4.4: Приклади

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74595

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\): Графік зіткнень переглянуто

Подивіться ще раз на графік зіткнення з Прикладу 3.5.1 з точки зору кінетичної енергії двох візків.

Що таке початкова кінетична енергія системи?
Скільки з цього знаходиться в центрі руху маси, і скільки це кабріолет?
Чи перетворюється кінетична енергія йде до нуля в якийсь момент під час зіткнення? Якщо так, то коли? Чи повністю він відновлений після зіткнення закінчився?
Що це за зіткнення? (Еластичний, нееластичний і т.д.) Що таке коефіцієнт реституції?

Рішення

(a) Від рішення до прикладу 3.5.1 ми знаємо, що

\ begin {вирівняний}
v_ {1 i} =&-1\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ математика {s}} & v_ {2 i} =0,5\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\
v_ {1 f} =&1\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} & v_ {2 f} =-0.5\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}
\ кінець {вирівняний}

а\(m_1\) = 1 кг і\(m_2\) = 2 кг. Отже, початкова кінетична енергія

\ [K_ {s y s, i} =\ frac {1} {2} m_ {1} v_ {1 i} ^ {2} +\ frac {1} {2} m_ {2} v_ {2} ^ {2} =0.5\: \ mathrm {J} +0,25\:\ математика {J} =0,75\:\ математика {J}\ мітка {еква:4.17} \]

(b) Для обчислення\ (K_ {cm} = \ frac {1} {2} (m_1 + m_2) v^2_ {см}\) нам знадобиться\(v_{cm}\), який в даному випадку дорівнює

\ [v_ {c m} =\ розрив {m_ {1} v_ {1 i} +m_ {2} v_ {2}} {m_ {1} +m_ {2}} =\ frac {-1+2\ раз 0.5} {3} =0 \ nonumber\]

so\(K_{cm}\) = 0, що означає, що вся кінетична енергія конвертована. Ми також можемо обчислити, що безпосередньо:

\ [K_ {\ текст {conv}, i} =\ frac {1} {2}\ му v_ {12, i} ^ {2} =\ frac {1}\ лівий (\ frac {1\ times 2} {1+2}\:\ mathrm {кг}\ вправо)\ раз\ ліво (0.5\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ математика {s}} - (-1)\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ математика {s}}\ права) ^ {2} =\ frac {1.5^ {2}} {3}\: \ математика {M} =0.75\:\ матрм {J}\ етикетка {ea:4.18}\]

(c) Якщо ми подивимось на малюнок 3.5.1, то можна побачити, що візки не проходять один через одного, тому їх відносна швидкість повинна бути нульовою в якийсь момент, а разом з цим і конвертована енергія. Насправді, цифра дає зрозуміти, що обидва\(v_1\) і\(v_2\) є нулем при \(t\) = 5 с, так що в цей момент також\(v_{12}\) = 0, а конвертована енергія\(K_{conv}\) = 0. (І так загальна \(K_{sys}\) = 0 в той час, так як\(K_{cm}\) = 0 протягом усього.)

З іншого боку, також зрозуміло, що\(K_{conv}\) повністю відновлюється після того, як зіткнення закінчилося, оскільки відносна швидкість просто змінюється знаком:

\ begin {масив}
{l} {v_ {12, i} =v_ {2 i} -v_ {1 i} =0.5 \:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm}} { \ mathrm}} {\ mathrm}} =1.5\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ математика {s}}}\\ {v_
{12, f} =v_ {2 f} -v_ {1 f} =-0.5\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} -1 \:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} =-1.5\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ мітка {еква:4.19}
\ кінець {масив}

Тому

\ [K_ {\ текст {conv}, f} =\ frac {1} {2}\ му v_ {12, f} ^ {2} =\ frac {1} {2}\ му v_ {12, i} ^ {2} =K_ {\ текст {conv}, i}\ nonumber\]

(d) Оскільки загальна кінетична енергія (яка в даному випадку є лише конвертованою енергією) повністю відновлюється, коли зіткнення закінчується, зіткнення є еластичним. Використовуючи рівняння (\ ref {eq:4.19}), ми бачимо, що коефіцієнт реституції дорівнює

\ [e=-\ гідророзриву {v_ {12, f}} {v_ {12, i}} =-\ розрив {-1.5} {1.5} =1\ nonumber\]

як і належить.

