2.5: Оператори, комутатори та принцип невизначеності
- Page ID
- 79496
Комутатор
Комутатор двох операторів A, B - це оператор C = [A, B] такий, що C = AB − BA.
Якщо оператори A і B є скалярними операторами (такими як оператори позиції), то AB = BA і комутатор завжди дорівнює нулю.
Якщо оператори A і B є матрицями, то взагалі\( A B \neq B A\). Розглянемо для прикладу:
\ [A=\ гідророзриву {1} {2}\ ліворуч (\ почати {масив} {ll}
0 & 1\
1 & 0\ кінець {масив}
\ праворуч),\ quad B =\ frac {1} {2}\ ліворуч (\ begin {масив} {cc} {cc}
1 &
0\ -1
\ кінець {масив}\ праворуч)\ nonumber\]
Тоді
\ [A B=\ гідророзриву {1} {2}\ ліворуч (\ begin {масив} {cc}
0 & -1\
1 & 0
\ кінець {масив}\ праворуч),\ квад B A=\ frac {1} {2}\ ліворуч (\ begin {масив} {cc}
{cc} 0 & 0
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]
Тоді [А, Б] = 2AB.
A - Поверніть праворуч. B це Зробіть 3 кроки ліворуч від вас.
Питання
Ці два оператори їздять на роботу?
Нехай A і B будуть два обертання. Спочатку припустимо, що A - це обертання\(\pi\) /4 навколо напрямку x і B a\(\pi\) 3/4 обертання в тому ж напрямку. Тепер припустимо, що вектор, який потрібно повернути, спочатку навколо z Потім, якщо ми застосуємо AB (це означає, спочатку обертання\(\pi\) 3/4 навколо x, а потім\(\pi\) /4 обертання), вектор закінчується в негативному напрямку z. Те ж саме станеться, якщо застосувати BA (спочатку A, а потім B).
Тепер припустимо, що A є поворотом\(\pi\) /2 навколо напрямку x і B навколо напрямку z. Коли ми застосовуємо AB, вектор закінчується (від напрямку z) вздовж осі y (оскільки перше обертання нічого не робить з ним), якщо замість цього ми застосуємо BA вектор вирівнюється вздовж напрямку x. При цьому два обертання по різних осях не коммутують.
Ці приклади показують, що комутатори не є специфічними для квантової механіки, але їх можна знайти в повсякденному житті. Тепер ми хочемо приклад для операторів QM.
Найвідоміший зв'язок комутації - між операторами позиції та імпульсу. Розглянемо спочатку 1D випадок. Ми хочемо знати, що таке\(\left[\hat{x}, \hat{p}_{x}\right] \) (я опущу індекс на імпульс). Ми сказали, що це оператор, тому для того, щоб знати, що це таке, ми застосовуємо його до функції (хвильова функція). Давайте назвемо цього оператора\(C_{x p}, C_{x p}=\left[\hat{x}, \hat{p}_{x}\right]\).
\[[\hat{x}, \hat{p}] \psi(x)=C_{x p}[\psi(x)]=\hat{x}[\hat{p}[\psi(x)]]-\hat{p}[\hat{x}[\psi(x)]]=-i \hbar\left(x \frac{d}{d x}-\frac{d}{d x} x\right) \psi(x) \nonumber\]
\[-i \hbar\left(x \frac{d \psi(x)}{d x}-\frac{d}{d x}(x \psi(x))\right)=-i \hbar\left(x \frac{d \psi(x)}{d x}-\psi(x)-x \frac{d \psi(x)}{d x}\right)=i \hbar \psi(x) \nonumber\]
З\([\hat{x}, \hat{p}] \psi(x)=i \hbar \psi(x) \) якого діє для всіх,\( \psi(x)\) ми можемо написати
\[\boxed{[\hat{x}, \hat{p}]=i \hbar }\nonumber\]
Розглядаючи тепер 3D випадок, ми пишемо компоненти позиції як\(\left\{r_{x}, r_{y} r_{z}\right\} \). Тоді у нас є взаємозв'язки комутатора:
\[\boxed{\left[\hat{r}_{a}, \hat{p}_{b}\right]=i \hbar \delta_{a, b} }\nonumber\]
тобто векторні компоненти в різні боки коммутують (комутатор дорівнює нулю).
властивості комутаторів
- Будь-який оператор комутує зі скалярами\([A, a]=0\)
- [A, BC] = [A, B] C + B [A, C] і [AB, C] = A [B, C] + [A, C] B
- Будь-який оператор комутує з собою [A, A] = 0, з будь-якою потужністю себе [A, A n] = 0 і з будь-якою функцією себе\([A, f(A)]=0\) (від попередньої властивості і з розширенням потужності будь-якої функції).
