12.6: Додаткові теми
- Page ID
- 74723
Ланцюг мас, з'єднаних з пружинною дисперсією та довгохвильовою межею
Розглянемо модель витягнутої пружного середовища, в якій для простоти відокремлюємо два основних властивості середовища, інерцію і еластичність, описуючи її як ланцюжок точкових мас (частинок), з'єднаних безмасовими пружинами, як на малюнку\(\PageIndex{1}\) нижче. Я покажу вам тут, як можна отримати «ідеальну» поведінку хвилі в цій системі, за умови, що ми працюємо в «довгохвильовій» межі, тобто ми розглядаємо лише хвилі, довжина хвилі яких набагато більша за середню відстань між сусідніми масами.
На малюнку вище я явно показав\(n\) -ю масу і дві пружини, які штовхають і/або тягнуть на неї, як в рівновазі (верхній малюнок), так і коли ланцюг знаходиться в русі (знизу). В останньому випадку довжина пружин залежить від відносних переміщень всіх трьох зображених мас. Зокрема, довжина пружини зліва - це\(d+\xi_n −\xi_{n−1}\) відстань між масами в рівновазі, а довжина пружини праворуч -\(d + \xi_{n+1} − \xi_n\).\(d\) Якщо ліва пружина розтягнута (довжина більше\(d\)), вона потягне вліво на\(n\) -й масі, і, навпаки, при розтягуванні правої пружини (довжина більше\(d\)) вона потягне вправо на\(n\) -ю масу. Отже, якщо всі пружини мають однакову константу\(k\), рівняння сили\(F = ma\) для маси\(n\) дорівнює
\[ m a_{n}=-k\left(\xi_{n}-\xi_{n-1}\right)+k\left(\xi_{n+1}-\xi_{n}\right) \label{eq:12.20} \]
який ми можемо переписати як
\[ m \frac{d^{2} \xi_{n}}{d t^{2}}=k \xi_{n-1}-2 k \xi_{n}+k \xi_{n+1} \label{eq:12.21} .\]
Тепер спробуємо побачити, чи зможемо ми отримати синусоїдальний розв'язок цієї системи диференціальних рівнянь. За аналогією з рівняння (12.1.3) нехай
\[ \xi_{n}(t)=A \sin \left[2 \pi\left(\frac{x_{n}}{\lambda}-f t\right)\right] \nonumber \]
де\(x_n = nd\) - положення рівноваги\(n\) -ї маси. Тоді для кожної з трьох розглянутих мас ми маємо
\ begin {вирівнювання}
\ xi_ {n-1} (t) &= A\ sin [2\ pi ((n-1) d/\ лямбда-ф т)] = A\ sin [2\ pi (п/\ лямбда-ф т) -2\ пі д\\ лямбда]\ nonumber
\\ xi_ {n} (t) &= A\ sin [2\ pi (n d\ лямбда-ф т)]\ нечисло\\
\ xi_ {n+1} (t) &=A\ sin [2\ pi (((n+1) d/\ лямбда-ф т)] = A\ sin [2\\ пі (п д/\ лямбда-ф т) +2\ пі д/\ лямбда]\ мітка {еква:12.22}
\ кінець {вирівнювання}
Ми хочемо замінити все це в Рівняння (\ ref {eq:12.21}). Ми можемо використовувати тригонометричну ідентичність\(\sin(a − b) + \sin(a + b) = 2 \sin a \cos b\) для спрощення\(\xi_{n−1} + \xi_{n+1}\):
\[ \xi_{n-1}+\xi_{n+1}=2 A \sin \left[2 \pi\left(\frac{n d}{\lambda}-f t\right)\right] \cos \left(\frac{2 \pi d}{\lambda}\right) \label{eq:12.23} \]
потім використовувати для\(1 − \cos x = 2 \sin ^2 (x/2)\) врожайності
\[ k \xi_{n-1}-2 k \xi_{n}+k \xi_{n+1}=-4 k A \sin ^{2}\left(\frac{\pi d}{\lambda}\right) \sin \left[2 \pi\left(\frac{n d}{\lambda}-f t\right)\right]=-4 k \sin ^{2}\left(\frac{\pi d}{\lambda}\right) \xi_{n} \label{eq:12.24} \]
Тепер зрозуміло, що рівняння (\ ref {eq:12.21}) буде виконано за умови виконання наступної умови:
\[ m(2 \pi f)^{2}=4 k \sin ^{2}\left(\frac{\pi d}{\lambda}\right) \label{eq:12.25} .\]
Або, взявши квадратний корінь і спрощуючи,
\[ f=\frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \left(\frac{\pi d}{\lambda}\right) \label{eq:12.26} .\]
Це явно більш складне співвідношення між\(f\) і\(\lambda\) ніж просто рівняння (12.1.4). Однак, оскільки ми можемо стверджувати, що рівняння (12.1.4) завжди повинно триматися для синусоїдальної хвилі, ми насправді виявили, що ланцюг мас і пружин на малюнку\(\PageIndex{1}\) підтримуватиме синусоїдальну хвилю за умови, що швидкість хвилі залежить від довжини хвилі, як того вимагає Eqs. (12.1.4) і (\ ref {еква:12.26}):
\[ c=\lambda f=\sqrt{\frac{k}{m}} \frac{\lambda}{\pi} \sin \left(\frac{\pi d}{\lambda}\right) \label{eq:12.27} .\]
Це приклад явища, званого дисперсією: синусоїдальні хвилі різної частоти (або довжини хвиль) мають різні швидкості. Одна річ, яка трапляється при наявності дисперсії, полягає в тому, що, хоча одна (нескінченна), синусоїдальна хвиля може подорожувати, не змінюючи своєї форми (за умови\(f\) та\(\lambda\) задовольняє рівняння (\ ref {eq:12.26})), загальний імпульс буде спотворений, коли він поширюється через середовище, часто так сильно.
Однак у межі довгих хвиль дисперсія в цій моделі зникає. Ми можемо побачити це наступним чином. У цій межі\(\lambda \gg d\) (довжина хвилі набагато більша за відстань між масами), і, отже\(\pi d / \lambda \ll 1\), ми можемо зробити малокутове наближення в рівнянні (\ ref {eq:12.27})\(\sin (\pi d / \lambda) \simeq \pi d / \lambda\), і в кінцевому підсумку
\[ c \simeq d \sqrt{\frac{k}{m}} \label{eq:12.28} .\]
Це загального вигляду\(\sqrt{\text { stiffness/inertia }}\) (згідно з рівнянням (12.1.10)). В основному, в довгохвильовій межі середовище виглядає однорідним до хвилі - воно не може «сказати», що це ланцюг дискретних частинок. Якщо врахувати, що все, що виглядає однорідним в макроскопічному масштабі, насправді складається з дискретних атомів або молекул на мікроскопічному рівні, ви можете побачити, що ця модель, можливо, не така штучна, як може здатися, і що взагалі слід, по суті, очікувати, що якийсь дисперсії відбудеться в будь-яке середовище, на досить малих довжині хвиль.