1.2: Енергія зв'язування та напівемпірична формула маси
- Page ID
- 79443
Енергія зв'язування
Дві важливі ядерні властивості, які ми хочемо вивчити, - це енергія ядерного зв'язку та маса нуклідів. Можна подумати, що оскільки ми знаємо маси протона і нейтрона, ми могли б просто знайти маси всіх нуклідів за допомогою простої формули:
\[m_{N} \stackrel{?}{=} Z m_{p}+N m_{n}.\]
Однак експериментально видно, що це не так. З спеціальної теорії відносності ми знаємо, що кожній масі відповідає якась енергія,\(E = mc^2\). Тоді, якщо ми просто підсумуємо маси всіх складових ядра, ми матимемо, скільки енергії вони представляють. Маса ядра також пов'язана з його внутрішньою енергією. Таким чином, має сенс, що це не тільки сума його складових енергій, оскільки ми очікуємо, що інша енергія витрачається на утримання ядра разом. Якби енергія була рівною, то не було б сприятливо мати зв'язані ядра, і всі ядра були б нестійкими, постійно змінюючись зі свого зв'язаного стану на суму протонів і нейтронів.
Енергія зв'язку ядра потім задається різницею в енергії маси між ядром та його складовими. Для ядра\( { }_{Z}^{A} X_{N}\) енергія зв'язування B задається
\[B=\left[Z m_{p}+N m_{n}-m_{N}\left({ }^{A} X\right)\right] c^{2} \nonumber\]
Однак ми хочемо висловити цю величину з точки зору експериментально доступних величин. Таким чином, ми записуємо ядерну масу з точки зору атомної маси, яку ми можемо виміряти,
\[m_{N}\left({ }^{A} X\right) c^{2}=\left[m_{A}\left({ }^{A} X\right)-Z m_{e}\right] c^{2}+B_{e}\]
де\(m_{A}\left({ }^{A} X\right)\) - атомна маса ядра. Далі нехтуємо енергією електронного зв'язку\(B_e\), встановивши
\[m_{N}\left({ }^{A} X\right) c^{2}= \left[m_{A}\left({ }^{A} X\right)-Z m_{e}\right] c^{2}.\]
Нарешті отримаємо вираз для енергії ядерного зв'язку:
\[\boxed{B=\left\{Z m_{p}+N m_{n}-\left[m_{A}\left({ }^{A} X\right)-Z m_{e}\right]\right\} c^{2} }\nonumber\]
Величинами інтересу є також енергії поділу нейтронів і протонів:
\ [\ почати {вирівняний}
S_ {n} &=B\ ліворуч ({} _ {Z} ^ {A} X_ {N}\ праворуч) -Б\ ліворуч ({} _ {Z} ^ {A-1} X_ {N-1}\ праворуч)\\
S_ {p} &= B\ ліворуч ({} _ {Z} ^ {A} X_ {N}\ правий) -B\\ ліворуч ({} _ {Z-1} ^ {A-1} X_ {N}\ праворуч)
\ кінець {вирівняний}\]
які є аналогом енергій іонізації в атомній фізиці, що відображають енергії валентних нуклонів. Ми побачимо, що ці енергії показують підписи оболонкової структури ядер.
Напівемпірична формула маси
Енергія зв'язку зазвичай будується як B/A або енергія зв'язування на нуклеон. Це ілюструє, що енергія зв'язку в цілому просто пропорційна А, так як B/A в основному постійна.
Однак є виправлення цієї тенденції. Залежність B/A від A (і Z) фіксується напівемпіричної формулою маси. Ця формула базується на перших принципових міркуваннях (моделі ядерної сили) та на експериментальних доказах для пошуку точних параметрів, що визначають її. У цій моделі, так званій моделі рідина-крапля, всі нуклони рівномірно розподілені всередині ядра і пов'язані між собою ядерною силою, тоді як взаємодія Кулона викликає відштовхування між протонами. Характеристики ядерної сили (її короткий діапазон) і кулонівської взаємодії пояснюють частину напівемпіричної формули маси. Однак були введені інші (менші) поправки для врахування варіацій енергії зв'язку, які виникають через її квантово-механічну природу (і які породжують модель ядерної оболонки).
Напівемпірична формула маси (SEMF)
\[M(Z, A)=Z m\left({ }^{1} H\right)+N m_{n}-B(Z, A) / c^{2} \nonumber\]
де енергія зв'язку B (Z, A) задається за такою формулою:
Ми зараз вивчимо кожен термін в SEMF.
