3.3: Альфа-розпад

Якщо ми повернемося до енергії зв'язку на графік масового числа (\(B/A\)vs.\(A\)), то побачимо, що існує шишка (пік) для\(A ∼ 60 − 100\). Це означає, що навколо цих чисел існує відповідний мінімум (або енергетичний оптимум). Тоді важчі ядра захочуть розпастися до цих більш легких нуклідів, проливаючи деякі протони та нейтрони. Більш конкретно, зниження енергії зв'язку на високому рівні\(A\) обумовлено відштовхуванням Кулона. Кулонівське відштовхування зростає насправді як\(Z^2\), набагато швидше, ніж ядерна сила, яка пропорційна\(A\).

Це можна вважати подібним процесом до того, що відбувається в процесі поділу: з батьківського нукліду створюються два дочірні нукліди. У\(\alpha\) розпаді ми маємо конкретно:

\[\ce{_{Z}^{A} X_N -> _{Z-2}^{A-4} X_{N-2}^{\prime}} + \alpha \nonumber\]

де\(\alpha\) знаходиться ядро\(\mathrm{He}-4:{ }_{2}^{4} \mathrm{He}_{2}\).

\(\alpha\)Розпад повинен конкурувати з іншими процесами, такими як поділ на рівні дочірні нукліди, або на пари, включаючи ¹² C або ¹⁶ O, які мають більший B/A тоді\(\alpha\). Однак зазвичай віддають перевагу\(\alpha\) гниттю. Для того, щоб зрозуміти це, ми починаємо з погляду на енергійність розпаду, але нам потрібно буде вивчити квантове походження розпаду, щоб отримати повне пояснення.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Схеми альфа-розпаду (CC BY-NC-ND; Паола Капелларо)

Енергетика

При аналізі радіоактивного розпаду (або будь-якої ядерної реакції) важливою величиною є\(Q\), чиста енергія, що виділяється при розпаді:\(Q=\left(m_{X}-m_{X^{\prime}}-m_{\alpha}\right) c^{2}\). Це також дорівнює загальній кінетичній енергії фрагментів, тут\(Q=T_{X^{\prime}}+T_{\alpha} \) (тут припускаючи, що батьківський нуклід знаходиться в стані спокою).

Коли енергія\(Q\) > 0 вивільняється в ядерній реакції, тоді як для\(Q\) < 0 нам потрібно забезпечити енергію, щоб реакція відбулася. Як і в хімії, ми очікуємо, що перша реакція буде спонтанною, тоді як друга не відбувається в природі без втручання. (Перша реакція - екзоенергетична, друга ендо-енергійна). Зверніть увагу, що це не випадково, що це називається\(Q\). На практиці дані деякі реагенти і продукти,\(Q\) дають якість реакції, тобто наскільки енергетично сприятлива, отже, вірогідна, вона. Наприклад, в альфа-розпаді\( \log \left(t_{1 / 2}\right) \propto \frac{1}{\sqrt{Q_{\alpha}}}\), який є правилом Гейгера-Натталла (1928).

Альфа-частинка забирає більшу частину кінетичної енергії (оскільки вона набагато легше) і, вимірюючи цю кінетичну енергію експериментально, можна дізнатися маси нестійких нуклідів.

Ми можемо обчислити\(Q\) за допомогою SEMF. Потім:

\ [Q_ {\ альфа} =Б\ лівий (\ почати {масив} {c}
A-4\\
Z-2
\ кінець {масив} X_ {N-2} ^ {\ правий}\ праворуч) +B\ лівий ({} ^ {4} H е\ праворуч) -B\ лівий ({} _ {Z} ^ {A} X_ {N}\ праворуч) =B (A-4, Z-2) -B (A, Z) +B\ ліворуч ({} ^ {4} H e\ праворуч)\ nonumber\]

Ми можемо наблизити кінцеву різницю відповідним градієнтом:

