B12: Правила Кірхгофа, термінальна напруга

Є два закони аналізу схем, які настільки прості, що ви можете вважати їх «твердженнями очевидного» і все ж настільки потужними, щоб полегшити аналіз схем великої складності. Закони відомі як закони Кірхгофа. Перший, відомий як «Закон про напругу Кірхгофа» і «Правило петлі», стверджує, що, починаючи з провідника, якщо ви перетягнете кінчик пальця навколо будь-якого контуру в ланцюзі назад до вихідного провідника, сума змін напруги, що відчуваються кінчиком пальця, буде нульовою. (Щоб уникнути ураження електричним струмом, будь ласка, подумайте про перетягування пальцем у фактичній схемі як про мисливий експеримент.)

Закон Кірхгофа про напругу (він же правило петлі)

Щоб передати ідею закону про напругу Кірхгофа, я наводжу аналогію. Уявіть, що ви досліджуєте шестиповерховий особняк, який має$20$ сходові клітки. Припустимо, що ви починаєте з першого поверху. Коли ви блукаєте по особняку, ви іноді піднімаєтеся сходами, а іноді спускаєтеся сходами. Кожен раз, коли ви піднімаєтеся по сходах, ви відчуваєте позитивну зміну висоти. Кожен раз, коли ви спускаєтеся по сходах, ви відчуваєте негативну зміну висоти. Яким би заплутаним не був шлях ваших досліджень, якщо ви знову опинитеся на першому поверсі особняка, ви можете бути впевнені, що алгебраїчна сума всіх ваших перепадів висот дорівнює нулю.

Щоб пов'язати аналогію зі схемою, найкраще розглядати схему як купу провідників, з'єднаних елементами ланцюга (а не навпаки, як ми зазвичай розглядаємо схему). Кожен провідник в ланцюзі знаходиться на різному значенні електричного потенціалу (так само, як кожен поверх в особняку знаходиться на різному значенні висоти). Ви починаєте кінчиком пальця на конкретному провіднику в ланцюзі, аналогічно запуску на конкретному поверсі особняка. Провідник знаходиться на певному потенціалі. Ви, мабуть, не знаєте значення цього потенціалу більше, ніж знаєте висоту, що перший поверх особняка знаходиться над рівнем моря. Вам не потрібна ця інформація. Тепер, коли ви проводите пальцем по петлі, поки ви залишитеся на одному провіднику, кінчик пальця буде залишатися на тому ж потенціалі. Але, коли ви перетягнете кінчик пальця від цього провідника, через елемент схеми, до наступного провідника на вашому шляху, потенціал вашого пальця зміниться на величину, рівну напрузі на елементі ланцюга (різниця потенціалів між двома провідниками). Це аналог підйому або спуску сходового маршу і переживання зміни висоти, рівної різниці висот між двома поверхами.

Якщо ви перетягнете кінчиком пальця навколо ланцюга в петлі, назад до вихідного провідника, ваш палець знову знаходиться на потенціалі цього провідника. Таким чином, сума змін електричного потенціалу, які переживає ваш палець на його обході петлі, повинна дорівнювати нулю. Це аналогічно тому, що якщо ви починаєте на одному поверсі особняка, і, блукаючи по особняку, вгору і вниз сходами, ви опинитеся на одному поверсі особняка, ваша загальна зміна висоти дорівнює нулю. При перетягуванні пальцем навколо замкнутого контуру ланцюга (у будь-якому напрямку, який ви хочете, незалежно від напрямку струму) і додаючи кожен із змін напруги до загальної кількості, критичною проблемою є алгебраїчний знак кожної зміни напруги. У наступному прикладі ми показуємо кроки, які вам потрібно зробити, щоб отримати ці знаки правильно, і довести читачеві вашого рішення, що вони правильні.

Приклад

Знайти струм через кожен з резисторів в наступній схемі.

Перш ніж приступити до роботи, давайте визначимо деякі назви для заданих величин:

Кожен двухклемний елемент ланцюга має одну клему, яка знаходиться на більш високому потенціалі, ніж інша клема. Наступне, що ми хочемо зробити, це позначити кожен вищий потенційний термінал «$+$», а кожен термінал нижчого потенціалу$-$ - «». Починаємо з місць ЕРС. Вони тривіальні. За визначенням, довший паралельний відрізок лінії, в символі, який використовується для зображення місця ЕРС, знаходиться на більш високому потенціалі.