Приклад\(\PageIndex{2}\): Нееластичне зіткнення та вибухове поділ

Проаналізуйте приклад 3.5.2 з точки зору кінетичної енергії системи. Зокрема, дайте відповідь на наступні питання:

Яка загальна кінетична енергія системи (i) до зіткнення гравців, (ii) відразу після зіткнення, коли вони тримаються один за одного, і (iii) після того, як вони відокремлюються. Скільки цієї енергії є поступальною ( тобто кінетичною енергією центру маси), і скільки конвертована?
Відповідь на ті ж питання з точки зору гравця, який катається на постійній 1,5 м/с вправо (гравець 3) (Щоб уникнути зайвого повторення, ви можете використовувати вже встановлені результати, такі як збереження імпульсу.)

Рішення

(а) Перед тим, як гравці зіткнуться, у нас є

\ [K_ {s y s, i} =\ розрив {1} {2} m_ {1} v_ {1 i} ^ {2} +\ frac {1} {2} m_ {2} v_ {2} ^ {2} =\ frac {1} {2} (80\: \ матхрм {кг})\ раз\ ліво (3\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ праворуч) ^ {2} +\ frac {1} {2} (90\: \ mathrm {kg})\ раз\ ліворуч (-2 \:\ frac {\ mathrm {m}}}\ праворуч) ^ {2} =540\:\ mathrm {M}} \ етикетка {еква:4.20}. \]

Поки вони все ще тримаються один за одного, ми знаємо з рішення до Прикладу 3.5.2, що їх спільна швидкість становить 0.353, і що це також має бути швидкість їх центру маси, яка незмінна при зіткненні. Отже, у нас є

\ [K_ {c m} =\ frac {1} {2}\ ліворуч (m_ {1} +m_ {2}\ праворуч) v_ {c m} ^ {2} =\ frac {1} {2} (170 \:\ матхрм {кг})\ ліворуч (0.353\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ праворуч) ^ {2} =10.6\:\ mathrm {J} \ мітка {ев:4.21}.\]

Це відбувається\(K_{cm}\) протягом усього, а також\(K_{sys}\) відразу після зіткнення, оскільки зіткнення абсолютно нееластичне, а це означає, що\(K_{conv}\) падає до нуля. Крім того, віднімання цього з (\ ref {eq:4.20}) дасть нам початкове значення конвертованої енергії, без необхідності окремого розрахунку, тому

\ [K_ {c o n v, i} =K_ {s y s, i} -K_ {c m} =540\:\ математика {J} -10.6\:\ математика {J} =529.4\:\ математика {J} \ simeq 529\:\ математика {J}\ етикетка {ев:4.22}\]

Після поділу нова сумарна кінетична енергія (для якої я буду використовувати індекс f) дорівнює

\ [K_ {s y s, i} =\ розрив {1} {2} m_ {1} v_ {1 f} ^ {2} +\ frac {1} {2} m_ {2} v_ {2} ^ {2} =\ frac {1} {2} (80\:\ матхрм {кг})\ раз \ ліво (-0.176\ frac {2} c {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ праворуч) ^ {2} +\ frac {1} {2} (90\:\ матрм {кг})\ раз \ ліворуч (0.824\:\ frac {\ mathrm {m}}}\ праворуч) ^ {2} =31.8\: \ матрм {s}}\ праворуч) ^ {2} =31.8\:\ математика m {J} \ мітка { екв:4.23}\]

де я отримав значення для \(v_{1f}\) і\(v_{2f}\) від рішення до частини (d) Прикладу 3.5.2. Віднімання\(K_{cm}\) з цього дасть нам остаточне значення конвертованої енергії:

\ [K_ {\ текст {conv}, f} =K_ {\ текст {sys, f}} -K_ {c m} =31.8\:\ математика {J} -10.6\:\ математика {J} =21.2\: \ математика {J}\ етикетка {ев:4.24}\]

Підсумовуючи, то у нас є:

Перед зіткненням:\ [K_ {s y s, i} =540\:\ mathrm {J}, \ квадрат K_ {c m} =10.6\:\ mathrm {J},\ quad K_ {c o n v, i} =529.4\:\ mathrm {J}\ nonumber\]
Відразу після зіткнення (гравці все ще тримаються один за одного):\ [K_ {s y s} =K_ {c m} =10.6\:\ mathrm {J},\ quad K_ {c o n v} =0\ nonumber\]
Після (вибухового) поділу:\ [K_ {s y s, f} =31.8\: \ mathrm {J},\ квадрат K_ {c m} =10.6\:\ mathrm {J},\ quad K_ {c o n v, i} =21.2\:\ mathrm {J}\ nonumber\]

Так, при зіткненні приблизно 529 Дж кінетичної енергії «зникло» з системи (або, можна сказати, були « перетворені в якусь форму внутрішньої енергії»), тоді як натискання гравців один на одного вдалося повернути в систему близько 21 Дж кінетичної енергії; ми будемо досліджувати ці види процесів більш детально в наступному розділі!

