1.8: Математичний огляд - Похідні

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74186

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У цьому розділі наведено швидкий огляд ідеї похідної. Часто нас цікавить нахил прямої дотичної до функції y (x) при деякому значенні x. Цей нахил називається похідною і позначається dydx. Оскільки дотична лінія до функції може бути визначена в будь-якій точці x, сама похідна є функцією x:

\[g(x)=\frac{d y(x)}{d x}\label{1.25}\]

Як показано на малюнку 1.15, нахил дотичної лінії в деякій точці функції може бути наближений нахилом прямої, що з'єднує дві точки, A і B, встановити кінцеву відстань один від одного на кривій:

\[\frac{d y}{d x} \approx \frac{\Delta y}{\Delta x}\label{1.26}\]

Коли B переміщується ближче до А, наближення стає кращим. У межі, коли Б рухається нескінченно близько до А, це точно.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Оцінка похідної, яка є нахилом дотичної прямої. Коли точка В наближається до точки А, нахил лінії АВ наближається до нахилу дотичної до кривої в точці А.

Наведено похідні деяких загальних функцій. У кожному випадку a - це константа.

\[\frac{d x^{a}}{d x}=a x^{a-1}\label{1.27}\]

\[\frac{d}{d x} \exp (a x)=a \exp (a x)\label{1.28}\]

\[\frac{d}{d x} \log (a x)=\frac{1}{x}\label{1.29}\]

\[\frac{d}{d x} \sin (a x)=a \cos (a x)\label{1.30}\]

\[\frac{d}{d x} \cos (a x)=-a \sin (a x)\label{1.31}\]

\[\frac{d a f(x)}{d x}=a \frac{d f(x)}{d x}\label{1.32}\]

\[\frac{d}{d x}[f(x)+g(x)]=\frac{d f(x)}{d x}+\frac{d g(x)}{d x}\label{1.33}\]

\[\frac{d}{d x} f(x) g(x)=\frac{d f(x)}{d x} g(x)+f(x) \frac{d g(x)}{d x} \quad \text { (product rule) }\label{1.34}\]

\[\frac{d}{d x} f(y)=\frac{d f}{d y} \frac{d y}{d x} \quad(\text { chain rule })\label{1.35}\]

Правила добутку та ланцюга використовуються для обчислення похідних складних функцій. Наприклад,

\(\frac{d}{d x}(\sin (x) \cos (x))=\frac{d \sin (x)}{d x} \cos (x)+\sin (x) \frac{d \cos (x)}{d x}=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)\)

\(\frac{d}{d x} \log (\sin (x))=\frac{1}{\sin (x)} \frac{d \sin (x)}{d x}=\frac{\cos (x)}{\sin (x)}\).