Далі визначаємо змінну струму для кожної «ніжки» ланцюга. «Ніжка» ланцюга простягається від точки в ланцюзі, де з'єднуються три або більше проводів (називається стиком) до наступного переходу. Всі елементи ланцюга в якомусь одному відрізку ланцюга знаходяться послідовно один з одним, значить, всі вони мають однаковий струм через них.

Примітка

При визначенні поточних змінних напрямок, в якому ви малюєте стрілку в певній ніжці ланцюга, є лише здогадкою. Не витрачайте багато часу на здогадування. Це не має значення. Якщо струм насправді знаходиться в напрямку, протилежному тому, в якому вказує ваша стрілка, ви просто отримаєте негативне значення для поточної змінної. Читач вашого рішення відповідає за перегляд вашої діаграми, щоб побачити, як ви визначили поточний напрямок і відповідно інтерпретувати алгебраїчний знак поточного значення.

Тепер, за визначенням, струм - це напрямок, в якому протікають позитивні носії заряду. Носії заряду втрачають енергію електричного потенціалу при проходженні через резистор, значить, вони йдуть від провідника з більш високим потенціалом, до провідника з нижчим потенціалом, коли проходять через резистор. Це означає, що кінець резистора, на якому струм надходить на резистор, є вищою потенційною клемою ($+$), і, кінець, на якому струм виходить з резистора, - нижня потенційна клема ($-$) резистора.

Тепер визначимося з деякими іменами змінних напруг резистора:

Зверніть увагу, що$–$ знаки$+$ і на резисторах є важливими частинами наших визначень$V_{R1}$ і$V_{R2}$. Якщо, наприклад, ми обчислюємо,$V_{R1}$ щоб мати позитивне значення, то це означає, що лівий (як ми його бачимо) кінець$V_{R1}$ знаходиться на більш високому потенціалі, ніж правий кінець (як зазначено на нашій діаграмі). Якщо$V_{R1}$ виявляється негативним, це означає, що лівий кінець насправді$R_1$ має менший потенціал, ніж правий кінець. Нам більше не доведеться робити жодної роботи, якщо$V_{R1}$ виявиться негативним. Читач нашого рішення зобов'язаний подивитися на нашу принципову схему, щоб побачити, що$V_{R1}$ означає алгебраїчний знак нашої цінності.

З усіма клемами елементів ланцюга, позначеними «$+$» для «вищого потенціалу$–$» або «» для «нижчого потенціалу», ми тепер готові застосувати правило петлі. Я збираюся намалювати дві петлі з наконечниками стріл. Цикл, який малює, не повинен бути розпливчастим індикатором напрямку, а конкретним твердженням, який говорить: «Почніть з цієї точки ланцюга. Обійдіть цю петлю в цьому напрямку, і, закінчуйте в цій точці ланцюга». Також початкова точка і кінцева точка повинні бути однаковими. Зокрема, вони повинні знаходитися на одному провіднику. (Ніколи не запускайте цикл на елементі ланцюга.) На наступній схемі представлені дві петлі, одна з яких позначена 1, а інша позначена 2.

Тепер ми пишемо KVL 1, щоб повідомити читачеві, що ми застосовуємо правило циклу (Закон напруги Кірхгофа), використовуючи цикл 1, і транскрибуємо рівняння циклу з принципової схеми:

