2.7: Проблеми

1. Точка А знаходиться в початковій точці. Точка Б знаходиться на відстані 3 м від А на 30 проти ^{годинникової} стрілки від осі х. Точка С знаходиться на відстані 2 м від точки А на 100 проти ^{годинникової} стрілки від осі х.
   1. Отримати декартові складові вектора D ₁, що йде від A до B, і вектора D ₂, що йде від A до C.
   2. Знайти декартові складові вектора D ₃, що йде від B до C.
   3. Знайти напрямок і величину D ₃. Малюнок 2.20: ^{Ескіз хвилі, що рухається на 45 до осі x.}
2. Для векторів у попередній задачі знайдіть D ₁ ⋅ D ₂, використовуючи як косинусну форму крапкового добутку, так і декартову форму. Перевірте, чи дві відповіді однакові.
3. Показувати графічно чи інакше, що | A + B || A | + | B | за винятком випадків, коли вектори A та B паралельні.
4. Хвиля в площині x-y визначається h = h ₀ sin (k ⋅ х) де k = (1, 2) см ^-1.
   1. На аркуші графічного паперу намалюйте осі x і y, а потім нанесіть лінію, що проходить через початок, паралельну вектору k.
   2. На цьому ж графіку нанесіть пряму, визначену k ⋅ _x = k x x + k _y = 0, k ⋅ x = π, і k ⋅ x = 2π. Перевірте, чи є ці лінії перпендикулярними до k.
5. Плоска хвиля в двох вимірах в площині x - y рухається в напрямку 45 проти ^{годинникової} стрілки від осі х, як показано на малюнку 2.20. Визначте, наскільки швидко перетин між хвильовим фронтом і віссю x рухається вправо за фазовою швидкістю c хвилі. Підказка: Яка відстань між хвильовими фронтами вздовж осі x порівняно з довжиною хвилі?
6. Дві глибокі плоскі океанські хвилі з однаковою частотою ω рухаються приблизно на схід. Однак одна хвиля орієнтована на невеликий кут β на північ від сходу, а інша орієнтована β на південь від сходу.
   1. Визначте орієнтацію ліній конструктивного втручання між цими двома хвилями.
   2. Визначте інтервал між лініями конструктивного натягу.
7. Приклад хвиль з дисперсійним співвідношенням, в якому частота є функцією як величини вектора хвилі, так і напрямку, показаний графічно на малюнку 2.21.
   1. Яка фазова швидкість хвиль для кожного з трьох векторів хвиль? Підказка: Ви можете отримати довжину кожного вектора хвилі графічно.
   2. Для кожного з хвильових векторів, яка орієнтація хвильових фронтів?
   3. Для кожного з ілюстрованих хвильових векторів намалюйте два інших хвильових вектора, середнє значення яких приблизно є ілюстрованим вектором, а кінчики яких лежать на тій же частотній лінії контуру. Визначте орієнтацію ліній конструктивної інтерференції, виробленої накладенням пар плоских хвиль, для яких кожна з векторних пар є хвильовими векторами.
8. Дві гравітаційні хвилі мають однакову частоту, але дещо різні довжини хвиль.
   1. Якщо одна хвиля має кут орієнтації θ = π4 радіани, який кут орієнтації іншої? (Див. Малюнок 2.6.)
   2. Визначте орієнтацію ліній конструктивного втручання між цими двома хвилями.
9. Плоска хвиля наштовхується на одну щілину, поширюючись на півкут α після щілини. Якщо весь апарат занурений в рідину з показником заломлення n = 1,5, то як змінюється кут розтікання світла? (Підказка: Нагадаємо, що показник заломлення в прозорому середовищі - це відношення швидкості світла у вакуумі до швидкості в середовищі. Крім того, коли світло переходить від вакууму до прозорого середовища, частота світла не змінюється. Тому як змінюється довжина хвилі світла?) Малюнок 2.21: Графічне зображення співвідношення дисперсії для мілководних хвиль у річці, що протікає у напрямку x. Одиницями частоти є герци, одиниці хвильовогочисла - зворотні метри.
10. Визначте діаметр телескопа, необхідний для вирішення планети 2 × 10 ⁸ км від зірки, яка знаходиться в 6 світлових роках від землі. (Припустимо синє світло, яке має довжину хвилі λ ≈ 4 × 10 ^-7 м = 400 нм. Крім того, не турбуйтеся про велику різницю в яскравості між ними для цілей цієї проблеми.)
11. Лазерний промінь від лазера на землі відбивається назад на землю кутовим відбивачем на Місяці.
    1. Інженери виявляють, що повернутий сигнал сильніше, якщо лазерний промінь спочатку розкидається розширювачем променя, показаним на малюнку 2.22. Поясніть, чому це так.
    2. Балка має діаметр 1 м, що йде від землі. Наскільки вона широка, коли досягає Місяця, яка знаходиться на відстані 4 × 10 ⁵ км? Припустимо, що довжина хвилі світла повинна бути 5 × 10 ^-7 м.
    3. Наскільки широким був би лазерний промінь на Місяці, якби він спочатку не проходив через розширювач променя? Припустимо, його початковий діаметр буде дорівнює 1 см.
12. Припустимо, що плоска хвиля наштовхується на дві щілини в бар'єрі під кутом, таким чином, що фаза хвилі в одній щілині відстає від фази в іншій щілині на половину довжини хвилі. Як змінюється результуюча інтерференційна картина від випадку, в якому немає відставання?
13. Припустимо, що тонкий шматок скла з індексом заломлення n = 1.33 розміщений перед однією щілиною двох щілинних дифракційних установок.
    1. Наскільки товстим має бути скло, щоб уповільнити вхідну хвилю, щоб вона відставала хвилю, що проходить через іншу щілину різницею фаз π? Візьміть довжину хвилі світла λ = 6 × 10 ^-7 м.
    2. Для наведеної вище ситуації якісно опишіть, як змінюється дифракційна картина від корпусу, в якому перед однією з щілин немає скла. Поясніть свої результати. Малюнок 2.22: Ескіз розширювача променя для лазера.
14. Джерело світла виробляє дві довжини хвиль, λ ₁ = 400 нм (синій) і λ ₂ = 600 нм (червоний).
    1. Якісно намалюйте дві щілинні дифракційні картини з цього джерела. Намалюйте візерунок для кожної довжини хвилі окремо.
    2. Якісно намалюйте діаграму дифракції 16 щілин з цього джерела, де відстань щілин така ж, як у двох щілинних корпусах.
15. Джерело світла виробляє дві довжини хвиль, λ ₁ = 631 нм і λ ₂ = 635 нм. Яка мінімальна кількість щілин, необхідних у спектрометрі решітки для вирішення двох довжин хвиль? (Припустімо, що ви дивитеся на пік дифракції першого порядку.) Намалюйте пік дифракції від кожної довжини хвилі та вкажіть, наскільки вузькими повинні бути піки, щоб їх вирішити.