3.4: Рівняння тонких лінз та оптичні інструменти

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74143

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

З огляду на закони відображення і заломлення, можна в принципі побачити, як можна було простежити проходження світла через оптичний прилад. Для кожного з ряду початкових променів може бути розрахована зміна напрямку променя на кожній дзеркальній поверхні або межі межі показника заломлення. Між цими точками промінь простежує пряму лінію.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): .4: Вигин променя світла при проходженні через призму.

Хоч і проста в зачатті, ця процедура може бути досить складною на практиці. Однак процедура спрощується, якщо діє ряд наближень, в сукупності званих наближенням тонкої лінзи. Почнемо з розрахунку вигину променя світла при його проходженні через призму, як показано на малюнку 3.4.

Шматки інформації, необхідні для пошуку\(\theta\), кут, через який промінь відхиляється, такі: геометрія трикутника, визначена точками входу і виходу променя і верхньої вершини призми призводить до

\[\alpha+\left(\pi / 2-\theta_{2}\right)+\left(\pi / 2-\theta_{3}\right)=\pi\label{3.5}\]

що спрощує

\[\alpha=\theta_{2}+\theta_{3}\label{3.6}\]

Закон Снелла в точках входу та виходу променя говорить нам, що

\[n=\frac{\sin \left(\theta_{1}\right)}{\sin \left(\theta_{2}\right)} \quad n=\frac{\sin \left(\theta_{4}\right)}{\sin \left(\theta_{3}\right)}\label{3.7}\]

де n - показник заломлення призми. (Показник заломлення оточення приймається одиницею.) Можна також зробити висновок, що

\[\theta=\theta_{1}+\theta_{4}-\alpha\label{3.8}\]

Це виходить з того, що сума внутрішніх кутів затіненого чотирикутника на малюнку 3.4 дорівнює

\[\left(\pi / 2-\theta_{1}\right)+\alpha+\left(\pi / 2-\theta_{4}\right)+(\pi+\theta)=2 \pi .\label{3.9}\]

Об'єднання рівнянь (\ ref {3.6}), (\ ref {3.7}) і (\ ref {3.8}) дозволяє визначити відхилення променя θ через θ ₁ і α, але отриманий вираз дуже безладно. Однак велике спрощення відбувається при дотриманні наступних умов:

Кут α 1.
Кути θ ₁, θ ₂, θ ₃, θ ₄ 1.

За допомогою цих наближень легко показати, що

\[\theta=\alpha(n-1) \quad(\text { small angles })\label{3.10}\]

Малюнок\(\PageIndex{3}\): .5: Світловий промінь, що зазнає відхилення через кут\(\theta\) лінзою. Кут α - це кут між дотичними до точок входу і виходу променя на лінзі.

Взагалі кажучи, лінзи та дзеркала в оптичних приладах мають вигнуті, а не плоскі поверхні. Однак ми все ще можемо використовувати закони для відображення та заломлення плоськими поверхнями до тих пір, поки сегмент поверхні, на який потрапляє хвильовий пакет, не дуже сильно викривлений в масштабі розмірів хвильового пакету. Ця умова легко задовольнити за допомогою світлового удару на звичайні оптичні прилади. При цьому відхилення променя світла задається рівнянням (\ ref {3.10}), якщо α визначається як перетин дотичних ліній до точок входу і виходу променя, як показано на малюнку 3.5.

Позитивна лінза товщі в центрі, ніж по краях. Кут\(\alpha\) між дотичними лініями до двох поверхонь лінзи на відстані\(r\) від центральної осі приймає форму\(\alpha=C r\), де\(C\) константа. Кут відхилення променя, що потрапляє на лінзу на відстань\(r\) від центру\(\theta=C r(n-1)\), тому, як зазначено на малюнку 3.5. Кути o і i сумують до кута відхилення:\(o+i=\theta=C r(n-1)\). Однак в тій мірі, в якій тримається наближення малого кута,\(o=r / d_{o} \text { and } i=r / d_{i} \text { where } d_{o}\)\(d_{i}\) це відстань до об'єкта і відстань до зображення об'єкта. Складання цих рівнянь разом і скасування\(r\) результатів у рівнянні тонкої лінзи:

\[\frac{1}{d_{o}}+\frac{1}{d_{i}}=C(n-1) \equiv \frac{1}{f}\label{3.11}\]

Величина f називається фокусною відстанню об'єктива. Зверніть увагу, що\(f=d_{i}\) якщо об'єкт знаходиться дуже далеко від об'єктива, тобто, якщо d _o надзвичайно великий.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): .6: Позитивна лінза, яка створює зображення праворуч від стрілки ліворуч.

На малюнку 3.6 показано, як позитивна лінза робить зображення. Зображення виробляється всім світлом з кожної точки об'єкта, що падає на відповідну точку зображення. Якщо стрілка зліва - освітлений об'єкт, то праворуч з'явиться зображення стрілки, якщо світло, що йде від об'єктива, дозволяється падати на аркуш паперу або заземлений скляний екран. Розмір об'єкта S _o і розмір зображення S _i пов'язані простою геометрією з відстанями об'єкта і зображення від об'єктива:

\[\frac{S_{i}}{S_{o}}=\frac{d_{i}}{d_{o}}\label{3.12}\]

Зверніть увагу, що позитивна лінза інвертує зображення.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): .7: Виготовлення віртуального зображення позитивною лінзою.

Зображення буде створено праворуч від об'єктива, лише якщо d _o > f Якщо d _o < f, лінза не зможе сблизитися промені від зображення до точки, як видно на малюнку 3.7. Однак в цьому випадку зворотне розширення променів сходяться в точці, званої віртуальним зображенням, яке в разі позитивної лінзи завжди знаходиться далі від лінзи, ніж об'єкт. Зображення називається віртуальним, оскільки воно не відображається на наземному скляному екрані, розміщеному в цій точці. На відміну від реального зображення, показаного на малюнку 3.6, віртуальне зображення не інвертується. Рівняння тонкої лінзи все ще застосовується, якщо відстань від об'єктива до зображення вважається негативним.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): .8: Виготовлення віртуального зображення негативною лінзою.

Негативна лінза тонше в центрі, ніж по краях, і виробляє тільки віртуальні зображення. Як видно на малюнку 3.8, віртуальне зображення, отримане негативною лінзою, ближче до об'єктива, ніж об'єкт. Знову ж таки, рівняння тонкої лінзи все ще діє, але як відстань від зображення до об'єктива, так і фокусна відстань повинні бути прийняті як негативні. Тільки відстань до об'єкта залишається позитивним.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): .9: Виготовлення реального зображення увігнутим дзеркалом.

Вигнуті дзеркала також виробляють зображення подібним до об'єктива, як показано на малюнку 3.9. Увігнуте дзеркало, як видно на цьому малюнку, працює за аналогією з позитивною лінзою, створюючи реальне або віртуальне зображення в залежності від того, чи знаходиться об'єкт далі від дзеркала або ближче до нього, ніж фокусна відстань дзеркала. Опукле дзеркало діє як негативна лінза, завжди створюючи віртуальне зображення. Рівняння тонкої лінзи працює в обох випадках до тих пір, поки кути невеликі.