\ [\ почати {вирівняти}
Q_ {\ альфа} &= [B (A-4, Z-2) -B (A, Z-2)] + [B (A, Z-2) -B (A, Z)] +B\ ліворуч ({} ^ {4} H е\ праворуч)\\[4pt] &\approx -4 \frac{\partial B}{\partial A}-2 \frac{\partial B}{\partial Z}+B\left({ }^{4} H e\right) \\[4pt] &=28.3-4 a_{v}+\frac{8}{3} a_{s} A^{-1 / 3}+4 a_{c}\left(1-\frac{Z}{3 A}\right)\left(\frac{Z}{A^{1 / 3}}\right)-4 a_{s y m}\left(1-\frac{2 Z}{A}+3 a_{p} A^{-7 / 4}\right)^{2} \end{align}\]

Оскільки ми дивимося на важкі ядра, то знаємо, що\(Z ≈ 0.41A\) (замість\(Z ≈ A/2\)) і отримуємо

\[Q_{\alpha} \approx-36.68+44.9 A^{-1 / 3}+1.02 A^{2 / 3}, \nonumber\]

де другий термін походить від поверхневого внеску, а останній термін - кулонівський термін (ми нехтуємо терміном сполучення, оскільки апріорі ми не знаємо, нуль чи ні).\(a_{p}\)

Потім кулонівський термін, хоча і невеликий, робить\(Q\) збільшення на великому А. Ми знаходимо\(A \gtrsim 150\), що\(Q \geq 0\) для, і це\(Q\) ≈ 6МеВ для A = 200. Хоча\(Q\) > 0, ми знаходимо експериментально, що\(\alpha\) розпад виникає лише для\(A \geq 200\).

Далі візьмемо для прикладу Францій-200 (\({ }_{87}^{200} \mathrm{Fr}_{113}\)). Якщо обчислити\( Q_{\alpha}\) з експериментально знайдених масових відмінностей отримаємо\(Q_{\alpha} \approx 7.6 \mathrm{MeV}\) (твір ¹⁹⁶ Ат). Ми можемо зробити той самий розрахунок для гіпотетичного розпаду на ¹² C і залишився фрагмент (\({}_{81}^{188} \mathrm{TI}_{ \ 107}\)):

\ [Q_ {12} C = C^ {2}\ лівий [м\ лівий (\ почати {масив} {c}
A\\
Z
\ кінець {масив} X_ {N}\ праворуч) -м\ лівий (\ початок {масив} {c}
A-12\
Z-6
\ кінець {масив} X_ {N-6} ^ {\ прайм}\ праворуч) -м\ ліво ({} ^ {12} C\ праворуч)\ праворуч]\ приблизно 28 M e V\ nonumber\]

Таким чином, ця друга реакція здається більш енергійною, отже, більш сприятливою, ніж альфа-розпад, але вона не відбувається (спостерігалися деякі розпади за участю С-12, але їх коефіцієнти розгалуження набагато менші).

Таким чином, дивлячись лише на енергійність розпаду не пояснює деяких питань, які оточують альфа-розпад:

• Чому немає ¹² С-розпаду? (або до деяких з цих щільно пов'язаних нуклідів, наприклад O-16 тощо)
• Чому немає спонтанного поділу на рівних дочок?
• Чому альфа-розпад тільки для\(A \geq 200 \)?
• Яке пояснення правила Гейгера-Наттолла? \(\log t_{1 / 2} \propto \frac{1}{\sqrt{Q_{\alpha}}}\)

Опис квантової механіки альфа-розпаду

Ми будемо використовувати напівкласичну модель (тобто поєднувати квантову механіку з класичною фізикою), щоб відповісти на питання вище.

Для вивчення квантового механічного процесу, що лежить в основі альфа-розпаду, розглядається взаємодія між дочірнім нуклідом і альфа-частинкою. Безпосередньо перед поділом ми можемо вважати цю пару вже присутньою всередині батьківського нукліду, у зв'язаному стані. Ми опишемо цю пару частинок в координатних кадрах їх центру мас: таким чином нас цікавить відносний рух (і кінетична енергія) двох частинок. Як це часто робиться в цих ситуаціях, ми можемо описати відносний рух двох частинок як рух однієї частинки відновленої маси\(\mu=\frac{m_{\alpha} m^{\prime}}{m_{\alpha}+m^{\prime}}\) (де m' - маса дочірнього нукліду).

