4.2: «Конвертована» і «Поступальна» кінетична енергія

На малюнку\(\PageIndex{1}\) показано, як сумарна кінетична енергія змінюється з часом, для двох об'єктів, показаних зіткнутися на малюнку 4.1.1, в залежності від деталей зіткнення, а саме від величини\(e\). Три показані криві охоплюють пружний корпус,\(e\) = 1 (рис. 4.1.1), абсолютно нееластичний випадок,\(e\) = 0 (рис. 4.3), і нееластичний корпус з\(e\) = 0,6 малюнка 4.1.4. Нагадаємо, що сумарний імпульс зберігається у всіх трьох випадках.

Малюнок+4.1.4">4.1.4 відповідно.

Малюнок\(\PageIndex{1}\) показує, що найбільша втрата кінетичної енергії відбувається при абсолютно нееластичному зіткненні, яке, як ми побачимо через мить, насправді є загальним результатом. У цьому випадку цифра також показує, що не завжди можливо довести загальну кінетичну енергію до нуля, навіть тимчасово. Причина цього полягає в тому, що, якщо імпульс зберігається, швидкість центру маси не може змінюватися, тому, якщо центр маси рухався до зіткнення, він все одно повинен рухатися після цього; і, як згадувалося у вступі цієї глави, до тих пір, поки в системі є рух, її загальна кінетична енергія не може бути нулем.

Все це говорить про те, що повинна бути можливість розбити загальну кінетичну енергію системи на дві частини: одну частину, пов'язану з рухом центру маси, яка не може змінюватися при будь-якому зіткненні, що зберігає імпульс, і одну частину, пов'язану з відносним рухом частин, що складають систему. Ця друга частина незворотно зникне при абсолютно нееластичному зіткненні, тоді як вона відновить своє початкове значення при пружному зіткненні.

Спосіб побачити це математично, для системи з двох об'єктів з масами\(m_1\) і\(m_2\), полягає у введенні центру масової швидкості\(v_{cm}\) [Рівняння (3.3.3)]

\[ v_{c m}=\frac{m_{1} v_{1}+m_{2} v_{2}}{m_{1}+m_{2}} \nonumber \]

і відносну швидкість\(v_{12} = v_2 − v_1\) (Рівняння (4.1.3) вище), і спостерігаємо, що швидкості\(v_1\) і\(v_2\) можуть бути записані, відповідно, як

\ begin {вирівнювання}
&v_ {1} =v_ {c m} -\ розрив {m_ {2}} {m_ {1} +m_ {2}} v_ {12}\ номер\
&v_ {2} =v_ {c m} +\ frac {m_ {1}}} {m_ {1} +m_ {2}} v_ {12}}. \ етикетка {еква:4.10}
\ кінець {вирівнювання}

Підставляючи рівняння (\ ref {eq:4.10}) у вираз\(K_{sys} = \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2\), виявляється, що перехресні члени зникають, а все, що залишилося, є

\[ K_{s y s}=\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) v_{c m}^{2}+\frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}^{2}+m_{2} m_{1}^{2}}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}} v_{12}^{2} \nonumber .\]

Коефіцієнт of (\(m_1 + m_2\)) може бути скасований в останньому семестрі, а остаточний вираз набуває вигляду

\[ K_{s y s}=K_{c m}+K_{c o n v} \label{eq:4.11} \]

де центр кінетичної енергії маси (або поступальної енергії) - це якраз те, що було б, якби вся система була єдиною частинкою маси, що\(M = m_1 + m_2\) рухається в центрі масової швидкості:

\[ K_{c m}=\frac{1}{2} M v_{c m}^{2} \label{eq:4.12} \]

а «конвертована енергія»\(K_{conv}\) - це частина, пов'язана з відносним рухом, яка може бути змушена повністю зникнути при нееластичному зіткненні ³:

\[ K_{\text {conv}}=\frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{12}^{2}=\frac{1}{2} \mu v_{12}^{2} \label{eq:4.13} .\]

