12.5: Приклади

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74711

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\): Зсув і щільність/тиск у поздовжній хвилі

На малюнку нижче показано зміщення середовища (скажімо, повітря), коли звуковий імпульс проходить через неї. (Не хвилюйтеся про одиниці на осях прямо зараз! Нас тут цікавлять тільки якісні результати.)

Намалюйте відповідний тиск (або щільність) імпульсу. Примітка: тиск і щільність знаходяться в фазі, тому один великий, де інший великий. У будь-якому випадку завжди побудована різниця між фактичним тиском або щільністю та середнім тиском (для повітря, атмосферного тиску) або щільністю середовища.
Якщо цей звуковий імпульс падає на воду, намалюйте відбитий імпульс, як у зміщенні, так і на графіку тиску/щільності.

Рішення

(а) Мета цього прикладу полягає в тому, щоб допомогти вдосконалити інтуїцію, яку ви, можливо, отримали з малюнка 12.1.3 щодо зв'язку між зміщенням та тиском/щільністю в поздовжній хвилі. Обговорюючи малюнок 12.1.3, я стверджував, що щільність повинна бути високою\(x = \pi\) в точці, як на цьому малюнку, тому що частинки зліва від цієї точки були висунуті вправо, а ті , що праворуч, були висунуті вліво. Однак подібний аргумент можна зробити, щоб показати, що щільність повинна бути вище її рівноваги значення, коли крива зміщення має негативний нахил, загалом.

Наприклад, розглянемо пункт\(x\) = 1 на малюнку вище. Частинки як ліворуч , так і праворуч від цієї точки штовхаються вправо (позитивне зміщення), але зміщення більше для тих, що знаходяться зліва, що призведе до згортання при\(x\) = 1.

І навпаки, якщо ви подивитеся на точку з позитивним нахилом, наприклад,\(x\) = 0, ви побачите, що частинки праворуч відсуваються далі вправо, ніж частинки зліва , а це означає, що щільність навколо\(x\) = 0 знизиться.

З цього можна зробити висновок, що графік щільності та положення буде дещо схожий на негатив похідної від\(\xi\) -vs. -\(x\) графік: позитивний при\(\xi\) падінні, негативний, коли він піднімається, і нуль у «поворотних точках» (максимуми або мінімуми\(\xi(x)\)). Це, по суті, математично вірно, і проілюстровано на малюнку нижче.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Ілюстрація залежності між зміщенням (синя крива) і тиском/щільністю (червоний) у поздовжній хвилі. Пунктирні лінії відокремлюють області, де тиск (або щільність) позитивне (вище, ніж при відсутності хвилі) від тих, де воно негативне.

(b) Якщо ця звукова хвиля падає з повітря у воду, це означає, що вона переходить від низького імпедансу до середовища високого імпедансу (як щільність, так і швидкість звуку набагато більші у воді, ніж у повітрі, даючи набагато більше\(Z = c\rho_0\); див Рівняння (12.1.15) для визначення імпедансу). Це означає, що відбитий імпульс зміщення буде перевертатися догори дном, а також зліва направо (див. Малюнок на наступній сторінці). Це просто (за винятком масштабу, який тут довільний), як нижня частина малюнка 12.1.4.

Однак, якщо ви зараз спробуєте з'ясувати форму хвилі щільності/тиску на основі хвилі зміщення, як ми це робили частково (а), ви побачите, що вона лише повернута зліва направо, але не перевертається догори дном! Це загальна властивість поздовжніх хвиль: відбита хвиля тиску/щільності поводиться абсолютно протилежно, як хвиля зміщення, що стосується перевернутого «фліпа»: вона перевертається при переході від високого імпедансу до низького імпедансу, а не при переході від низького до високий.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Як виглядав би хвильовий пульс на попередньому малюнку, якщо відображений від високоімпедансного середовища. Хвиля зсуву перевертається зліва направо і перевертається догори дном. Хвиля тиску/щільності змінюється лише зліва направо.

Якщо вам цікаво побачити, як це відбувається математично, ідея полягає в тому, що хвиля щільності пропорційна\(−d\xi /dx\), а відбита хвиля зміщення йде так\(\xi_{refl} = −\xi_{inc}(−x)\), де перший знак мінус дає вертикальний фліп, а другий - горизонтальний. Беручи похідну від цього останнього виразу щодо\(x\) потім видаляє знак мінус попереду.

Приклад\(\PageIndex{1}\): violin sounds

«Довжина звучання» струни скрипки, від моста до гайки на верхньому кінці грифа, становить близько 32 см.

Якщо струна налаштована так, щоб її основна частота відповідала концерту A (440 Гц), яка швидкість хвилі на цій струні?
Якщо щільність струни дорівнює 0,66 г/м (зверніть увагу: «g» означає «grams»!) , Що таке натяг на струні?
При відтворенні струни її вібрація передається через міст на скрипичні пластини. На якій частоті будуть вібрувати пластини?
Вібрація пластин потім налаштовує звукову хвилю в повітрі. Яка довжина хвилі цієї хвилі?

Рішення

(а) У розділі 12.2 ми побачили, що основна частота рядка, зафіксована на обох кінцях, є\(f_1 = c/2L\) (відповідає рівнянню (12.2.3) з\(n\) = 1). Встановивши це рівним 440 Гц, і вирішуючи для \(c\),

\ [c=2 L f_ {1} =2\ раз (0.32\: \ mathrm {m})\ час 440\:\ математика {s} ^ {-1} =282\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ nonnumber\]

(b) З розділу 12.1 ми маємо, що швидкість хвилі на струні дорівнює \(c = \sqrt{F^t/ \mu}\), де\(F^t\) натяг і маса \(\mu\) на одиницю довжини (Рівняння (12.1.11). Рішення для\(F^t\),

\ [F^ {t} =c^ {2}\ mu=\ ліворуч (282 \:\ frac {\ mathrm {m}}}\ праворуч) ^ {2}\ раз 6,6\ раз 10^ {-4} \:\ frac {\ mathrm {kg}} {\ mathrm {m}} =52.5\ mathrm {N} \ номер\]

(в) Пластини будуть вібрувати з тією ж частотою, що і струна, 440 Гц, так як вони приводяться в рух струни.

(d) Основним співвідношенням, яке слід використовувати тут, є рівняння (12.1.4) \(f = c/ \lambda\), яке ми можемо вирішити\(c\),\(\lambda\) якщо ми знаємо, швидкість звуку в повітрі. У розділі 12.1 було зазначено, що швидкість звуку в повітрі становить близько 340 м/с, тому ми маємо

\ [\ лямбда=\ frac {c} {f} =\ frac {340\:\ математика {m}/ \ математика {s}} {440\:\ математика {s} ^ {-1}} =0.77\:\ математика {m}\ nonumber \]