$$KVL1+V_1-V_{R1}+V_2=0$$

Рівняння виходить шляхом перетягування кінчика пальця навколо вказаного точного циклу та запису змін напруги, які відчувається кінчиком пальця, а потім, пам'ятаючи написати «»$= 0$. Починаючи з точки на контурі, найближчої до хвоста петлі 1 стрілка, як ми обтягуємо пальцем по петлі, спочатку обходимо посадочне місце ЕРС,$V_1$. При обході$V_1$ ми переходимо від нижчого потенціалу ($-$) до вищого потенціалу ($+$). Це означає, що палець відчуває позитивну зміну потенціалу, отже,$V_1$ входить в рівняння з позитивним знаком. Далі підходимо до резистору$R_1$. При обході$R_1$ ми переходимо від вищого потенціалу ($+$) до нижчого потенціалу ($-$). Це негативна зміна потенціалу. Отже,$V_{R1}$ входить наше рівняння циклу з негативним знаком. Коли ми продовжуємо наш шлях про петлю, ми приходимо до місця ЕРС$V_2$ і переходимо від нижчого потенціалу ($-$) до вищого потенціалу ($+$), коли ми проходимо його. Таким чином,$V_2$ входить в петлю рівняння з позитивним знаком. Нарешті, повертаємося на початкову точку. Це означає, що настав час написати «»$= 0$.

Таким же чином ми транскрибуємо рівняння другого циклу:

$$KVL2-V_2+V_{R2}-V_3=0$$

З цими двома рівняннями в руці, і знаючи$V_{R2} = I_2 R_2$, що$V_{R1} = I_1R_1$ і, рішення прикладної задачі є простим. (Ми залишаємо це як вправу для читача.) Настав час перейти до іншого закону Кірхгофа.

Поточний закон Кірхгофа (він же правило з'єднання)

Правило з'єднання Кірхгофа - це просте твердження того, що заряд не накопичується на стику. (Нагадаємо, що стик - це точка в ланцюзі, де три і більше проводів з'єднані між собою.) Я збираюся заявити про це двома способами і попросити вас вибрати той, який ви віддаєте перевагу, і використовувати цей. Один із способів заявити про це - сказати, що чистий струм у перехід дорівнює нулю. Перевірте схему на прикладі проблеми:

У цій копії діаграми цієї схеми я поставив крапку на стику, на якому я хочу застосувати чинний закон Кірхгофа, і я позначив цей перехід «»$A$.

Зверніть увагу, що є три ніжки схеми, прикріплені до стику$A$. В одному з них струм$I_1$ тече в бік стику. В іншому струм$I_2$ тече в бік стику. У третій ніжці струм$I_3$ стікає від місця з'єднання. Струм від переходу вважається негативним від цього значення струму, до переходу. Отже, застосування чинного закону Кірхгофа у вигляді «Чистий струм в будь-якому переході дорівнює нулю», до переходу$A$ дає:

$$\frac{\mbox{KCL A}}{I_1}+I_2-I_3=0$$

Зверніть увагу на негативний знак навпроти$I_3$. Струм$-I_3$ в перехід$A$ - це те ж саме, що і струм$I_3$ з цього переходу, який саме те, що ми маємо.

Інший спосіб констатувати чинний закон Кірхгофа: «Струм у перехресті дорівнює струму з цього переходу». У цій формі, застосовуючи чинний закон Кірхгофа до з'єднання$A$ в схемі вище, можна було б написати:

$$\frac{\mbox{KCL A}}{I_1}+I_2=I_3$$

Очевидно, що два результати однакові.

Напруга терміналу - більш реалістична модель для джерела живлення акумулятора або постійного струму

Наша модель для акумулятора до цього моменту була місцем ЕРС. Я сказав, що сидіння ЕРС можна вважати ідеальним акумулятором. Ця модель для акумулятора хороша до тих пір, поки акумулятор досить новий і невикористаний, а струм через нього невеликий. Малий в порівнянні з чим? Як маленький? Ну, досить малий, щоб напруга на акумуляторі, коли він знаходиться в ланцюзі, приблизно таке ж, як і коли його немає в жодному ланцюзі. Наскільки близький до того, щоб бути однаковим? Це залежить від того, наскільки точними ви хочете, щоб ваші результати були. Напруга на акумуляторі зменшується при підключенні акумулятора в ланцюг. Якщо він зменшується на п'ять відсотків, і ви обчислюєте значення на основі напруги на акумуляторі, коли він не знаходиться в ланцюзі, ваші результати, ймовірно, будуть приблизно$5%$ вимкнені.