Останнє рівняння неявно визначає корисну величину, яку ми називаємо зменшеною масою системи з двох частинок, і позначимо\(µ\):

\[ \mu=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \label{eq:4.14} .\]

Рівняння (\ ref {eq:4.11}), з визначеннями (\ ref {eq:4.12}) і (\ ref {eq:4.13}), в значній мірі пояснює все, що ми бачимо на малюнку\(\PageIndex{1}\). Загальна кінетична енергія - це сума двох членів, перший з яких\(K_{cm}\), ніколи не може змінитися: вона, по суті, така ж постійна, як і сам сумарний імпульс, оскільки включає центр масової швидкості\(v_{cm}\), який пропорційний загальному імпульсу системи (рівняння відкликання (3.3.4 )). Термін, який може і дійсно змінюється, - це другий, конвертована енергія. Насправді, при звичайному зіткненні, при якому предмети не проходять один через одного, має бути хоча б момент часу, коли\(K_{conv}\) = 0. Це пов'язано з тим, що вона передбачає відносну швидкість, і оскільки відносна швидкість повинна змінюватися знак в якийсь момент (об'єкти спочатку збираються разом, але в кінцевому підсумку розсуваються), вона повинна бути нульовою в той час.

Це пояснює, чому всі криві на малюнку\(\PageIndex{1}\) мають однакове мінімальне значення (хоча вони можуть досягати його в різний час): це значення явно\(K_{cm}\) для системи (оскільки на той момент\(K_{conv}\) дорівнює нулю). Це однаково для всіх кривих, оскільки всі розглянуті системи мають однакову загальну масу та імпульс (як визначено початковими швидкостями) - ми просто обрали їх таким чином.

Оскільки\(K_{cm}\) не може змінитися для ізольованої системи, максимальна кінетична енергія, яка може бути втрачена при зіткненні в такій системі, є початковим значенням\(K_{conv}\), яке ми б позначили як\(K_{conv,i}\). Це, по суті, повністю втрачено при абсолютно нееластичному зіткненні, оскільки в цьому випадку\(v_{12,f}\) = 0, а Equation (\ ref {eq:4.13}) тоді дає\(K_{conv,f}\) = 0. Фактично, використовуючи Рівняння (4.1.9), ми можемо пов'язати кінцеве значення конвертованої енергії з її початковим значенням через коефіцієнт реституції:

\[ K_{\text {conv}, f}=\frac{1}{2} \mu v_{12, f}^{2}=\frac{1}{2} \mu e^{2} v_{12, i}^{2}=e^{2} K_{\text {conv}, i} \label{eq:4.15} .\]

Так, наприклад, при зіткненні з\(e\) = 0,6 кінцеве значення конвертованої енергії становило б лише в 0,36 рази більше початкового значення: 64% її було б «втрачено». (Це, однак, не те саме, що 64% від загальної початкової енергії, оскільки остання все ще включає\(K_{cm}\), що не змінюється.) Ми також можемо записати рівняння (\ ref {eq:4.15}) як

\[ \Delta K_{s y s}=\left(e^{2}-1\right) K_{c o n v, i}=\left(e^{2}-1\right) \frac{1}{2} \mu v_{12, i}^{2} \label{eq:4.16} \]

оскільки єдина можлива зміна\(K_{sys}\) повинна відбуватися від конвертованої енергії.

Хоча ми вивели декомпозицію (\ ref {eq:4.11}) для дуже обмеженої ситуації двох об'єктів, що рухаються в одному вимірі, основний результат цілком загальний: по-перше, все в деривації працює, якщо\(v_1\) і\(v_2\) замінюються векторами\(\vec v_1\) і\(\vec v_2\), отже, результати тримають у трьох вимірах, а також. По-друге, для системи з будь-якої кількості частинок ще можна записати\(K_{sys}\) як\(K_{cm}+\) інший термін, який залежить тільки від відносного руху всіх пар частинок. Ця «узагальнена конвертована енергія» або кінетична енергія відносного руху мала б вигляд

\[ K_{r e l}=\frac{1}{2} \mu_{12} v_{12}^{2}+\frac{1}{2} \mu_{13} v_{13}^{2}+\ldots+\frac{1}{2} \mu_{23} v_{23}^{2}+\ldots \nonumber \]

(у цьому виразі щось на зразок\(\mu_{23}\) означає зменшену масу, подібну до тієї, що в Рівнянні (\ ref {eq:4.14})\(m_3\), тільки для мас\(m_2\) і так далі).