З цих властивостей ми маємо, що гамільтоніан вільної частинки комутується з імпульсом:\([p, \mathcal{H}]=0 \) оскільки для вільної частинки\( \mathcal{H}=p^{2} / 2 m\). Крім того,\(\left[x, p^{2}\right]=[x, p] p+p[x, p]=2 i \hbar p \).
Зараз ми доведемо важливу теорему, яка матиме наслідки для того, як ми можемо описати стани систем, вимірюючи різні спостережувані, а також скільки інформації ми можемо отримати про очікувані значення різних спостережуваних.
Якщо A і B коммутують, то вони мають набір нетривіальних загальних власних функцій.
- Доказ
-
\(\varphi_{a}\)Дозволяти бути власною функцією A з власним значенням a:
\[A \varphi_{a}=a \varphi_{a} \nonumber\]
Тоді
\[B A \varphi_{a}=a B \varphi_{a} \nonumber\]
Але так як [A, B] = 0 у нас є BA = AB. Давайте підставимо в LHS:
\[A\left(B \varphi_{a}\right)=a\left(B \varphi_{a}\right) \nonumber\]
Це означає, що (\( B \varphi_{a}\)) також є власною функцією A з однаковим власним значенням a Якщо\(\varphi_{a}\) є єдиною лінійно незалежною власною функцією A для власної величини a, то\( B \varphi_{a}\) дорівнює не більше ніж мультиплікативній\( \varphi_{a}\) константі:\( B \varphi_{a} \propto \varphi_{a}\).
Тобто ми можемо написати
\[B \varphi_{a}=b_{a} \varphi_{a} \nonumber\]
Але це рівняння не що інше, як рівняння власного значення для Б. Тоді також\( \varphi_{a}\) є власною функцією B з власним значенням\( b_{a}\). Таким чином, ми довели, що\( \varphi_{a}\) є спільною власною функцією для двох операторів A та B ☐.
Ми щойно бачили, що оператор імпульсу комутується з гамільтоном вільної частинки. Тоді два оператори повинні поділяти спільні власні функції.
Це дійсно так, як ми можемо перевірити. Розглянемо власні функції для оператора імпульсу:
\[\hat{p}\left[\psi_{k}\right]=\hbar k \psi_{k} \quad \rightarrow \quad-i \hbar \frac{d \psi_{k}}{d x}=\hbar k \psi_{k} \quad \rightarrow \quad \psi_{k}=A e^{-i k x} \nonumber\]
До чого застосовується гамільтоніан\( \psi_{k}\)?
\[\mathcal{H}\left[\psi_{k}\right]=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2}\left(A e^{-i k x}\right)}{d x^{2}}=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m} A e^{-i k x}=E_{k} \psi_{k} \nonumber\]
Таким чином, ми виявили, що\(\psi_{k} \) це також розв'язок рівняння власних значень для гамільтоніана, тобто це також власна функція для гамільтоніана.
Комутуючі спостережувані
Виродження
У доведенні теореми про комутацію спостережуваних і загальних власних функцій ми взяли окремий випадок, в якому припускаємо, що власне значення не\(a\) вироджене. Тобто ми\(\varphi_{a}\) констатували, що це єдина лінійно незалежна власна функція A для власне значення\(a\) (функції типу\(4 \varphi_{a}, \alpha \varphi_{a} \) не враховуються, оскільки вони не лінійно незалежні від\(\varphi_{a} \)).
Загалом, власне значення вироджується, якщо існує більше однієї власної функції, яка має однакове власне значення. Виродження власного значення - це кількість власних функцій, які поділяють це власне значення.
Наприклад\(a\) є\(n\) -вироджений, якщо є\(n\) власні функції\( \left\{\varphi_{j}^{a}\right\}, j=1,2, \ldots, n\), такі що\( A \varphi_{j}^{a}=a \varphi_{j}^{a}\).
