13.6: Приклади

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74562

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\): Calorimetry

Питома теплоємність алюмінію становить 900 Дж/кг·К, а води - 4186 Дж·К. припустимо, ви скидаєте блок алюмінію масою 1 кг при температурі 80\(^{\circ}\) С в літр води (який також має масу 1 кг) при температурі 20\(^{\circ}\) С. Яка кінцева температура системи, припускаючи відсутність обміну тепла з навколишнім середовищем відбувається? Скільки енергії втрачає алюміній/набирає воду?

Рішення

Назвемо\(T_{Al}\) початкову температуру алюмінію,\(T_{water}\) початкову температуру води і\(T_f\) їх кінцеву загальну температуру. Теплова енергія, що виділяється алюмінієм, дорівнює\(\Delta E_{Al} = C_{Al}(T_f − T_{Al})\) (це випливає з визначення (13.2.1) теплоємності; ми могли б однаково назвати цю величину «тепло, що виділяється алюмінієм»). Таким же чином змінюється теплова енергія води (тепло, поглинене водою) дорівнює\(\Delta E_{water} = C_{water}(T_f −T_{water})\). Якщо загальна система замкнута, сума цих двох величин, кожна зі своїм відповідним знаком, повинна дорівнювати нулю:

\[ 0=\Delta E_{\mathrm{Al}}+\Delta E_{\mathrm{water}}=C_{\mathrm{Al}}\left(T_{f}-T_{\mathrm{Al}}\right)+C_{\mathrm{water}}\left(T_{f}-T_{\mathrm{water}}\right) \label{eq:13.20} .\]

Це рівняння для\(T_f\) має рішення

\[ T_{f}=\frac{C_{\mathrm{Al}} T_{\mathrm{Al}}+C_{\mathrm{water}} T_{\mathrm{water}}}{C_{\mathrm{Al}}+C_{\mathrm{water}}} \label{eq:13.21} .\]

Як бачите, результатом є середньозважене значення двох пускових температур, з відповідними теплоємностями в якості вагових коефіцієнтів.

Теплоємності\(C\) дорівнюють заданих питомим теплом, помноженим на відповідні маси. При цьому маса алюмінію і маса води однакові, тому вони скасують в кінцевому результаті. Крім того, ми можемо використовувати температуру в градусах Цельсія, замість Кельвіна. Це не відразу видно з кінцевого виразу (\ ref {eq:13.21}), але якщо ви подивитеся на (\ ref {eq:13.20}), ви побачите, що це стосується лише різниці температур, і ті мають однакове значення в шкалах Кельвіна і Цельсія.

Підставляючи задані значення в (\ ref {eq:13.21}), то, отримаємо

\[ T_{f}=\frac{900 \times 80+4186 \times 20}{900+4186}=30.6^{\circ} \mathrm{C} \label{eq:13.22} .\]

Це набагато ближче до початкової температури води, як годиться, так як вона має більшу теплоємність. Обсяг теплообмінного

\[ C_{\text {water }}\left(T_{f}-T_{\text {water }}\right)=4186 \times(30.6-20)=44,440 \: \mathrm{J}=44.4 \: \mathrm{kJ} \label{eq:13.23} .\]

Так, 1 кг алюмінію віддає 44,4 кДж теплової енергії і його температура падає майже на 50\(^{\circ}\) С, з 80\(^{\circ}\)° С до 30.6\(^{\circ}\) С, тоді як 1 кг води забирає таку ж кількість теплової енергії і її температура тільки піднімається приблизно на 10,6\(^{\circ}\) С.

Приклад\(\PageIndex{2}\): Equipartition of energy

Оцініть швидкість молекули кисню в повітрі при кімнатній температурі (близько 300 К).

Рішення

Нагадаємо, що в розділі 13.2 я згадував, що середня поступальна кінетична енергія молекули в системі при температурі\(T\) становить\(\frac{3}{2}k_{B}T\) (Рівняння (13.2.7)\(k_B\), де, константа Больцмана, дорівнює 1,38 × 10 ⁻²³ Дж/К.\(T\) K, молекула кисню (або чогось іншого, якщо на те пішло) повинна мати, в середньому, кінетичну енергію

\[ \left\langle K_{\text {trans}}\right\rangle=\frac{3}{2} k_{B} T=\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300 \: \mathrm{J}=6.21 \times 10^{-21} \: \mathrm{J} \label{eq:13.24} .\]

Так як\(K = \frac{1}{2}mv^2\), ми можемо з'ясувати середнє значення,\(v^2\) якщо ми знаємо масу молекули кисню. Це те, що ви можете подивитися вгору або вивести так: Один моль атомів кисню має масу 16 грам (16 - це атомний масовий номер кисню) і містить кількість атомів Авогадро, 6,02 × 10 ²³. Так один атом має масу 0,016 кг/6,02 × 10 ²³ = 2,66 × 10 ⁻²⁶ кг. Молекула кисню містить два атоми, тому вона має вдвічі більшу масу,\(m\) = 5,32 × 10 ⁻²⁶ кг. Потім,

\[ \left\langle v^{2}\right\rangle=\frac{2\left\langle K_{\text {trans}}\right\rangle}{m}=\frac{2 \times 6.21 \times 10^{-21} \: \mathrm{J}}{5.32 \times 10^{-26} \: \mathrm{kg}}=2.33 \times 10^{5} \: \frac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{s}^{2}} \label{eq:13.25} .\]

Квадратний корінь цього дасть нам те, що називається «середнім квадратом кореня» швидкість, або\(v_{rms}\):

\[ v_{r m s}=\sqrt{2.33 \times 10^{5} \: \frac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{s}^{2}}}=483 \: \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \label{eq:13.26} .\]

Це того ж порядку, що і (але більше) швидкість звуку в повітрі при кімнатній температурі (близько 340 м/с, як ви пам'ятаєте з глави 12).