Розглянемо для прикладу реакцію\({ }^{238} \mathrm{U} \rightarrow{ }^{234} \mathrm{Th}+\alpha\). Яка взаємодія між Th і альфа-частинкою в зв'язаному стані?

• На невеликій відстані ми маємо ядерну силу, що зв'язує ²³⁸ U.
• На великих відстанях переважає кулонівська взаємодія

Ядерна сила є дуже сильною, привабливою силою, тоді як кулонова сила серед протонів відштовхує і буде схильна до вигнання альфа-частинки.

Оскільки кінцевий стан, як відомо, має енергію\( Q_{\alpha}=4.3 \ \mathrm{MeV}\), ми візьмемо цю енергію, щоб бути також початковою енергією двох частинок у потенційній ямі (ми припускаємо, що\(Q_{\alpha}=E \) оскільки\(Q\) є кінетичною енергією, тоді як потенційна енергія дорівнює нулю). Розмір потенційної ями можна обчислити як суму дочірнього нукліду (²³⁴ Th) і альфа-радіусів:

\[R=R^{\prime}+R_{\alpha}=R_{0}\left((234)^{1 / 3}+4^{1 / 3}\right)=9.3 \mathrm{fm} \nonumber\]

З іншого боку, кулонівська енергія при цьому поділі дорівнює\(V_{C o u l}=e^{2} Z^{\prime} Z_{\alpha} / R=28 M e V \gg Q_{\alpha}\) (тут Z' = Z − 2). Потім частинки знаходяться всередині свердловини, з високим бар'єром (як\(V_{\text {Coul }} \gg Q \)), але є певна ймовірність тунелювання, оскільки Q > 0 і стан не стабільно пов'язаний.

Таким чином, якщо батьківський нуклід\( {}^{238} \mathrm{U}\), дійсно складався з альфа-частинки і дочірнього нукліду\( {}^{234} \mathrm{Th}\), то з деякою ймовірністю система опинилася б у зв'язаному стані і з деякою ймовірністю в занепалому стані, з альфа-частинкою поза потенційним бар'єром. Цю останню ймовірність можна обчислити з тунельної ймовірності P _T, яку ми вивчали в попередньому розділі, заданої амплітудним квадратом хвильової функції поза бар'єром\(P_{T}=\left|\psi\left(R_{\text {out}}\right)\right|^{2}\).

Як ми співвідносимо цю ймовірність зі швидкістю розпаду?

Нам потрібно помножити ймовірність тунелювання P _T на\(f\) частоту, при якій насправді можна\( {}^{238} \mathrm{U}\) було б знайти в двох фрагментах\({ }^{234} \mathrm{Th}+\alpha \) (хоча все ще пов'язані між собою всередині потенційного бар'єру). Швидкість розпаду потім задається\(\lambda_{\alpha}=f P_{T}\).

Для оцінки частоти прирівнюємо її до частоти\(f\), на якій складена частка в центрі маси кадру знаходиться на кордоні свердловини:\(f=v_{i n} / R\), де\(v_{i n} \) швидкість частинок при їх знаходженні всередині свердловини (див. Мультфільм на рис.\(\PageIndex{3}\)). У нас є\(\frac{1}{2} m v_{i n}^{2}=Q_{\alpha}+V_{0} \approx 40 \mathrm{MeV}\), від чого ми маємо\(v_{i n} \approx 4 \times 10^{22} \mathrm{fm} / \mathrm{s}\). Тоді частота є\(f \approx 4.3 \times 10^{21}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Потенційна яма для тунелювання альфа-розпаду. Внутрішній радіус дорівнює R, а перетин\(Q_{\alpha}\) з потенціалом дорівнює R _c > (не для масштабування). (CC BY-NC-ND; Паола>Капелларо >)

