Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.4: Зіткнення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    74098

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Розглянемо тепер ситуацію, при якій дві частинки стикаються один з одним. Виходів цього зіткнення може бути кілька, з яких ми вивчимо два:

    • Дві частинки пружно стикаються, по суті відскакуючи один від одного.
    • Дві частинки злипаються, в результаті чого утворюється одна частинка, або одна частинка розпадається на дві частинки. Це нееластичні процеси.

    В обох перерахованих вище випадках зберігається енергія і імпульс. Ми припускаємо, що сили, що діють між частинками, мають короткий діапазон, так що за винятком моменту зіткнення, нам не потрібно турбуватися про потенційну енергію або потенційний імпульс - вся енергія знаходиться у вигляді спокою плюс кінетична енергія, крім цього короткого інтервалу, і всі моменти є кінетичними моментами.

    Через принцип відносності ми вільні розглядати зіткнення в будь-якому зручному відліку кадрі. Потім ми можемо перетворити результати в будь-який контрольний кадр, який нам подобається. Взагалі кажучи, найзручнішим еталонним кадром для розгляду є той, в якому загальний імпульс двох частинок дорівнює нулю. Заради простоти ми розглядаємо лише зіткнення в одному вимірі.

    Пружні зіткнення

    clipboard_e2c2efe660c107ec8026d63e7bcd276e5.png
    Малюнок 10.2: Одновимірні пружні зіткнення двох частинок у центрі імпульсного кадру, як видно на просторових діаграмах часу.

    Припустимо, частка з масою m 1 і початковою швидкістю u 1 в центрі імпульсного кадру, тобто, система відліку, в якій сумарний імпульс дорівнює нулю, пружно стикається з іншою частинкою маси m 2 з початковою швидкістю u 2. Моменти двох частинок

    \[p_{1}=\frac{m_{1} u_{1}}{\left(1-u_{1}^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}} \quad p_{2}=\frac{m_{2} u_{2}}{\left(1-u_{2}^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}}\label{10.7}\]

    У центрі імпульсу кадру ми повинні мати

    \[p_{1}=-p_{2}\label{10.8}\]

    На малюнку 10.2 показано, що відбувається при зіткненні цих двох частинок. Перша частинка набуває імпульсу p 1 ′, тоді як друга набуває імпульсу p 2 ′. Збереження імпульсу говорить нам, що сумарний імпульс після зіткнення такий же, як і до зіткнення, а саме нуль, тому

    \[p_{1}^{\prime}=-p_{2}^{\prime}\label{10.9}\]

    У центрі імпульсу кадру ми знаємо, що\(\left|p_{1}\right|=\left|p_{2}\right|\) і ми знаємо, що два вектори імпульсу вказують в протилежних напрямках. Аналогічно,\(\left|p_{1}^{\prime}\right|=\left|p_{2}^{\prime}\right|\). Однак ми поки не знаємо, як\(p_{1}^{\prime}\) це пов'язано з p 1. Збереження енергії,

    \[E_{1}+E_{2}=E_{1}^{\prime}+E_{2}^{\prime}\label{10.10}\]

    дає нам цю інформацію. Зверніть увагу, що якщо\(\mathrm{p}_{1}{ }^{\prime}=-\mathrm{p}_{1} \text { , then } \mathrm{E}_{1}{ }^{\prime 2}=\mathrm{p}_{1}{ }^{\prime 2} \mathrm{c}^{2}+\mathrm{m}_{1}{ }^{2} \mathrm{c}^{4}=\mathrm{p}_{1}{ }^{2} \mathrm{c}^{2}+\mathrm{m}_{1}^{2} \mathrm{c}^{4}=\mathrm{E}_{1}^{2}\). Припускаючи позитивні енергії, ми, отже\(\mathrm{E}_{1}{ }^{\prime}=\mathrm{E}_{1} . \text { If } \mathrm{p}_{2}{ }^{\prime}=-\mathrm{p}_{2}\), маємо, тоді ми можемо подібним чином зробити висновок про це\(\mathrm{E}_{2}{ }^{\prime}=\mathrm{E}_{2}\). Якщо ці умови виконуються, то рівняння (\ ref {10.10}). Тому повноцінним рішенням проблеми є

    \[p_{1}=-p_{1}^{\prime}=-p_{2}=p_{2}^{\prime} \equiv p\label{10.11}\]