Що станеться, якщо послабити припущення, що\(a\) власне значення не вироджується в теоремі вище? Розглянемо, наприклад, що існує дві власні функції, пов'язані з одним і тим же власним значенням:
\[A \varphi_{1}^{a}=a \varphi_{1}^{a} \quad \text { and } \quad A \varphi_{2}^{a}=a \varphi_{2}^{a} \nonumber\]
то будь-яка лінійна комбінація також\(\varphi^{a}=c_{1} \varphi_{1}^{a}+c_{2} \varphi_{2}^{a} \) є власною функцією з однаковим власним значенням (існує нескінченність таких власних функцій). З рівності\(A\left(B \varphi^{a}\right)=a\left(B \varphi^{a}\right)\) ми все ще можемо констатувати, що (\( B \varphi^{a}\)) є власною функцією A, але ми не знаємо, яка з них. Найзагаліше, існують\(\tilde{c}_{1}\) і\(\tilde{c}_{2}\) такі, що
\[B \varphi_{1}^{a}=\tilde{c}_{1} \varphi_{1}^{a}+\tilde{c}_{2} \varphi_{2}^{a} \nonumber\]
але в цілому\( B \varphi_{1}^{a} \not \alpha \varphi_{1}^{a}\) або не\(\varphi_{1}^{a} \) є власноюфункцією B теж.
Розглянемо ще раз енергетичні власні функції вільної частинки. З кожною енергією\(E=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m} \) пов'язані дві лінійно-незалежні власні функції (власне значення подвійно вироджується). Ми можемо вибрати, наприклад,\( \varphi_{E}=e^{i k x}\) і\(\varphi_{E}=e^{-i k x} \). Зауважте, що це також власні функції оператора імпульсу (з власними значеннями ± k). Якщо ми вибрали замість цього як власні функції cos (kx) та sin (kx), то вони не є власними функціями\(\hat{p}\).
Загалом, завжди можна вибрати множину (лінійно незалежних) власних функцій A для власного значення, що\(a\) вони також є власними функціями B.
Наприклад, для моментума/гамільтоніана ми повинні вибрати експоненціальні функції замість тригонометричних функцій. Крім того, якщо власне значення A вироджене, можна позначити відповідні його власні функції власним значенням B, таким чином піднімаючи виродження. Наприклад, існує дві власні функції, пов'язані з енергією Е:\(\varphi_{E}=e^{\pm i k x} \). Ми можемо розрізнити їх, позначивши їх власним значенням імпульсу\(\pm k\):\( \varphi_{E,+k}=e^{i k x}\) і\(\varphi_{E,-k}=e^{-i k x} \).
- Доказ
-
Припустімо, що тепер у нас є власне значення\(a\) з\(n\) -fold виродження таким чином, що існують\(n\) незалежні власні функції\(\varphi_{k}^{a}\), k = 1,., n. Будь-яка лінійна комбінація цих функцій також є власною функцією\(\tilde{\varphi}^{a}=\sum_{k=1}^{n} \tilde{c}_{k} \varphi_{k}^{a}\). Для будь-якої з цих власних функцій (візьмемо\( h^{t h}\) одну) ми можемо написати:
\[B\left[A\left[\varphi_{h}^{a}\right]\right]=A\left[B\left[\varphi_{h}^{a}\right]\right]=a B\left[\varphi_{h}^{a}\right] \nonumber\]
так що\( \bar{\varphi}_{h}^{a}=B\left[\varphi_{h}^{a}\right]\) є власною функцією A з власним значенням a, то цю функцію можна записати в терміні\( \left\{\varphi_{k}^{a}\right\}\):
\[B\left[\varphi_{h}^{a}\right]=\bar{\varphi}_{h}^{a}=\sum_{k} \bar{c}_{h, k} \varphi_{k}^{a} \nonumber\]
Це позначення дає зрозуміти, що\( \bar{c}_{h, k}\) це тензор (матриця n × n), що оперує перетворенням з безлічі власних функцій A (обраної довільно) в інший набір власних функцій. Ми можемо написати рівняння власних значень також для цього тензора,
\[\bar{c} v^{j}=b^{j} v^{j} \quad \rightarrow \quad \sum_{h} \bar{c}_{h, k} v_{h}^{j}=b^{j} v^{j} \nonumber\]
де власні\(v^{j} \) вектори - вектори довжини\( n\).
Якщо ми тепер визначаємо функції\( \psi_{j}^{a}=\sum_{h} v_{h}^{j} \varphi_{h}^{a}\), ми маємо, що\( \psi_{j}^{a}\), звичайно, власні функції A з власним значенням a. також
\[B\left[\psi_{j}^{a}\right]=\sum_{h} v_{h}^{j} B\left[\varphi_{h}^{a}\right]=\sum_{h} v_{h}^{j} \sum_{k=1}^{n} \bar{c}_{h, k} \varphi_{k}^{a} \nonumber\]
\[=\sum_{k} \varphi_{k}^{a} \sum_{h} \bar{c}_{h, k} v_{h}^{j}=\sum_{k} \varphi_{k}^{a} b^{j} v_{k}^{j}=b^{j} \sum_{k} v_{k}^{j} \varphi_{k}^{a}=b^{j} \psi_{j}^{a} \nonumber\]
Таким чином, ми довели, що\( \psi_{j}^{a}\) є власними функціями B з власними значеннями\(b^{j} \). \( \psi_{j}^{a}\)Є одночасними власними функціями як A, так і B.
