9.4: Проблеми

1. Припустимо, що частка представлена хвильовою функцією\(\Psi=\sin (\mathrm{kx}-\omega \mathrm{t})+\sin (-\mathrm{kx}-\omega \mathrm{t})\).
   1. Використовуйте тригонометрію для спрощення цієї хвильової функції.
   2. Обчислити x і t залежність ймовірності знаходження частинки шляхом квадратизації хвильової функції.
   3. Поясніть, що говорить цей результат про часову залежність ймовірності знаходження частки. Чи має це сенс?
2. Повторіть наведену вище задачу для частинки, представленої хвильовою функцією\(\Psi=\exp [\mathrm{i}(\mathrm{kx}-\omega \mathrm{t})]+\exp [\mathrm{i}(-\mathrm{kx}-\omega \mathrm{t})]\).
3. Визначте, чи\(\psi(x)=\exp \left(i C x^{2}\right)\) інваріантна хвильова функція при зміщенні в тому сенсі, що зміщена хвильова функція відрізняється від вихідної хвильової функції лише фазовим фактором.
4. Подібно до того, як інваріантність при заміщенні\(x \rightarrow x+D\) пов'язана з імпульсом, інваріантність при заміщенні\(x \rightarrow-x\) пов'язана з квантовою механічною змінною, яка називається парністю, позначається\(P\). Однак, на відміну від імпульсу, який може приймати будь-яке числове значення, парність може приймати тільки два можливих значення\(\pm 1\). Парність хвильової функції\(\Psi(x) \text { is }+1 \text { if } \Psi(-x)=\psi(x)\), в той час як парність не\(-1 \text { if } \Psi(-\mathrm{x})=-\Psi(\mathrm{x}) . \text { If } \Psi(\mathrm{x})\) задовольняє жодній з цих умов, то вона не має певного значення парності.
   1. Що таке паритет\(\Psi=\sin (\mathrm{kx}) ? \text { Of } \Psi=\cos (\mathrm{kx})\)? Величина k - константа.
   2. Чи є\(\psi(x)=\cos (k x)\) інваріантним при підстановці x = x + D для всіх можливих значень D? Чи має ця хвильова функція певне значення імпульсу?
   3. Показати, що хвильова функція з певним значенням імпульсу не має певного значення парності. Чи сумісні змінні імпульсу та парності?
5. Розуміючи, що\(\cos (k x-\omega t)\) можна записати в терміні складних експоненціальних функцій, дають фізичну інтерпретацію значення вищевказаної косинусоїдальної хвильової функції. Зокрема, які можливі значення імпульсу та енергії асоційованої частинки?
6. Операція розвороту часу T робить заміну\(\mathrm{t} \rightarrow-\mathrm{t}\). Подібно до парності, розворот часу може приймати лише значення\(\pm 1\). Чи відповідає симетрія хвильової функції при перевороті часу\(\text { i. e., } \psi(-t)=\Psi(t)\), тобто певному значенню енергії? Підказка: Будь-яка хвильова функція, що відповідає певному значенню енергії Е, повинна мати вигляд,\(\Psi=A \exp (-\mathrm{iEt} / \hbar)\) де A не є функцією часу t. (Чому?)
7. Операція С приймає складний спряжений хвильової функції, тобто, робить підстановку\(\mathrm{i} \rightarrow-\mathrm{i}\). У сучасній квантовій механіці це відповідає взаємозамінним частинкам і античастинкам, і називається кон'югацією заряду. Що робить комбінована операція CPT зі складною плоской хвилею, тобто, з певним хвильовим вектором і частотою?
8. Складіть діаграму енергетичного рівня для випадку безмасової частинки в коробці.
9. Порівняйте |π| для основного стану нерелятивістської частинки в коробці розміром a з Δ, отриманого за принципом невизначеності в даній ситуації. Підказка: Для чого слід взяти\(\Delta \mathrm{x}\)?
10. Уявіть, що більярдний стіл має нескінченно високий обід навколо нього. Для цієї проблеми припустимо, що\(\hbar=1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-1}\).
    1. Якщо стіл довжиною 1,5 м і якщо маса більярдного кулі M = 0,5 кг, яка енергія нижчого або наземного стану більярдної кулі? Підказка: Незважаючи на те, що більярдний стіл двовимірний, розглядайте це як одновимірну проблему. Також ставитеся до проблеми нерелятивістично і ігноруйте внесок енергії спокою в загальну енергію.
    2. Енергія, необхідна для підняття м'яча над ободом висотою H проти сили тяжіння, є\(\mathrm{U}=\mathrm{MgH} \text { where } \mathrm{g}=9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}\). Яка висота обода робить гравітаційну потенційну енергію рівною енергії стану землі більярдної кулі, розрахованої вище.
    3. Якщо обод насправді вдвічі вище, ніж розрахований вище, але дорівнює лише 0. Товщиною 1 м визначають ймовірність проникнення кульки в обід. Малюнок 9.7: Реальна частина хвильової функції ψ, що відповідає фіксованій сумарній енергії Е, що зустрічається в області просторово змінної потенційної енергії\(\mathrm{U}(\mathrm{x})\). Зверніть увагу, як\(\lambda\) змінюється довжина хвилі у міру зміни кінетичної енергії\(\mathrm{K}=\mathrm{E}-\mathrm{U}\).
11. Реальна частина хвильової функції частинки з позитивною енергією Е, що проходить через область негативної потенційної енергії, показана на малюнку 9.7.
    1. Якщо сумарна енергія однозначно Е, яка залежність цієї хвильової функції від часу?
    2. Чи є хвильова функція інваріантна при зміщенні в просторі в цьому випадку? Чому чи чому ні?
    3. Чи відповідає ця хвильова функція певному значенню імпульсу? Чому чи чому ні?
    4. Чи сумісний імпульс з енергією в даному випадку? Чому чи чому ні?
12. Якщо ще раз припустити\(\hbar=1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-1}\), що, які можливі швидкості іграшкового поїзда масою 3 кг, що біжить навколо кругової колії радіусом 0,8 м?
13. Якщо частка нульової маси, що ковзає навколо кругового циклу радіусом R, може приймати кутові моменти,\(\mathrm{L}_{\mathrm{m}}=\mathrm{m} \hbar\) де\(m\) ціле число, які можливі кінетичні енергії частинки? Підказка: Пам'ятайте, що\(\mathrm{L}=\Pi \mathrm{R}\).