    і

    \[E_{1}=E_{1}^{\prime}=\left(p^{2} c^{2}+m_{1}^{2} c^{4}\right)^{1 / 2} \quad E_{2}=E_{2}^{\prime}=\left(p^{2} c^{2}+m_{2}^{2} c^{4}\right)^{1 / 2}\label{10.12}\]

    Іншими словами, частинки просто обмінюються моментами.

    На лівій панелі малюнка 10.2 показано, що відбувається при зіткненні, коли маси двох стикаються частинок рівні. Якщо\(m_{1}=m_{2}\), то вхідні і вихідні швидкості двох частинок однакові, про що вказують зворотні нахили світових ліній. З іншого боку, якщо\(m_{1}>m_{2}\), то швидкість частинки 2 більше швидкості частинки 1, як показано на правій панелі малюнка 10.2.

    clipboard_e06382e3c80c5f669e8de29394f7e8f86.png
    Малюнок 10.3: Пружні зіткнення розглядаються з системи відліку, в якій одна частинка спочатку нерухома.

    Припустимо, ми хочемо переглянути результати пружного зіткнення в рамці відліку, в якій частка 2 спочатку нерухома. Все, що нам потрібно зробити, це перетворити швидкості в опорну рамку, що рухається з початковою швидкістю частинки 2, як показано на малюнку 10.3. Ми робимо це шляхом відносного додавання\(U=-u_{2}\) до кожної швидкості. (Зауважте, що швидкість U рухомого кадру є позитивною, оскільки\(\mathrm{u}_{2}\) є негативною.) Використовуючи формулу релятивістської швидкості трансляції, ми знаходимо, що

    \[v_{1}=\frac{u_{1}+U}{1+u_{1} U / c^{2}} \quad v_{1}^{\prime}=\frac{u_{1}^{\prime}+U}{1+u_{1}^{\prime} U / c^{2}} \quad v_{2}^{\prime}=\frac{u_{2}^{\prime}+U}{1+u_{2}^{\prime} U / c^{2}}\label{10.13}\]

    де\(\mathrm{u}_{1}, \mathrm{u}_{1}^{\prime}, \mathrm{u}_{2}, \text { and } \mathrm{u}_{2}{ }^{\prime}\) вказують швидкості в початковому, центрі імпульсу опорного кадру і v 1, v 1 ′ і т.д., вказують швидкості в перетвореному кадрі.

    В особливому випадку, коли маси двох частинок рівні один одному, ми маємо\(\mathrm{v}_{1}=2 \mathrm{U} /\left(1+\mathrm{U}^{2} / \mathrm{c}^{2}\right), \mathrm{v}_{1}{ }^{\prime}=0, \text { and } \mathrm{v}_{2}{ }^{\prime}=2 \mathrm{U} /\left(1+\mathrm{U}^{2} / \mathrm{c}^{2}\right)=\mathrm{v}_{1}\). Таким чином, коли маси рівні, частинки просто обмінюються швидкостями.

    Якщо швидкості нерелятивістські, то замість релятивістських рівнянь, про які йдеться вище,\(v=u+U\) можна використовувати простіший закон перетворення Галілея.

    Непружні зіткнення

    clipboard_eaa0bb183b30af37b40fab1e473ba8604.png
    Малюнок 10.4: Будівельні блоки непружних зіткнень. У лівій панелі стикаються дві частинки, утворюючи третю частинку. У правій панелі частка розпадається, утворюючи дві частинки.

    Нееластичне зіткнення - це таке, при якому частинки, що виходять із зіткнення, не такі, як частинки, що йдуть в нього. Непружні зіткнення зберігають як загальний імпульс, так і енергію так само, як це роблять пружні зіткнення. Однак, на відміну від пружних зіткнень, непружні зіткнення, як правило, не зберігають загальну кінетичну енергію частинок, оскільки деяка енергія спокою зазвичай створюється або руйнується.