Розглянемо набір функцій\( \left\{\psi_{j}^{a}\right\}\). З точки зору А вони не помітні, всі вони мають однакове власне значення, тому вироджені. Беручи до уваги другий оператор B, ми можемо підняти їх виродження, позначивши їх індексом j, відповідним власному значенню B (\(b^{j}\)).
Припустимо, що ми вибираємо\( \varphi_{1}=\sin (k x)\) і\( \varphi_{2}=\cos (k x)\) як вироджені власні функції\( \mathcal{H}\) з однаковим власним значенням\( E_{k}=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m}\). Тепер ми хочемо знайти за допомогою цього методу загальні власні функції\(\hat{p} \). Для початку потрібно знайти матрицю\( \bar{c}\) (тут матриця 2×2), застосувавши\( \hat{p}\) до власних функцій.
\[ \hat{p} \varphi_{1}=-i \hbar \frac{d \varphi_{1}}{d x}=i \hbar k \cos (k x)=-i \hbar k \varphi_{2} \nonumber\]
і\( \hat{p} \varphi_{2}=i \hbar k \varphi_{1}\). Тоді матриця\( \bar{c}\) така:
\ [\ бар {c} =\ left (\ begin {масив} {cc}
0 & i\ hbar k\\
-i\ hbar k & 0
\ end {масив}\ праворуч)\ nonumber\]
з власними значеннями та\( \) власними векторами (не нормовані)
\ [v^ {1} =\ лівий [\ begin {масив} {l}
-i\\
1
\ кінець {масив}\ справа],\ quad v^ {2} =\ лівий [\ begin {масив} {l}
я\\
1
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]
Потім ми запишемо\(\psi\) власні функції:
\[\psi^{1}=v_{1}^{1} \varphi_{1}+v_{2}^{1} \varphi_{2}=-i \sin (k x)+\cos (k x) \propto e^{-i k x}, \quad \psi^{2}=v_{1}^{2} \varphi_{1}+v_{2}^{2} \varphi_{2}=i \sin (k x)+\cos (k x) \propto e^{i k x} \nonumber\]
Повний набір комутуючих спостережуваних
Ми бачили, що якщо власне значення вироджується, з ним пов'язано більше однієї власної функції. Потім, якщо ми виміряємо спостережуване отримання А,\(a\) ми все ще не знаємо, який стан системи після вимірювання. Якщо ми візьмемо інший спостережуваний B, який їздить з A, ми можемо виміряти його та отримати\(b\). Таким чином, ми отримали деяку додаткову інформацію про стан, оскільки ми знаємо, що вона зараз знаходиться в загальному власному стані як A, так і B з власними значеннями\(a\) і\(b\). Все-таки цього може бути недостатньо, щоб повністю визначити державу, якщо є більше однієї держави\( \varphi_{a b} \). Потім ми можемо шукати інший спостережуваний C, що комутує як з A, так і B і так далі, поки ми не знайдемо набір спостережуваних таких, що при вимірюванні їх і отриманні власних значень a, b, c, d,.\(\varphi_{a b c d \ldots} \) Функція однозначно визначена. Тоді множина операторів {A, B, C, D,.} називається повним набором комутуючих спостережуваних. Власні значення a, b, c, d,.,., що визначають стан, називаються хорошими квантовими числами, а стан записується в позначенні Дірака як\(|a b c d \ldots\rangle \).
Обс. Набір спостережуваних поїздок не є унікальним.
Принцип невизначеності
Невизначеність для хвиль
Принцип невизначеності, про який ви, напевно, вже чули, не зустрічається тільки в QM. Розглянемо для прикладу поширення хвилі. Якщо ритмічно трясти мотузку, ви генеруєте нерухому хвилю, яка не локалізується (де хвиля??) але він має чітко визначену довжину хвилі (і, отже, імпульс).
Якщо замість цього ви даєте раптовий ривок, ви створюєте добре локалізований wavepacket. Однак тепер довжина хвилі недостатньо визначена (оскільки ми маємо суперпозицію хвиль з багатьма довжинами хвиль). Таким чином, положення та довжина хвилі не можуть бути чітко визначені одночасно. У QM ми виражаємо цей факт нерівністю, що включає позицію та імпульс\( p=\frac{2 \pi \hbar}{\lambda}\). Тоді у нас є\( \sigma_{x} \sigma_{p} \geq \frac{\hbar}{2}\). Зараз ми будемо висловлювати ці ідеї більш суворо.
