3.1: Огляд - Задача про власну вартість енергії

Last updated
Save as PDF

Page ID: 79468

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Незалежна від часу хвильова функція підпорядковується незалежному від часу рівнянню Шредінгера:

\[\boxed{\mathcal{H} \varphi(\vec{x})=E \varphi(\vec{x})} \nonumber\]

де Е ідентифікується як енергія системи. Якщо хвильова функція задається лише її незалежною від часу частиною\( \psi(\vec{x}, t)=\varphi(\vec{x})\), стан є нерухомим. Таким чином, незалежне від часу рівняння Шредінгера дозволяє знайти стаціонарні стани системи, задані деяким гамільтоном.

Зверніть увагу, що незалежне від часу рівняння Шредінгера є не що інше, як рівняння власних значень для гамільтоновського оператора.

Енергія частинки має внесок від кінетичної енергії, а також потенційної енергії:

\[\mathcal{H}=\frac{1}{2 m}\left(\hat{p}_{x}^{2}+\hat{p}_{y}^{2}+\hat{p}_{z}^{2}\right)+V(\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}) \nonumber\]

або більш явно:

\[\mathcal{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\right)+V(x, y, z) \nonumber\]

які можуть бути записані в компактному вигляді як

\[\boxed{\mathcal{H}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+V(x, y, z)} \nonumber\]

(Зверніть увагу, що V (x, y, z) - це просто мультиплікативний оператор, так само, як і позиція).

У 1D для вільної частинки немає потенційної енергії, а лише кінетична енергія, яку ми можемо переписати як:

\[\mathcal{H}=\frac{1}{2 m} p^{2}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\nonumber\]

Задача на власні значення\( \mathcal{H} w_{n}(x)=E_{n} w_{n}(x)\) - це диференціальне рівняння.

\[\mathcal{H} w_{n}(x)=E_{n} w_{n}(x) \rightarrow-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} w_{n}(x)}{\partial x^{2}}=E_{n} w_{n}(x) \nonumber\]

Для вільної частинки немає обмеження на можливі енергії, E _n може бути будь-яким додатним числом. Розв'язок задачі на власні значення - це власна функція:

\[w_{n}(x)=A \sin \left(k_{n} x\right)+B \cos \left(k_{n} x\right)=A^{\prime} e^{i k_{n} x}+B^{\prime} e^{-i k_{n} x} \nonumber\]

який являє собою дві хвилі, що рухаються в протилежних напрямках.

Ми бачимо, що існує дві незалежні функції для кожного з власних значень E _n. Також існують два різних імпульсних власних значення\(\pm k_{n}\) для кожної енергії власної величини, які відповідають двом різним напрямкам поширення хвильової функції\(e^{\pm i k_{n} x}\).