    На малюнку 10.4 показані основні будівельні блоки непружних зіткнень. Можна розглядати навіть найскладніші непружні зіткнення, що складаються з композитів всього двох процесів, створення однієї частинки з двох і розпаду однієї частинки на дві.

    Розглянемо кожен з них в центрі імпульсу кадру. В обох випадках одна частинка повинна бути нерухомою в цьому кадрі, оскільки вона несе загальний імпульс системи, який повинен бути нульовим. При збереженні імпульсу, якщо частка 1 на лівій панелі малюнка 10.4 має імпульс p, то імпульс частинки 2 дорівнює -p. Якщо дві частинки мають маси m 1 і m 2, то їх енергії є\(E_{1}=\left(p^{2} c^{2}+m_{1}^{2} c^{4}\right)^{1 / 2} \text { and } E_{2}=\left(p^{2} c^{2}+m_{2}^{2} c^{4}\right)^{1 / 2}\). Отже\(\mathrm{E}_{3}=\mathrm{E}_{1}+\mathrm{E}_{2}\), енергія частинки 3 є, і оскільки вона знаходиться в стані спокою, вся її енергія знаходиться у вигляді «\(\mathrm{mc}^{2}\)» або енергії спокою, і тому маса цієї частинки

    \ [\ begin {рівняння}
    \ почати {вирівняний}
    m_ {3} &=\ ліворуч (E_ {1} +E_ {2}\ праворуч)/c^ {2}\ quad (\ текст {центр кадру імпульсу})\\
    &=\ ліворуч (p^ {2}/c^ {2} +m_ {1} ^ {2} ^ {2} ^ {2} ^ {2}\ праворуч) ^ {1/2} +\ (p^ {2}/c^ {2} +m_ {2} ^ {2}\ праворуч) ^ {1/2}\
    &=m_ {1}\ ліворуч [1+p^ {2}/\\ ліворуч (m_ {1} ^ {2} c^ {2}\ праворуч)\ праворуч] ^ {1/2} +m_ {2}\ лівий [1+p^ {2}/\ лівий (m_ {2} ^ {2} c^ {2}\ праворуч)\ праворуч] ^ {1/2}
    \ кінець {вирівняний}
    \ кінець {рівняння}\ мітка {10.14}\]

    Останній рядок у вищенаведеному рівнянні показує, що\(m_{3}>m_{1}+m_{2}\) оскільки він знаходиться у вигляді,\(m_{1} A+m_{2} B\) де і A, і B більше одиниць. Таким чином, створюється енергія спокою в кількості\(\Delta \mathrm{E}_{\text {rest }}=\left(m_{3}-m_{1}-m_{2}\right) c^{2}\).

    Власне, легко обчислити масу частинки 3 в наведеному вище випадку з будь-якої системи відліку до тих пір, поки в цьому кадрі відомі моменти і енергії частинок 1 і 2. За рахунок збереження енергії і імпульсу,\(\mathrm{E}_{3}=\mathrm{E}_{1}+\mathrm{E}_{2} \text { and } \mathbf{p}_{3}=\mathbf{p}_{1}+\mathbf{p}_{2}\). Крім того\(\mathrm{E}_{3}^{2}=\mathrm{p}_{3}^{2} \mathrm{c}^{2}+\mathrm{m}_{3}^{2} \mathrm{c}^{4}\), таким чином ми можемо вирішити для m 3:

    \[m_{3}=\left[\left(E_{1}+E_{2}\right)^{2} / c^{4}-\left(\mathbf{p}_{1}+\mathbf{p}_{2}\right) \cdot\left(\mathbf{p}_{1}+\mathbf{p}_{2}\right) / c^{2}\right]^{1 / 2} \quad(\text { any frame })\label{10.15}\]

    На правій панелі малюнка 10.4 показаний процес розпаду частинок. Це лише зворотний процес створення частинок, і весь аналіз, який ми зробили для створення, справедливий для розпаду частинок, за винятком того, що енергія спокою перетворюється на кінетичну енергію, а не навпаки.