Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.2: Синусоїдальні хвилі

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    74171

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    clipboard_ec90db04c75e0cf61132b8e5b27b7786e.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): .2: Ескіз визначення синусоїди, що показує довжину хвилі\(\lambda\) і амплітуду\(h_{0}\) і фазу\(\phi\) в різних точках.

    Особливо простий вид хвилі, синусоїда, проілюстрований на малюнку 1.2. Це має математичну форму.

    \[h(x)=h_{0} \sin (2 \pi x / \lambda)\label{1.1}\]

    де h - зміщення (яке може бути як поздовжнім, так і поперечним), h 0 - максимальне зміщення, також зване амплітудою хвилі, а λ - довжина хвилі. Передбачається, що коливальна поведінка хвилі продовжується до нескінченності як в позитивному, так і в негативному х напрямках. Зверніть увагу, що довжина хвилі - це відстань, через яке функція синуса завершує один повний цикл. Гребінь і жолоб хвилі - це місця максимального та мінімального зміщень, як показано на малюнку 1.2.

    Поки ми розглядали лише синусоїду, як вона з'являється в певний час. Всі цікаві хвилі рухаються з часом. Рух синусоїди вправо a відстань d може бути враховано заміною x у наведеній вище формулі на\(x - d\). Якщо цей рух відбувається в часі\(t\), то хвиля рухається зі швидкістю\(c = d∕t\). Розв'язування цього для d і підстановка дає формулу зміщення синусоїди як функції відстані\(x\) і часу\(t\):

    \[h(x, t)=h_{0} \sin [2 \pi(x-c t) / \lambda\label{1.2}\]

    Час переміщення хвилі на одну довжину хвилі називається періодом хвилі:\(T=\lambda / c\). Таким чином, ми також можемо написати

    \[h(x, t)=h_{0} \sin [2 \pi(x / \lambda-t / T)]\label{1.3}\]

    Фізики насправді люблять писати рівняння для синусоїди в дещо простішому вигляді. Визначивши хвильове число як\(k=2 \pi \lambda\) і кутову частоту як\(\omega=2 \pi T\), запишемо

    \[h(x, t)=h_{0} \sin (k x-\omega t)\label{1.4}\]

    Зазвичай ми думаємо про частоту коливального руху як кількість циклів, завершених в секунду. Це називається частотою обертання, і задається\(f=1 / T\). Це пов'язано з кутовою частотою по\(\omega=2 \pi f\). Частоту обертання зазвичай легше виміряти, ніж кутова частота, але кутова частота, як правило, частіше використовується в теоретичних обговореннях. Як показано вище, перетворення між ними не складає труднощів. Частота обертання вимірюється в одиницях герц, скорочено Гц;\(1 \mathrm{~Hz}=1 \text { cycle } \mathrm{s}^{-1}\). Кутова частота також має розміри зворотного часу, наприклад, радіан s -1, але термін «герц», як правило, зарезервований лише для частоти обертання.

    Аргументом функції синуса є за визначенням кут. Ми називаємо цей кут фазою хвилі,\(\phi=k x-\omega t\). Різниця в фазі хвилі в фіксований час на відстані однієї довжини хвилі дорівнює\(2 \pi\), як і різниця фази в фіксованому положенні протягом часового інтервалу одного хвильового періоду.

    Оскільки кути безрозмірні, ми зазвичай не включаємо це в одиниці для частоти. Однак іноді уточнює речі, щоб називати розміри частоти обертання як «обертання в секунду» або кутову частоту як «радіани в секунду».

    Як раніше зазначалося, називаємо\(h_{0}\), максимальне зміщення хвилі, амплітуда. Часто нас цікавить інтенсивність хвилі, яка пропорційна квадрату амплітуди. Інтенсивність часто пов'язана з кількістю енергії, яку несе хвиля.

    Швидкість хвилі, яку ми визначили вище\(c=\lambda/T\), насправді називається фазовою швидкістю. Так як\(\lambda=2 \pi k \text { and } T=2 \pi / \omega\), ми можемо записати фазову швидкість через кутову частоту і хвильове число:

    \[c=\frac{\omega}{k} \quad(\text { phase speed })\label{1.5}\]