10.5: Ракети та конвеєрні стрічки

Зазвичай, коли ми визначаємо систему, до якої повинен застосовуватися другий закон Ньютона, система закрита в тому сенсі, що маса не може увійти або вийти з системи. Однак іноді зручно працювати з відкритими системами, для яких це не відповідає дійсності. Класичним прикладом є ракета, де вихлопні гази виходять з системи, тим самим зменшуючи масу ракети з часом.

Відкриті системи можна проаналізувати, якщо імпульс вважається величиною, яка враховується стільки, скільки гроші обліковуються на банківському рахунку. Банківський рахунок може змінюватися трьома способами: гроші можуть бути внесені на рахунок, їх можна зняти з рахунку, а сума може зростати або зменшуватися як наслідок виплати відсотків або комісій. Аналогічно, кількість імпульсу в системі може змінюватися в результаті потрапляння маси в систему, маси, що виходить з системи, і сил, що діють на систему. Таким чином, часова швидкість зміни імпульсу в системі

\[\frac{d p}{d t}=F+\left(\frac{d p}{d t}\right)_{i n}-\left(\frac{d p}{d t}\right)_{o u t}\label{10.16}\]

де F - чиста сила на системі,\((\mathrm{dp} / \mathrm{dt})_{\mathrm{in}}\) це імпульс за одиницю часу, що додається масою, що надходить в систему, і\(\text { (dp /dt) }_{\text {out }}\) це сума, втрачена за одиницю часу при виході маси з системи. У нерелятивістському випадку\((\mathrm{dp} / \mathrm{dt})_{\mathrm{in}}=\mathrm{u}_{\mathrm{in}}(\mathrm{dm} / \mathrm{dt})_{\mathrm{in}} \text { and }(\mathrm{dp} / \mathrm{dt})_{\mathrm{out}}=\mathrm{u}_{\mathrm{out}}(\mathrm{dm} / \mathrm{dt})_{\mathrm{out}}\), де\((\mathrm{dm} / \mathrm{dt})_{\mathrm{in}}\) - маса, що надходить в систему за одиницю часу зі швидкістю u _in і\((\mathrm{dm} / \mathrm{dt})_{\mathrm{out}}\) являє собою масу за одиницю часу, що виходить з системи зі швидкістю\(\mathrm{u}_{\mathrm{out}}\).

Для нерелятивістських швидкостей імпульс системи можна записати\(p = mu\) так, що

\[\frac{d p}{d t}=\frac{d m}{d t} u+m \frac{d u}{d t}\label{10.17}\]

Для завершення аналізу нам знадобиться облік маси, що надходить і виходить з системи:

\[\frac{d m}{d t}=\left(\frac{d m}{d t}\right)_{i n}-\left(\frac{d m}{d t}\right)_{o u t}\label{10.18}\]

Малюнок 10.5: Ракета рухається зі швидкістю V при виганні газу зі швидкістю R зі швидкістю V - u _x.

Давайте подивимося, як застосувати це до ракети, для якої всі швидкості нерелятивістські. Як показує малюнок 10.5, ракета викидає потік відпрацьованих газів. Система визначається пунктирною коробкою і включає в себе ракету і частину відпрацьованих газів всередині коробки. Реакція на імпульс, що здійснюється в цьому потоці газу, - це те, що змушує ракету прискорюватися. Відзначимо, що\((\mathrm{dm} / \mathrm{dt})_{\mathrm{in}}=0\) так як в систему не надходить маса\((\mathrm{dm} / \mathrm{dt})_{\mathrm{out}}=\mathrm{R}\), причому, швидкість, з якою маса викидається ракетою у вигляді відпрацьованих газів. Приймається рух ракети вправо зі швидкістю V і газ викидається зі швидкістю u _x щодо ракети, а це означає, що її фактична швидкість після викиду дорівнює V - u _x. Ми називаємо u _x швидкість вихлопних газів. Зверніть увагу, що V - u _x може бути як позитивним, так і негативним, в залежності від того, наскільки великий V.

Прирівнявши масу ракети до маси системи, знаходимо, що\(\mathrm{R}=-\mathrm{dm} / \mathrm{dt}\). Рівняння балансу імпульсу (\ ref {10.16}) стає\(\mathrm{dp} / \mathrm{dt}=-\left(\mathrm{V}-\mathrm{u}_{\mathrm{x}}\right) \mathrm{R}\). Сила на ракеті насправді дорівнює нулю, тому термін сили не входить в рівняння балансу імпульсу. Це неінтуїтивно, тому що ми звикли, що прискорення є результатом сили. Однак ніщо, включаючи викинутий газ, насправді не штовхає на систему, тому ми дійсно повинні зробити висновок, що сили немає - вся зміна імпульсу системи виникає внаслідок викиду газу з протилежним імпульсом.

Нарешті, ми це бачимо\(\mathrm{dp} / \mathrm{dt}=(\mathrm{dm} / \mathrm{dt}) \mathrm{V}+\mathrm{m}(\mathrm{dV} / \mathrm{dt})=-\mathrm{RV}+\mathrm{m}(\mathrm{dV} / \mathrm{dt})\). Прирівняти це до результатів розрахунку імпульсного балансу дає нам\(-\mathrm{RV}+\mathrm{m}(\mathrm{d} \mathrm{V} / \mathrm{dt})=-\left(\mathrm{V}-\mathrm{u}_{\mathrm{X}}\right) \mathrm{R}\). Рішення для прискорення\(\mathrm{dV} / \mathrm{dt}\) призводить до

\[\frac{d V}{d t}=\frac{u_{x} R}{m} \quad \text { (rocket acceleration) }\label{10.19}\]

Таким чином, прискорення ракети залежить від швидкості вихлопу газу, що викидається, швидкості викиду газу, і маси ракети.

Малюнок 10.6: Пісок скидається на стрічку конвеєра і в свою чергу скидається з кінця стрічки.

Малюнок 10.6 ілюструє інший тип проблеми відкритої системи. Бункер скидає пісок на конвеєрну стрічку зі швидкістю R кілограмів в секунду. Стрічка конвеєра рухається вправо з (нерелятивістської) швидкістю V і пісок скидається в кінці. Яка сила F потрібна для того, щоб конвеєрна стрічка рухалася з постійною швидкістю, припускаючи, що сам механізм конвеєра без тертя? В даному випадку\((\mathrm{dm} / \mathrm{dt})_{\mathrm{in}}=(\mathrm{dm} / \mathrm{dt})_{\text {out }}=\mathrm{R}\). Крім того, оскільки система, окреслена пунктирною лінією, знаходиться в стійкому стані,\(\mathrm{dp} / \mathrm{dt}=0\).

Ключем до розуміння цієї проблеми є те, що пісок надходить в систему з нульовою горизонтальною швидкістю, але виходить з системи з горизонтальною швидкістю конвеєрної стрічки, В. Таким чином, рівняння балансу імпульсу

\[0=F-V R\label{10.20}\]

і сила

\[F=V R \text { (force on conveyor belt). }\label{10.21}\]

Ця сила служить для прискорення піску до швидкості руху конвеєрної стрічки.