Термін об'єму
Перший термін - це об'ємний термін a v A, який описує, як енергія зв'язування здебільшого пропорційна A. Чому це так?
Пам'ятайте, що енергія зв'язування є мірою взаємодії між нуклонами. Оскільки нуклони тісно упаковані в ядро, а ядерна сила має дуже короткий діапазон, кожен нуклеон в кінцевому підсумку взаємодіє лише з кількома сусідами. Це означає, що незалежно від загальної кількості нуклонів кожен з них вносить однаковий внесок. Таким чином, сила не пропорційна A (A − 1) /2 A 2 (загальна кількість нуклонів, з якими може взаємодіяти нуклон), але вона просто пропорційна А. константа пропорційності є відповідним параметром, який експериментально виявляється a v = 15.5MeV.
Ця величина менше енергії зв'язування нуклонів зі своїми сусідами, що визначається силою ядерного (сильного) взаємодії. Встановлено (а ми вивчимо пізніше), що енергія зв'язування одного нуклона з іншими нуклонами знаходиться на порядку 50 МеВ. Загальна енергія зв'язку - це замість цього різниця між взаємодією нуклону з його сусідом і кінетичною енергією самого нуклону. Що стосується електронів в атомі, то нуклони - це ферміони, тому всі вони не можуть перебувати в одному стані з нульовою кінетичною енергією, але вони заповнить всі рівні кінетичної енергії за принципом виключення Паулі. Ця модель, яка враховує енергію ядерного зв'язку і кінетичну енергію за рахунок заповнення оболонок, дійсно дає точну оцінку для v.
Термін поверхні
Поверхневий термін\(-a_{s} A^{2 / 3}\), також заснований на сильній силі, є корекцією до терміну обсягу. Ми пояснили об'ємний термін як випливає з того факту, що кожен нуклон взаємодіє з постійною кількістю нуклонів, незалежно від А. Хоча це справедливо для нуклонів глибоко всередині ядра, ці нуклони на поверхні ядра мають менше найближчих сусідів. Цей термін схожий на поверхневі сили, які виникають, наприклад, у краплях рідин, механізмі, який створює поверхневий натяг у рідинях.
Оскільки об'ємна сила пропорційна B V A, ми очікуємо, що поверхнева сила буде\(\left(B_{V}\right)^{2 / 3}\) (починаючи з поверхні\(S \sim V^{2 / 3}\)). Також термін потрібно відняти від об'ємного терміна, і ми очікуємо, що коефіцієнт a s матиме такий же порядок, як a v. Насправді a s = 13 − 18МеВ.
Кулонівський термін
Третій термін\(-a_{c} Z(Z-1) A^{-1 / 3}\) походить від взаємодії Кулона між протонами, і, звичайно, пропорційний Z. цей термін віднімається з об'ємного терміна, оскільки відштовхування Кулона робить ядро, що містить багато протонів, менш сприятливим (більш енергійним).
Для мотивації форми терміна і оцінки коефіцієнта a c ядро моделюється як рівномірно заряджена сфера. Потенційна енергія такого розподілу заряду дорівнює
\[E=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{3}{5} \frac{Q^{2}}{R} \nonumber\]
так як від рівномірного розподілу всередині сфери у нас є заряд\(q(r)=\frac{4}{3} \pi r^{3} \rho=Q\left(\frac{r}{R}\right)^{3}\) і потенційна енергія тоді:
\[\begin{align*} E &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int d q(\vec{r}) \frac{q(\vec{r})}{|\vec{r}|}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int d^{3} \vec{r} \rho \frac{q(\vec{r})}{|\vec{r}|}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{0}^{R} d r 4 \pi r^{2} \rho \frac{q(r)}{r} \\[4pt] &=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}}\left(4 \pi \int_{0}^{R} d r \frac{3 Q}{4 \pi R^{3}} r^{2} Q\left(\frac{r}{R}\right)^{3} \frac{1}{r}\right)=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{0}^{R} d r \frac{3 Q^{2} r^{4}}{R^{6}}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{3}{5} \frac{Q^{2}}{R} \end{align*} \]
Використовуючи емпіричну формулу радіуса\(R=R_{0} A^{1 / 3}\) і сумарний заряд\(Q^{2}=e^{2} Z(Z-1)\) (відображаючи той факт, що цей термін з'явиться тільки в тому випадку, якщо Z > 1, тобто при наявності хоча б двох протонів) маємо:
\[\frac{Q^{2}}{R}=\frac{e^{2} Z(Z-1)}{R_{0} A^{1 / 3}} \nonumber\]
що надає форму кулонівського терміна. Тоді константу a c можна оцінити з\(a_{c} \approx \frac{3}{5} \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} R_{0}}\), при R 0 = 1,25 фм, щоб бути c ≈ 0,691 МеВ, недалеко від експериментального значення.
