3.5: Принцип Ферма
- Page ID
- 74125
Альтернативний підхід до геометричної оптики може бути розроблений з принципу Ферма. Цей принцип стверджує (у найпростішому вигляді), що світлові хвилі заданої частоти проходять шлях між двома точками, який займає найменше часу. Найбільш очевидним прикладом цього є проходження світла через однорідне середовище, в якому швидкість світла не змінюється залежно від положення. При цьому найкоротший час відповідає найкоротша відстань між точками, яке, як ми всі знаємо, є прямою лінією. Таким чином, принцип Ферма узгоджується зі світлом, що рухається по прямій лінії в однорідному середовищі.
Принцип Ферма також може бути використаний для виведення законів відображення і заломлення. Наприклад, на малюнку 3.10 показаний кандидат промінь для відображення, в якому кути падіння та відбиття не рівні. Час, необхідний для того, щоб світло пройшов з точки А в точку Б, дорівнює
\[t=\left(\left[h_{1}^{2}+y^{2}\right]^{1 / 2}+\left[h_{2}^{2}+(w-y)^{2}\right]^{1 / 2}\right) / c\label{3.13}\]
де c - швидкість світла. Ми знаходимо мінімальний час, диференціюючи t по відношенню до y і встановивши результат в нуль, з результатом, що
\[\frac{y}{\left[h_{1}^{2}+y^{2}\right]^{1 / 2}}=\frac{w-y}{\left[h_{2}^{2}+(w-y)^{2}\right]^{1 / 2}}\label{3.14}\]
Однак зауважимо, що ліва сторона цього рівняння просто sin θ I, тоді як права сторона - sin θ R, так що мінімальна умова часу зводиться до sin θ I = sin θ R або θ I = θ R, що є законом відображення.
Подібний аналіз може бути зроблений, щоб вивести закон заломлення Снелла. Швидкість світла в середовищі з показником заломлення n дорівнює cn, де c - його швидкість у вакуумі. Таким чином, час, необхідний для того, щоб світло пройшов деяку відстань в такому середовищі, в n разів перевищує час світла, щоб пройти однакову відстань у вакуумі. Посилаючись на малюнок 3.11, час, необхідний для того, щоб світло пішов від А до Б, стає
\[t=\left(\left[h_{1}^{2}+y^{2}\right]^{1 / 2}+n\left[h_{2}^{2}+(w-y)^{2}\right]^{1 / 2}\right) / c\label{3.15}\]
Це призводить до стану
\[\sin \theta_{I}=n \sin \theta_{R}\label{3.16}\]
де θ R тепер кут заломлення. Ми визнаємо цей результат законом Снелла.
Зверніть увагу, що випадок відображення ілюструє точку про принцип Ферма: Мінімальний час насправді може бути локальним, а не глобальним мінімумом - адже на малюнку 3.10 глобальна мінімальна відстань від А до B все ще є лише прямою лінією між двома точками! Фактично, світло, починаючи з точки А, досягне точки Б обома маршрутами — прямим маршрутом і відбитим маршрутом.
Виявляється, траєкторії, дозволені принципом Ферма, не повинні бути мінімальними траєкторіями часу. Вони також можуть бути максимальними часовими траєкторіями, як показано на малюнку 3.12. У цьому випадку світло, що випромінюється в точці О, може відображатися назад до точки O з чотирьох точок на дзеркалі, A, B, C і D. Траєкторії O-A-O і O-C-O є мінімальними часовими траєкторіями, тоді як O-B-O та O-D-O - максимальні часові траєкторії.
Принцип Ферма здається досить загадковим. Однак американський фізик Річард Фейнман мав сенс з цього, посилаючись на ще більш фундаментальний принцип, як ми зараз бачимо.
Якщо світловий промінь бере початок у точці O на малюнку 3.12, відбивається від еліпсоїдної дзеркальної поверхні в точці А і повертається до точки O, минулий час мало чим відрізняється від того, що переживає промінь, який відбиває від дзеркала невелику відстань від точки А і повертається до O. Це тому, що в точці А промінь від точки O перпендикулярний дотичній до поверхні дзеркала в точці А. На відміну від цього, час, який переживає промінь, що йде від точки O до точки E і назад, буде відрізнятися набагато більшою величиною, ніж час, який переживає промінь відбиває від дзеркала невелика відстань від точки Е. тому що дотична до дзеркальної поверхні в точці Е не перпендикулярна променя з точки О.
Технічно зміна часу поїздки туди і назад змінюється лінійно з відхиленням в точці відображення від точки Е, але квадратично з відхиленням від точки А. Якщо це відхилення в першу чергу невелике, то зміна часу поїздки туди і назад буде набагато менше для квадратичного випадку, ніж для лінійний корпус.
Здається дивним, що ми б говорили про промінь, що відбивається назад до точки O, якщо він потрапив у дзеркало в будь-якій точці, крім A, B, C або D, через вимоги закону відбиття. Однак нагадаємо, що сам закон рефлексії залежить від принципу Ферма, тому ми не можемо припустити дійсності цього закону в цьому розслідуванні.
Фейнман постулював, що світлові промені досліджують всі можливі шляхи від однієї точки до іншої, але що єдиними шляхами, реалізованими в природі, є ті, для яких світло, приймаючи близько сусідні шляхи, переживає майже однаковий минулий час (або, загалом, проходить майже однакову кількість довжин хвиль) як початковий шлях. Якщо це правда, то сусідні промені конструктивно заважають один одному, в результаті чого промінь виходить набагато яскравіше, ніж це сталося б при відсутності цього конструктивного втручання. Таким чином, зворотні шляхи O-A-O, O-B-O, O-C-O, O-D-O і O-D-O на малюнку 3.12 фактично відбуваються, але не О-Е-О. Фейнман пояснює принцип Ферма, посилаючись на конструктивне та руйнівне втручання!
Малюнок 3.13 ілюструє досить своєрідну ситуацію. Зверніть увагу, що всі промені з точки O, які перехоплюють об'єктив, закінчуються в точці I. Це, здавалося б, суперечить принципу Ферма, оскільки повинні відбуватися лише мінімальні (або максимальні) траєкторії часу. Однак розрахунок показує, що всі ілюстровані траєкторії в цьому конкретному випадку займають однаковий час. Таким чином, світло не може вибрати одну траєкторію над іншою, використовуючи принцип Ферма, і всі траєкторії однаково сприятливі. Зауважте, що цей висновок застосовується не тільки до будь-якого набору траєкторій, а лише тих, що йдуть від точки об'єкта до відповідної точки зображення.