3.5: Приклади

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74603

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\): читання графа зіткнень

Графік показує зіткнення між двома візками (можливо, оснащеними магнітами, щоб вони відбивали один одного, перш ніж вони насправді торкнулися) на повітряній доріжці. Інерція (маса) візка 1 - 1 кг. Примітка: це позиція проти часового графіка!

Які початкові швидкості візків?
Які кінцеві швидкості візків?
Яка маса другого візка?
Повітряна доріжка здається рівною? Чому? (Підказка: чи показує графік будь-які докази прискорення для будь-якого візка, поза зоною зіткнення?)
Під час зіткнення прискорення першого візка позитивним чи негативним? Як щодо другої кошика? (Обґрунтуйте свої відповіді.)
Для системи, що складається з двох візків, який її початковий (сумарний) імпульс? Який його кінцевий імпульс?
Уявіть тепер, що один з магнітів зворотний, тому, коли вози стикаються, вони прилипають один до одного. Яким же тоді буде кінцевий імпульс системи? Якою була б його кінцева швидкість?

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Зіткнення між двома візками

Рішення

(а) Усі швидкості повинні бути розраховані шляхом вибору легкої прямої частини кожної кривої та обчислення

\ [v=\ frac {\ Дельта х} {\ Дельта т} \ nonumber\]

для відповідних інтервалів. Таким чином, один отримує

\ begin {вирівняний}
&v_ {1 i} =-1\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\
&v_ {2 i} =0.5\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}
\ кінець {вирівняний}

(б) Аналогічно, один отримує

\ begin {вирівняний}
&v_ {1 f} =1\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\
&v_ {2 f} =-0.5\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}
\ кінець {вирівняний}

\ почати {вирівняний}
&\ розрив {m_ {2}} {m_ {1}} =-\ гідророзриву {\ Дельта v_ {1}} {\ Дельта v_ {2}}\\
&\ розрив {m_ {2}} {m_ {1}} =-\ розрив {1- (-1)} {-0.5-0.5} =2
\ кінець {1}}

так маса другої візки становить 2 кг.

(d) Так, трек здається рівним, оскільки візки не показують жодних доказів прискорення за межами області зіткнення (криві положення проти часу є прямими лініями за межами області, приблизно заданої 4,5 с\(t\) < 5,5 с).

(е) Прискорення першого візка позитивне. Ви можете бачити це або графічно (крива схожа на параболу, яка відкривається вгору, тобто увігнута), або алгебраїчно (швидкість візка збільшується, переходячи від −1 м/с до 1 м/с)

Аналогічно і прискорення другої візки негативне. Крива схожа на параболу, яка відкривається вниз, тобто опукла; або, алгебраїчно, швидкість візка зменшується, рухаючись від 0,5 м/с до −0,5 м/с.

(f) Початковий імпульс системи

\ [p_ {i} =m_ {1} v_ {1 i} +m_ {2} v_ {2 i} =( 1\:\ математика {кг})\ раз\ вліво (-1\:\ frac { \ mathrm {m}}} {\ mathrm {s}}\ праворуч) + (2\:\ mathrm {кг}) \ раз\ ліворуч (0.5\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ праворуч) =0\ номер \]

Кінцевий імпульс

\ [p_ {f} =m_ {1} v_ {1 f} +m_ {2} v_ {2 f} =( 1\:\ математика {кг})\ раз\ вліво (1\:\ frac { \ mathrm {m}}} {\ mathrm {s}}\ праворуч) + (2\:\ mathrm {kg}) \ раз\ ліворуч (-0.5\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ праворуч) =0 \ номер\]

Можна також просто сказати, що кінцевий імпульс повинен бути таким же, як і початковий імпульс, оскільки система, здається, ізольована.

(g) Імпульс повинен бути збережений і в цьому випадку, так що\(p_f\) = 0. Швидкість була б

\[ v_{f}=\frac{p_{f}}{m_{1}+m_{2}}=0 \nonumber .\]

Приклад\(\PageIndex{2}\): зіткнення в різних опорних кадрах, центрі маси та віддачі

80-кг хокеїст (називайте його гравцем 1), рухаючись зі швидкістю 3 м/с вправо, стикається з 90-кг гравцем (гравець 2), який рухався зі швидкістю 2 м/с вліво. На короткий момент вони склеюються, ковзаючи разом, коли вони хапаються один за одного.

Яка їхня швидкість суглоба, коли вони ковзають разом?
Якою була швидкість їх центру мас до і після зіткнення?
Як виглядає зіткнення з іншим гравцем, який катався спочатку на 1,5 м/с праворуч? Дайте всі початкові та кінцеві швидкості, як бачить цей гравець, і явно покажіть, що імпульс також зберігається в системі відліку цього гравця.
Зрештою, 90-кг гравцеві вдається відсунути іншого назад, таким чином, що гравець 1 (гравець 80 кг) закінчується рухатися зі швидкістю 1 м/с вліво відносно гравця 2. Які їх кінцеві швидкості в земній системі відліку?