Повторні вимірювання
Нагадаємо, що третій постулат стверджує, що після вимірювання хвильова функція руйнується до власної функції спостережуваного власного значення.
Припустимо, що я роблю два вимірювання одного і того ж оператора A один за одним (немає еволюції, або часу, щоб змінити систему між вимірами). У першому вимірі я отримую результат\( a_{k}\) (власне значення A). Тоді, щоб QM був послідовним, він повинен вважати, що друге вимірювання також дає мені ту саму відповідь\( a_{k}\). Як це можливо? Ми знаємо, що якщо система знаходиться в стані\( \psi=\sum_{k} c_{k} \varphi_{k}\), з\( \varphi_{k}\) власною функцією, відповідною власному значенню\(a_{k} \) (припустимо, що для простоти немає виродження), ймовірність отримання\(a_{k} \) є\( \left|c_{k}\right|^{2}\). Якщо я хочу\( \left|c_{k}\right|^{2}=1\), щоб нав'язати це, я повинен встановити хвильову функцію після вимірювання бути\(\psi=\varphi_{k} \) (як\( c_{h}, h \neq k\) всі інші нуль). Це так званий колапс хвильової функції. Це не таємнича випадковість, але це рецепт, який гарантує послідовність QM (та експериментальних результатів) (таким чином, він включений в один з постулатів).
Тепер розглянемо випадок, в якому ми робимо два послідовних вимірювання двох різних операторів, А і Б. Спочатку виміряємо А і отримуємо\( a_{k}\). Тепер ми знаємо, що стан системи після вимірювання має бути\( \varphi_{k}\). Тепер у нас є дві можливості.
Якщо [A, B] = 0 (два оператора коммутіруют, і знову для простоти ми припускаємо відсутність виродження), то також\(\varphi_{k} \) є власною функцією Б. потім, коли ми вимірюємо B, ми отримуємо результат\(b_{k} \) з упевненістю. У вимірюванні немає невизначеності. Якщо я виміряю A знову, я б все одно отримав\(a_{k} \). Якби я перевернув порядок вимірювань, я б отримав такі ж результати (перший результат вимірювання завжди невідомий, якщо тільки система вже не знаходиться у власному стані операторів).
Це не так вже й дивно, якщо розглядати класичну точку зору, де вимірювання не носять ймовірнісного характеру.
Другий варіант розвитку подій - якщо\( [A, B] \neq 0 \). Тоді, не\(\varphi_{k} \) є власною функцією B, але замість цього може бути записана через власні функції B,\( \varphi_{k}=\sum_{h} c_{h}^{k} \psi_{h}\) (де\(\psi_{h} \) власні функції B з власним значенням\( b_{h}\)). Вимірювання В не має певного результату. Ми б отримали\(b_{h}\) з ймовірністю\( \left|c_{h}^{k}\right|^{2}\).
Тоді існує внутрішня невизначеність у послідовному вимірюванні двох спостережуваних, що не комутуються. Також результати послідовних вимірювань А, В і А знову відрізняються, якщо я змінюю порядок В, А і В.
Це означає, що якщо я намагаюся з упевненістю знати результат першого спостережуваного (наприклад, готуючи його у власній функції), я маю невизначеність в іншому спостережуваному. Ми побачили, що ця невизначеність пов'язана з комутатором двох спостережуваних. Це твердження можна зробити більш точним.
Визначте C = [A, B] і ΔA і ΔB невизначеність в результатах вимірювань A і B:\( \Delta A^{2}= \left\langle A^{2}\right\rangle-\langle A\rangle^{2}\), де\( \langle\hat{O}\rangle\) - очікуване значення оператора\(\hat{O} \) (тобто середнє за можливими результатами, для заданого стану:\( \langle\hat{O}\rangle=\langle\psi|\hat{O}| \psi\rangle=\sum_{k} O_{k}\left|c_{k}\right|^{2}\)).
Потім:
\[\boxed{\Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2}|\langle C\rangle| }\nonumber\]
Це принцип невизначеності Гейзенберга.
Найважливішим прикладом є взаємозв'язок невизначеності між позицією та імпульсом. Ми знаємо, що ці два оператори не їздять на роботу, і їх комутатор є\([\hat{x}, \hat{p}]=i \hbar \). Тоді
\[\boxed{\Delta \hat{x} \Delta \hat{p} \geq \frac{\hbar}{2} }\nonumber\]