Рисунок\(\PageIndex{3}\): Положення дочірніх і альфа-частинок в ядрі, як видно в (ліворуч) лабораторному кадрі та (праворуч) у центрі кадру маси. Коли відносна відстань дорівнює нулю, це відповідає нерозділеному (батьківському) нукліду. Коли відносна відстань дорівнює R, це відповідає окремому альфа і дочірньому нукліду всередині ядра. (CC BY-NC-ND; Паола Капелларо)

Імовірність тунелювання задається амплітудним квадратом хвильової функції безпосередньо поза бар'єром\(P_{T}=\left|\psi\left(R_{c}\right)\right|^{2}\), де R _c - координата, при якій\(V_{\text {Coul }}\left(R_{c}\right)=Q_{\alpha}\), така, що частинка має знову позитивну кінетичну енергію:

\[R_{c}=\frac{e^{2} Z_{\alpha} Z^{\prime}}{Q_{\alpha}} \approx 63 \mathrm{fm} \nonumber\]

Нагадаємо, що у випадку квадратного бар'єру ми виражали хвильову функцію всередині бар'єру (в класично забороненій області) як плоску хвилю з уявним імпульсом, звідси і загасаючу експоненцію\( \psi_{i n}(r) \sim e^{-\kappa r}\). Який\(\hbar \kappa \) тут відповідний імпульс? Оскільки потенціал більше не є квадратним бар'єром, ми очікуємо, що імпульс (і кінетична енергія) буде функцією положення.

Загальна енергія задається\(E=Q_{\alpha} \) і є сумою потенціалу (Кулона) і кінетичної енергії. Як ми бачили, що кулонівська енергія вище\(Q\), ніж, ми знаємо, що кінетична енергія негативна:

\[Q_{\alpha}=T+V_{C o u l}=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 \mu}+\frac{Z_{\alpha} Z^{\prime} e^{2}}{r} \nonumber\]

з μ зменшеною масою

\[\mu=\frac{m_{\alpha} m^{\prime}}{m_{\alpha}+m^{\prime}} \nonumber\]

і\(k^{2}=-\kappa^{2} (with \( \kappa \in R\)). Це рівняння дійсне при будь-якому положенні всередині бар'єру:

\[\kappa(r)=\sqrt{\frac{2 \mu}{\hbar^{2}}\left[V_{C o u l}(r)-Q_{\alpha}\right]}=\sqrt{\frac{2 \mu}{\hbar^{2}}\left(\frac{Z_{\alpha} Z^{\prime} e^{2}}{r}-Q_{\alpha}\right)} \nonumber\]

Якби ми розглядали невеликий шматочок бар'єру, від\(r\) до\(r + dr\), то ймовірність пройти через цей бар'єр була б\(d P_{T}(r)=e^{-2 \kappa(r) d r}\). Якщо розділити тоді загальний бар'єрний діапазон на невеликі зрізи, остаточна ймовірність - добуток\(d P_{T}^{k}\) ймовірностей проходження через всі зрізи. Потім\(\log \left(P_{T}\right)=\sum_{k} \log \left(d P_{T}^{k}\right)\) і приймаючи суцільний ліміт\(\log \left(P_{T}\right)=\int_{R}^{R_{c}} \log \left[d P_{T}(r)\right]=-2 \int_{R}^{R_{c}} \kappa(r) d r\).

Нарешті ймовірність тунелювання задається тим\(P_{T}=e^{-2 G} \), де G обчислюється з інтеграла

\[G=\int_{R}^{R_{C}} d r \kappa(r)=\int_{R}^{R_{C}} d r \sqrt{\frac{2 \mu}{\hbar^{2}}\left(\frac{Z_{\alpha} Z^{\prime} e^{2}}{r}-Q_{\alpha}\right)} \nonumber\]

Ми можемо вирішити інтеграл аналітично, дозволивши\( r=R_{c} y=y \frac{Z_{\alpha} Z^{\prime} e^{2}}{Q_{\alpha}}\), потім

\[G=\frac{Z_{\alpha} Z_{0} e^{2}}{\hbar c} \sqrt{\frac{2 \mu c^{2}}{Q_{\alpha}}} \int_{R / R_{C}}^{1} d y \sqrt{\frac{1}{y}-1} \nonumber\]