Рішення

(а) Викликати початкові швидкості \(v_{1i}\) і\(v_{2i}\), спільну кінцеву швидкість\(v_f\), і припустити, що два гравці є ізольованою системою для практичних цілей. Тоді збереження імпульсу читає

\ [m_ {1} v_ {1 i} +m_ {2} v_ {2 i} =\ ліворуч (m_ {1} +m_ {2}\ праворуч) v_ {f}\ етикетка {еква:3.13}.\]

Вирішуючи для кінцевої швидкості, отримуємо

\ [v_ {f} =\ розрив {m_ {1} v_ {1 i} +m_ {2} v_ {2}} {m_ {1} +m_ {2}}\ етикетка {еква:3.14}.\]

Підставивши задані значення, отримуємо

\ [v_ {f} =\ frac {80\ раз 3-90\ раз 2} {170} =0.353\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ мітка {еква:3.15} .\]

(b) Відповідно до Рівняння (3.3.3), швидкість центру маси, точно така ж\(v_{cm}\), як і ми щойно обчислили (Equation\ ref {eq:3.14}) вище). Це має сенс: після зіткнення, якщо гравці рухаються разом, центр маси їх системи повинен рухатися разом з ними. Також, якщо система ізольована, центр масової швидкості повинен бути однаковим до і після зіткнення. Отже, відповідь\(v_{cm}\) = \(v_f\) = 0,353 м/с.

(c) Дозвольте мені називати цього третього гравця «гравцем 3" і ввести індекс «3» для позначення кількості, як видно в його системі відліку. Нехай також індекс «\(E\)» позначає початковий, «Земля» опорний кадр. З Рівняння (1.3.6) ми маємо тоді (наприклад, для гравця 1)

\ [v_ {31} =v_ {3 Е} +v_ {E 1} =v_ {E 1} -v_ {E 3}\ мітка {еква:3.16}\]

тому що\(v_{3E}\), «швидкість Землі в системі відліку гравця 3» явно дорівнює \(−v_{E3}\), негативної швидкості гравця 3 щодо Землі. В принципі, те, що говорить Equation (\ ref {eq:3.16}), полягає в тому, що для перетворення всіх швидкостей кадру Землі в систему відліку гравця 3 нам просто потрібно відняти від них 1,5 м/с. Це дає нам

\ [\ begin {вирівнювання}
v_ {31, i} &=3\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} -1.5\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} =1.5\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} \ nonumber\\
v_ {32, i} &=-2\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ математика {s}} -1.5\: \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} =-3.5\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ математика {s}} \ номер\\
v_ {31, f} =v_ {32, f} &=0.353\:\ frac { \ mathrm {m}} {\ mathrm}} -1.5\:\ frac { \ mathrm {m}} {\ математика {s}} =-1.147\:\ frac { \ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ мітка {еква:3.17}
\ кінець {вирівнювання}\]

Тоді загальний початковий імпульс у 3 еталонному кадрі гравця

\ [p_ {s y s, i} =m_ {1} v_ {31, i} +m_ {2} v_ {32, i} =80\ раз 1,5+90\ раз (-3.5) =-195 \ frac {\ mathrm {kg}\ cdot\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ етикетка {eq:3.18} \

і кінцевий імпульс

\ [p_ {\ текст {sys}, f} =\ лівий (m_ {1} +m_ {2}\ праворуч) v_ {31, f} =170\ раз (-1.147) =-195\: \ frac {\ mathrm {kg}\ cdot\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ етикетка {eq:3.19} \]

Таким чином, загальний імпульс зберігається в опорному кадрі гравця 3. Причина цього в тому, що це інерційний відліковий кадр, тому що швидкість гравця 3 не змінюється.

(d) Для цієї частини проблеми ми повертаємося до вихідної системи відліку ( референс-кадр Землі), і ми можемо скинути\(E\) індекс «». Для цього нового процесу кінцеві швидкості від частини (а) стають початковими швидкостями, тому ми маємо\(v_{1i}\) =\(v_{2i}\) = 0,353 м/с. [Примітка: альтернативно, оскільки система ізольована по всьому, в цьому випадку було б нормально використовувати швидкості перед зіткненням до обчислити його сумарний імпульс, який також потрібно зберегти в цьому процесі.] Нам також кажуть, що кінцева швидкість гравця 1 відносно гравця 2 дорівнює\(v_{21,f}\) =\ (v_ {1f} − v_ {2f}\) = −1 м/с, тому нам потрібно вирішити два рівняння:

\ [\ почати {вирівняти}
\ ліворуч (m_ {1} +m_ {2}\ праворуч)\ раз\ ліво (0.353 \:\ frac {\ mathrm {m}}} {\ mathrm}}\ праворуч) &=m_ {1} v_ {1 f} +m_ {2} v_ {2 f}\ quad\ text {збереження імпульсу}\ число\\
v_ {1 f} -v_ {2 f} &=-1\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} \ квадрат (\ текст {остаточний відносна швидкість})\ мітка {eq:3.20}
\ end {вирівнювання}\]

Залишаючи осторонь одиниці на даний момент, щоб зробити рівняння більш читабельними (кінцеві одиниці будуть працювати, якщо ми переконаємось використовувати одиниці СІ весь час), ми маємо:

\ [\ почати {вирівняти}
(80+90)\ раз 0,353 &=80 v_ {1 f} +90 v_ {2 f}\\
v_ {1 f} &=v_ {2 f} -1\ мітка {еква:3.21}
\ кінець {вирівняти}\]

Тепер підставляємо друге рівняння, яке я «вирішила» вже для\(v_{1f}\), в перше рівняння і вирішуйте для\(v_{2f}\). Результат\(v_{2f}\) = 0,824 м/с, що при підстановці назад в рівняння відносної швидкості дає\(v_{1f}\) = −0,176 м/с.