Коли ми перейдемо до вивчення обертального руху, наприклад, ми побачимо, що загальна кінетична енергія розширеного жорсткого об'єкта може бути записана як\(K_{cm} + K_{rot}\), де\(K_{rot}\), обертальна кінетична енергія - це така ж річ, як і те, що ми називали тут «конвертованою енергією».

Все вищесказане досі залишає без відповіді питання про те, що відбувається з конвертованої енергією, яка втрачається при нееластичному зіткненні. Тільки те, що він перетворюється на? Відповіддю на це питання буде предметом наступної глави.

---

³ Хоча назва «конвертована енергія» має сенс у цьому контексті, це, наскільки я можу сказати, не є загальним вживанням. Я запозичив його з «Принципів і практики фізики» Мазура, але ви, мабуть, не повинні сподіватися знайти його в інших підручниках.

---

Кінетична енергія та імпульс у різних системах відліку

Раніше я неодноразово вказував, що весь рух є відносним, і тому, певною мірою, кінетична енергія та імпульс також повинні бути дещо відносними. Вагон у вантажному поїзді має великий імпульс щодо спостерігача на землі, але його імпульс щодо іншого вагона на тому ж поїзді дорівнює нулю, оскільки вони не рухаються відносно один одного. Те ж саме можна сказати і про його кінетичну енергію.

Загалом, якщо у вас система з сумарним імпульсом\(\vec p_{sys}\) і інерцією\(M\), її центр мас матиме швидкість\(\vec v_{cm} = \vec p_{sys}/M\). Тоді, якби ви рухалися вздовж системи зі швидкістю, рівною рівній\(\vec v_{cm}\), загальний імпульс системи щодо вас був би нулем. Якби система була твердим об'єктом, вона не «вдарила» вас, якщо ви встановили контакт; зіткнення не було б. Тут може допомогти подумати, наприклад, про заправку літаків у польоті: якщо швидкості двох літаків точно збігаються, вони можуть контактувати без будь-яких пошкоджень, так само, як якщо б вони були в стані спокою. Опорний кадр, що рухається в центрі масової швидкості системи, з цієї причини називається рамкою нульового імпульсу для системи, про яку йде мова.

Зрозуміло, що в такій системі відліку поступальна кінетична енергія системи\(K_{cm} = \frac{1}{2}Mv^2_{cm}\), теж буде дорівнює нулю (так як в тому кадрі центр мас взагалі не рухається). Однак відносний термін руху буде повністю не впливати на зміну системи відліку.\(K_{conv}\) Це тому, що, як ви вже могли помітити, для перетворення швидкостей з одного кадру відліку в інший ми просто додаємо або віднімаємо з усіх швидкостей відносну швидкість двох кадрів. Ця операція, однак, не змінить жодної з відносних швидкостей частин системи, так як це все відмінності для початку. Математично

\[ \left(v_{2}+v^{\prime}\right)-\left(v_{1}+v^{\prime}\right)=v_{2}-v_{1} \nonumber \]

незалежно від величини\(v^{\prime}\).

Отже, ми могли б назвати абсолютним (на відміну від «відносної») щодо конвертованої кінетичної енергії: вона однакова, вона матиме однакове значення для будь-якого спостерігача, незалежно від того, наскільки швидко або в якому напрямку спостерігач може рухатися відносно системи в цілому. Ми можемо розглядати це як внутрішню (тобто незалежну від спостерігача) властивість системи.