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\). Тоді можливі дві комбінації:

\[\psi\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{a}\left(\vec{r}_{1}\right) \psi_{b}\left(\vec{r}_{2}\right) \pm \psi_{b}\left(\vec{r}_{1}\right) \psi_{a}\left(\vec{r}_{2}\right)\right] \nonumber\]

Ці дві комбінації описують два типи частинок. Поєднання зі знаком плюс описує бозони, частинки, які є інваріантними при обміні пари частинок. Поєднання зі знаком мінус описує ферміони:

• всі частинки з цілим спіном є бозонами
• всі частинки з напівцілим спіном є ферміонами

(Це можна довести в релятивістському QM).

Оператор обміну

Ми можемо визначити оператор\(\hat{P} \), який обмінює дві частинки:

\[\hat{P}\left[\psi\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)\right]=\psi\left(\vec{r}_{2}, \vec{r}_{1}\right) \nonumber\]

Оскільки\( \hat{P}\left[\hat{P}\left[\psi\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)\right]\right]=\psi\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)\), звичайно, ми маємо це\( \hat{P}^{2}=1\). Тоді власні значення\(\hat{P} \) повинні бути\(\pm 1 \). [Якщо\(\varphi_{n} \) є власною функцією\( \hat{P}\) з власним значенням\(p_{n} \), ми маємо\( \hat{P}^{2} \varphi_{n}=p_{n}^{2} \varphi_{n}=\varphi_{n}\), з якого\( p_{n}^{2}=1\).] Якщо дві частинки ідентичні, то гамільтоніан інваріантний щодо їх обміну і\( [\mathcal{H}, \hat{P}]=0\). Тоді ми можемо знайти енергетичні власні функції, які є загальними власними функціями обмінного оператора, або\( \psi\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)=\pm \psi\left(\vec{r}_{2}, \vec{r}_{1}\right)\). Тоді якщо система спочатку знаходиться в такому стані, вона завжди буде перебувати в стані з однаковою обмінною симетрією. Однак з міркувань вище ми бачили, що хвильова функція не тільки дозволена, але вона повинна знаходитися в стані з певною симетрією:

\ [\ PSI\ ліворуч (\ vec {r} _ {1},\ vec {r} _ {2}\ праворуч) =\ ліворуч\ {\ почати {масив} {ll}
\ psi\ ліворуч (\ vec {r} _ {r} _ {1}\ праворуч) &\ текст {бозони}\
-\ psi\ ліворуч (\ vec {r} _ {r} _ {2},\ vec {r} _ {1}\ право) &\ text {ферміони}
\ end {масив}\ право. \ номер\]

Принцип виключення Паулі

З форми дозволеної хвильової функції для ферміонів випливає, що два ферміони не можуть займати однаковий стан. Припустимо\( \psi_{a}(\vec{r})=\psi_{b}(\vec{r})\), що, тоді у нас завжди є що

\[\psi_{f}\left(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{a}\left(\vec{r}_{1}\right) \psi_{b}\left(\vec{r}_{2}\right)-\psi_{b}\left(\vec{r}_{1}\right) \psi_{a}\left(\vec{r}_{2}\right)\right]=0. \nonumber\]

Це відомий принцип виключення Паулі. Зверніть увагу, що, звичайно, це стосується будь-яких ферміонів. Наприклад, це стосується електронів, і це є причиною того, що електрони не накопичуються в найнижчому енергетичному рівні атомної структури, а утворюють модель оболонки. Ми побачимо, що те ж саме стосується і протонів та нейтронів, породжуючи модель оболонки для ядер.