термін симетрії
Кулонівський термін, здається, вказує на те, що було б сприятливо мати менше протонів в ядрі та більше нейтронів. Однак це не так, і ми повинні викликати щось поза моделлю крапель рідини, щоб пояснити той факт, що у нас приблизно однакова кількість нейтронів і протонів у стабільних ядрах. Таким чином, існує термін корекції в SEMF, який намагається врахувати симетрію в протони та нейтрони. Цю корекцію (і наступну) можна пояснити лише більш складною моделлю ядра, моделлю оболонки разом з квантово-механічним принципом виключення, який ми вивчимо пізніше в класі. Якби ми додали більше нейтронів, вони повинні бути більш енергійними, збільшуючи тим самим загальну енергію ядра. Це збільшення більш ніж зсувається кулонівським відштовхуванням, так що сприятливіше мати приблизно рівну кількість протонів і нейтронів. Форма терміна симетрії є\(\frac{(A-2 Z)^{2}}{A}\). Це можна легше зрозуміти, враховуючи той факт, що цей термін йде до нуля для A = 2Z і його ефект менший для більших A (тоді як для менших ядер ефект симетрії важливіший). Коефіцієнт сим = 23 МеВ.
Термін спарювання
Останній термін пов'язаний з речовими доказами того, що подібні нуклони, як правило, з'єднуються. Тоді це означає, що енергія зв'язку більша (δ > 0), якщо у нас рівне ядро, де всі нейтрони і всі протони парні. Якщо у нас є ядро як з непарною кількістю нейтронів, так і з протонами, таким чином, сприятливо перетворити один з протонів в нейтрони або навпаки (звичайно, з урахуванням інших обмежень вище). Таким чином, при всій іншій константі фактора ми повинні відняти (δ < 0) член з енергії зв'язку для непарних конфігурацій. Нарешті, для парно-непарних конфігурацій ми не очікуємо ніякого впливу від цієї енергії сполучення (δ = 0). Тоді термін спарювання
\ [+\ дельта a_ {p} A^ {-3/4} =\ ліворуч\ {\ почати {масив} {l}
+a_ {p} A^ {-3/4}\ текст {парний}\\
0\ текст {парний-непарний}\\
-a_ {p} A^ {-3/4}\ текст {непарний}
\ кінець {масив}\ праворуч. \ номер\]
з р ≈ 34МеВ. [Іноді також зустрічається форма A −1/2].
Лінія стійкості на графіку нуклідів
Беручи першу похідну wrt Z, ми можемо обчислити оптимальний Z такий, щоб маса була мінімальною. Отримуємо:
\ [\ почати {вирівнювати*} Z_ {\ min} &=\ розрив {A} {2}\ лівий (\ розрив {1+\ гідророзрив {1} {4} A^ {-1/3}\ розрив {a_ {c}} {a_ {s y m}}} {1+\ гідророзрив {1} {4} A^ {2/3}\ frac {ac {a_ {ac {ac} {a_ {s y m}} _ {c}} {a_ {s y m}}\ праворуч)\\ [4pt]
&\ приблизно\ розрив {A} {2}\ лівий (1+\ розрив {1} {4} A^ {2/3}\ frac {a_ {c}} {a_ {s y m}}\ праворуч) ^ {-1}\\[4pt] &\approx \frac{A}{2}\left(1-\frac{1}{4} A^{2 / 3} \frac{a_{c}}{a_{s y m}}\right) \end{align*}\]
який дає\(Z \approx \frac{A}{2} \) при малому A, але має корекцію для більшого A такий, що Z ≈ 0.41A для важких ядер. [Зверніть увагу, що наближення та розширення серій приймаються тому, що\(a_c \ll a_{sym}\)]
Якщо ми\(A\) плануємо\(Z/A\) проти нуклідів лежать між 1/2 і 0,41. Існує лінія стійкості, наступна за стабільними ізотопами (червоний на малюнку\(\PageIndex{4}\) і чорний на малюнку\(\PageIndex{3}\)). Ізотопи потім по-різному маркуються, наприклад, тут за терміном життя. Інтерактивна інформація доступна за адресою www.nndc.bnl.gov/chart/.