Краща модель для акумулятора - ідеальне місце ЕРС послідовно з резистором. Батарея поводиться дуже сильно так, ніби вона складалася з місця ЕРС послідовно з резистором, але, ви ніколи не зможете відокремити місце ЕРС від резистора, і якщо ви відкриєте батарею, ви ніколи не знайдете там резистора. Подумайте про акумулятор як чорний ящик, що містить місце ЕРС та резистор. Резистор в цій моделі називається внутрішнім опором акумулятора.

Точка, в якій сідло ЕРС підключено до внутрішнього опору акумулятора, недоступна. Різниця потенціалів між клемами акумулятора називається напругою клеми акумулятора. Коли акумулятор не є частиною ланцюга, напруга клеми дорівнює ЕРС. Вивести це можна з того, що коли батарея не входить в ланцюг, через резистор може бути відсутнім струм. Якщо через резистор немає струму, то два висновки резистора повинні знаходитися на одному і тому ж значенні електричного потенціалу. Таким чином, на схемі вище правий кінець резистора знаходиться на тому ж потенціалі, що і високопотенційна клема посадочного місця ЕРС.

Тепер, давайте поставимо батарею в ланцюг:

Я вказав дві точки$A$ і$B$ на схемі для комунікаційних цілей. Напруга клеми - це напруга від$A$ до$B$ ($V_{AB}$). Якщо ви простежуєте ланцюг кінчиком пальця$B$, від$A$ до, напруга клеми (наскільки вище потенціал,$B$ ніж він знаходиться$A$) - це всього лише сума змін напруги, які відчуває ваш палець по шляху. (Зверніть увагу, що цього разу, ми не збираємося весь шлях навколо циклу. Ми не накручуємо на той же провідник, на якому ми почали. Отже, сума змін напруги від$A$ до не$B$ дорівнює нулю.) Щоб підсумувати зміни напруги від$A$ до$B$, я позначу клеми компонентів між$A$ і$B$ з «$+$» для більш високого потенціалу і «$-$» для меншого потенціалу.

Спочатку місце ЕРС: Це тривіально. Коротша сторона символу ЕРС - це нижня сторона потенціалу ($-$), а довша сторона - сторона вищого потенціалу ($+$).

Тепер, для внутрішнього опору акумулятора: Кінець внутрішнього опору r, який надходить струм, - це кінець вищого потенціалу ($+$), і кінець, який він виходить, - це нижній потенціал ($-$) кінець.

Зверніть увагу, що я також визначив на попередній діаграмі змінну$V_r$ напруги на внутрішньому опорі акумулятора. Пам'ятайте, щоб отримати термінальну напругу$V_{AB}$ акумулятора, все, що нам потрібно зробити, це підсумувати потенційні зміни, які зазнає наш кінчик пальця, якби ми$A$ перетягнемо$B$ його з ланцюга. (Це, безумовно, думка експеримент, тому що ми не можемо отримати наш палець всередині батареї.)

$$V_{AB}=\varepsilon-V_{r}$$

$$V_{AB}=\varepsilon-Ir$$

Зверніть увагу, що у другому рядку я використовував визначення опору ($V=IR$) у вигляді$V_r = Ir$,$V_r$ замінити на$Ir$.

У цій книзі ми були узгоджені з конвенцією про те, що подвійний індекс, такий як$AB$ може бути прочитаний «$A$до$B$», що означає, що у випадку$V_{AB}$ це сума потенційних змін від$A$ до$B$ (а не навпаки), іншими словами, $V_{AB}$тобто наскільки більший електричний потенціал у точці,$B$ ніж електричний потенціал у точці$A$. Тим не менш, є деякі книги, які приймають$V_{AB}$ (все саме по собі), щоб означати напругу щодо$B$ (що є негативом того, що ми маємо на увазі під ним).$A$ Отже, для людей, які, можливо, використовували іншу конвенцію, ніж ви використовуєте, це гарна ідея, щоб діаграматично визначити саме те, що ви маєте на увазі під$V_{AB}$. Покладання вольтметра, позначеного, щоб вказати, що він читає$V_{AB}$, і позначений, щоб вказати, який термінал є його «$+$» терміналом, а який - його «$-$» термінал - хороший спосіб зробити це.