(б) Нам потрібно повторити всі перераховані вище розрахунки з усіма швидкостями, зміщеними вниз на 1,5 м/с, довести їх до опорного кадру гравця 3. Замість того, щоб ставити індекс «3» на всі величини, оскільки у нас вже є тонни індексів, про які слід турбуватися, я збираюся дотримуватися альтернативної конвенції та використовувати «простий» верхній індекс (\(^{\prime}\)) для позначення всіх величин у цій системі відліку. Якщо коротко, у нас є

\ [K_ {s y s, i} ^ {\ прайм} =\ розрив {1} {2} м_ {1}\ лівий (v_ {1 i} ^ {\ прайм}\ праворуч) ^ {2} +\ frac {1} {2}\ вліво (v_ {2 i} ^ {\ прайм}\ праворуч) ^ {2} =\ frac {1} {2} (80\:\ математика {кг}) \ раз\ ліворуч (1.5 \ frac {\ mathrm {m}}}\ mathrm {s}}\ праворуч) ^ {2} +\ frac {1} {2} (90\: \ матрм {кг})\ раз\ ліворуч (-3.5\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ математика {s}}\ праворуч) ^ {2} =641.3\:\ mathrm {J} \ мітка {ев:4.25}\]

\ [K_ {c m} ^ {\ правий} =\ розрив {1} {2}\ лівий (m_ {1} +m_ {2}\ праворуч)\ лівий (v_ {c m} ^ {\ правий}\ праворуч) ^ {2} =\ frac {1} {2} (170\:\ mathrm {кг})\ ліворуч (0.353 \\ frac\ математика {m}} {\ математика {s}} -1.5\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ математика {s}}\ право) ^ {2} =111.8\ матрм {J}\: \ етикетка {ев:4.26}\]

\ [K_ {\ текст {conv, i}} ^ {\ прайм} =K_ {s y s, i} ^ {\ прайм} -K_ {c m} ^ {\ прайм} =641.3\: \ матхрм {J} -111.8\:\ матхрм {J} =529.5\:\ математика {J}\ simeq 529\: \ матхрм {J}\ мітка {еква:4.27}\]

Це явно показує, що конвертована енергія, як я вже зазначав раніше в цьому розділі, однакова в кожній системі відліку! (Рівність точна, якщо ви зберігаєте достатню кількість десяткових знаків у обчисленні.)

Знаючи це, ми можемо спростити розрахунок кінцевої кінетичної енергії, після вибухового поділу: конвертована енергія\(K^{\prime}_{conv,f}\), буде такою ж, як і в земній системі відліку, тобто 21,2 Дж, а сумарна кінетична енергія буде\ (K^ {\ prime} _ {sys, f} = K^ {\ prime} _cm + К^ {\ прайм} _ {конв, ф}\) = 111,8 Дж +21,2 Дж = 133 Дж.

Отже, в цій системі відліку ми маємо (до трьох значущих цифр):

\ begin {вирівняний}
K_ {s y s, i} ^ {\ прайм} =641\:\ матхрм {J},\ квадрад K_ {c m} ^ {\ прайм} =112 \:\ mathrm {J},\ квад K_ {\ текст {conv, i}} ^ {\ прайм} =529\:\ mathrm {J} \ квад\ текст {(перед зіткненням)}\\
K_ {s y s} ^ {\ прайм} =K_ {c m} ^ {\ прайм} =112\:\ mathrm {J},\ квад K_ {c o n v} ^ {\\ прайм} =0\ quad &\ text {(відразу після зіткнення) }\\
K_ {s y s, f} ^ {\ прайм} =133\:\ матхрм {J},\ квад K_ {c m} ^ {\ прайм} =112 \:\ mathrm {J},\ квад K_ {c o n v, i} ^ {\ прайм} =21.2\: \ max thrm {J}\ quad &\ text {(після поділу)}
\ end {вирівняний}

Отже, незважаючи на те, що сумарна кінетична енергія різна в двох системах відліку, всі (інерційні) спостерігачі погодяться щодо кількості кінетичної енергії, «втраченої» при зіткненні, а також кількості кінетичної енергії, що повертається в систему шляхом натискання гравців один на одного.