який дає

\[G=\frac{Z_{\alpha} Z^{\prime} e^{2}}{\hbar c} \sqrt{\frac{2 \mu c^{2}}{Q_{\alpha}}}\left[\arccos \left(\sqrt{\frac{R}{R_{c}}}\right)-\sqrt{\frac{R}{R_{c}}} \sqrt{1-\frac{R}{R_{c}}}\right]=\frac{Z_{\alpha} Z^{\prime} e^{2}}{\hbar c} \sqrt{\frac{2 \mu c^{2}}{Q_{\alpha}}} \frac{\pi}{2} g\left(\sqrt{\frac{R}{R_{c}}}\right) \nonumber\]

де для спрощення позначення ми використовували функцію

\[g(x)=\frac{2}{\pi}\left(\arccos (x)-x \sqrt{1-x^{2}}\right) . \nonumber\]

Нарешті швидкість розпаду задається

\[\boxed{\lambda_{\alpha}=\frac{v_{i n}}{R} e^{-2 G}} \nonumber\]

де G - так званий фактор Гамова.

Для того, щоб отримати деяке уявлення про поведінку,\(G\) розглянемо наближення R R _c:

\[G=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{E_{G}}{Q_{\alpha}}} g\left(\sqrt{\frac{R}{R_{c}}}\right) \approx \frac{1}{2} \sqrt{\frac{E_{G}}{Q_{\alpha}}}\left[1-\frac{4}{\pi} \sqrt{\frac{R}{R_{c}}}\right] \nonumber\]

де E _G - енергія Гамова:

\[\boxed{E_{G}=\left(\frac{2 \pi Z_{\alpha} Z e^{2}}{\hbar c}\right)^{2} \frac{\mu c^{2}}{2}} \nonumber\]

Наприклад для досліджуваного\({ }^{238} \mathrm{U}\) розпаду E _G = 122 000МеВ (величезний!) так що\( \sqrt{E_{G} / Q_{\alpha}}=171\) поки\(g\left(\sqrt{\frac{R}{R_{c}}}\right) \approx 0.518\). Таким чином, експонента є великою кількістю, що дає дуже низьке тунелювання, ймовірно:\(e^{-2 G}=e^{-89}=4 \times 10^{-39}\). Потім,\(\lambda_{\alpha}=1.6 \times 10^{-17} \mathrm{~s}\) або\(t_{1 / 2}=4.5 \times 10^{9}\) роки, близькі до того, що спостерігалося.

Ці результати нарешті дають відповідь на питання, які ми мали щодо альфа-розпаду. Імовірність розпаду має дуже сильну залежність не тільки від,\(Q_{\alpha} \) але і від Z ₁ Z ₂ (де Z _i - кількість протонів у двох дочок). Це призводить до наступних спостережень:

• Інші типи розпаду менш імовірні, оскільки кулонівська енергія значно збільшиться, таким чином бар'єр стає занадто високим, щоб його можна було подолати.
• Те ж саме справедливо і для спонтанного поділу, незважаючи на\(Q\) те, що набагато вище (200MeV).
• Таким чином, ми виявляємо, що альфа-розпад є оптимальним механізмом. Тим не менш, це може статися тільки для A ≥ 200 саме тому, що в іншому випадку ймовірність тунелювання дуже мала.
• Закон Гейгера-Наттолла є прямим наслідком теорії квантового тунелювання. Також великі варіації швидкості розпаду з\(Q\) є наслідком експоненціальної залежності від\(Q\).

Останнє застереження щодо моделі: напівкласична модель, яка використовується для опису альфа-розпаду, дає досить точні прогнози швидкості розпаду протягом багатьох порядків величин. Однак це не слід сприймати як вказівку на те, що батьківське ядро дійсно вже містить альфа-частинку та дочірнє ядро (лише воно поводиться так, ніби це було, доки ми обчислюємо швидкості альфа-розпаду).