1.3: Типи хвиль

Для того, щоб зробити вищевказаний матеріал більш конкретним, ми зараз розглянемо характеристики різних типів хвиль, які можуть спостерігатися в реальному світі.

Поверхневі хвилі океану

Малюнок\(\PageIndex{1}\): .3: Хвиля на океані глибиною H. Хвиля рухається вправо і частинки води на поверхні коливаються в еліптичних траєкторіях при проходженні гребенів хвиль і жолобів.

Ці хвилі проявляються у вигляді хвиль поверхні океану, як показано на малюнку 1.3. Швидкість океанських хвиль задається за формулою

\[c=\left(\frac{g \tanh (k H)}{k}\right)^{1 / 2}\label{1.6}\]

де g = 9,8 м s ^-2 - сила тяжіння землі на одиницю маси, H - глибина океану, а гіперболічний тангенс визначається як ¹

\[\tanh (x)=\frac{\exp (x)-\exp (-x)}{\exp (x)+\exp (-x)}\label{1.7}\]

Рівняння швидкості океанських хвиль походить з теорії коливань поверхні рідини в гравітаційному полі.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): .4: Графік функції\(\tanh (x)\). Пунктирна лінія показує наше наближення\(\tanh (x) \approx x \text { for }|x|<1\).

Як показує малюнок 1.4, для\(|x|≪ 1\), ми можемо наблизити гіперболічний тангенс по\(tanh(x) ≈ x\), тоді як для\(|x|≫ 1\) нього +1 для\(x > 0\) і -1 для\(x < 0\). Це призводить до двох меж: Оскільки\(x = kH\), мілководдя межа, яка виникає\(kH ≪ 1\), коли, дає швидкість хвилі

\[c \approx(g H)^{1 / 2}, \quad \text { (shallow water waves) }\label{1.8}\]

в той час як глибока межа води, яка виникає при\(kH ≫ 1\), дає

\[c \approx(g / k)^{1 / 2}, \quad \text { (deep water waves). }\label{1.9}\]

Зверніть увагу, що швидкість мілководних хвиль залежить тільки від глибини залягання води і від г. Іншими словами, всі мілководні хвилі рухаються з однаковою швидкістю. З іншого боку, глибоководні хвилі з більшою довжиною хвилі (а отже, і меншим числом хвиль) рухаються швидше, ніж хвилі з коротшою довжиною хвилі. Хвилі, для яких швидкість хвилі змінюється в залежності від довжини хвилі, називаються дисперсійними. Таким чином, глибоководні хвилі є дисперсійними, тоді як мілководні хвилі недисперсійні.

Для водних хвиль з довжиною хвиль кілька сантиметрів або менше поверхневий натяг стає важливим для динаміки хвиль. У випадку глибокої води швидкість хвилі на коротких довжині хвиль задається за формулою

\[c=(g / k+A k)^{1 / 2}\label{1.10}\]

де постійна А пов'язана з ефектом, званим поверхневим натягом. Для інтерфейсу повітря-вода поблизу кімнатної температури,\(A \approx 74 \mathrm{~cm}^{3} \mathrm{~s}^{-2}\)

Звукові хвилі

Звук - це поздовжня хвиля стиснення-розширення в рідині. Швидкість хвилі для звуку в ідеальному газі

\[c=\left(\gamma R T_{a b s}\right)^{1 / 2}\label{1.11}\]

де\(γ \) і\(R \) є константами і\(T\) _abs - абсолютна температура. Абсолютна температура вимірюється в кельвінів і чисельно задається

\[T_{a b s}=T_{C}+273^{\circ} \label{1.12}\]

де\(T\) _С - температура в градусах Цельсія. Кутова частота звукових хвиль, таким чином, задається

\[\omega=c k=\left(\gamma R T_{a b s}\right)^{1 / 2} k\label{1.13}\]

Швидкість звуку в повітрі при нормальних температурах становить близько 340 м, с ^{- 1}.

Світло

Світло рухається у вакуумі зі швидкістю\(c_{v a c}=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\). У прозорих матеріалах він рухається зі швидкістю менше, ніж\(c_{v a c}\) на коефіцієнт,\(n\) який називається показником заломлення матеріалу:

\[c=c_{v a c} / n\label{1.14}\]

Часто показник заломлення набуває вигляду

\[n^{2} \approx 1+\frac{A}{1-\left(k / k_{R}\right)^{2}}\label{1.15}\]

де\(k\) - хвильове число і\(k_{R}\) і\(A\) - позитивні константи, характерні для матеріалу. Кутова частота світла в прозорому середовищі, таким чином

\[\omega=k c=k c_{v a c} / n\label{1.16}\]