3.2: Імпульс

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74601

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Для об'єкта (інерційної) маси, що\(m\) рухається, в одному вимірі, зі швидкістю\(v\), ми визначаємо його імпульс як

\[ p = mv \label{eq:3.3} \]

(Вибір літери\(p\) для імпульсу, мабуть, пов'язаний з латинським словом «im p etus»).

Ми можемо думати про імпульс як свого роду продовження поняття інерції, від об'єкта в спокої до об'єкта в русі. Коли ми говоримо про інерцію об'єкта, ми зазвичай думаємо про те, що може знадобитися, щоб змусити його рухатися; коли ми говоримо про його імпульс, ми зазвичай думаємо про те, що може знадобитися, щоб зупинити його (або, можливо, відхилити його). Отже, у визначенні беруть участь як інерційна маса\(v\), так\(m\) і швидкість.

Ми також можемо спостерігати, що те, що виглядає як інерція в деякій системі відліку, може виглядати як імпульс в іншому. Наприклад, якщо ви їдете в машині, буксируючи причіп позаду вас, причіп має лише велику кількість інерції, але немає імпульсу, відносно вас, тому що його швидкість відносно вас дорівнює нулю; однак, причіп, безумовно, має велику кількість імпульсу (в силу як його інерційної маси, так і його швидкість) щодо когось, що стоїть на узбіччі дороги.

Збереження імпульсу; ізольовані системи

Для системи об'єктів ми розглядаємо імпульс як адитивну величину. Отже, якщо два стикаються об'єкти, мас\(m_1\) і\(m_2\), мають початкові швидкості\(v_{1i}\) і\(v_{2i}\), ми говоримо, що загальний початковий імпульс системи є\(p_i = m_1v_{1i} + m_2v_{2i}\), і аналогічно, якщо кінцеві швидкості є\(v_{1f}\) і\(v_{2f}\), загальний кінцевий імпульс буде\(p_f = m_1v_{1f} + m_2v_{2f}\).

Потім ми стверджуємо, що сумарний імпульс системи не змінюється зіткненням. Математично це означає

\[ p_{i}=p_{f} \label{eq:3.4} \]

або

\[ m_{1} v_{1 i}+m_{2} v_{2 i}=m_{1} v_{1 f}+m_{2} v_{2 f} \label{eq:3.5} .\]

Але це останнє рівняння, насправді, випливає безпосередньо з Рівняння (3.1.2): щоб побачити це, перемістіть всі величини в Рівнянні (\ ref {eq:3.5}), що мають відношення до об'єкта 1 на одну сторону знака рівності, а ті, що мають відношення до об'єкта 2 на іншу сторону. Ви тоді отримаєте

\ [\ почати {вирівняти}
м_ {1}\ ліворуч (v_ {1 i} -v_ {1 f}\ праворуч) &=m_ {2}\ ліворуч (v_ {2 f} -v_ {2}\ праворуч)\ nonumber\\
-m_ {1}\ Delta v_ {1} &=m_ {2}\ Delta v_ {2}\ Delta v_ {2}
\ End}\ етикетка {еква:3.6}\]

який є просто ще одним способом написати рівняння (3.1.2). Отже, результат (3.1.2) забезпечує збереження сумарного імпульсу системи будь-яких двох взаємодіючих об'єктів («частинок») незалежно від форми, яку приймає взаємодія, до тих пір, поки на них не діють зовнішні сили.

Збереження імпульсу є одним з найважливіших принципів у всій фізиці, тому дозвольте мені взяти трохи часу, щоб пояснити, як ми тут потрапили, і докладніше про цей результат. По-перше, як я щойно згадував, ми більш-менш неявно припускали, що два взаємодіючі об'єкти утворюють ізольовану систему, під якою ми маємо на увазі, що на всьому протязі вони взаємодіють ні з чим іншим, як один з одним. (Аналогічно, зовнішніх сил, що діють на них, немає.)

Налаштувати систему так, щоб вона була дійсно ізольованою в цьому суворому сенсі, натомість на практиці ми погоджуємося на те, щоб зовнішні сили на двох об'єктах скасувалися. Це те, що відбувається на повітряних доріжках, з якими ви будете робити експерименти в цьому семестрі: гравітація діє на вози, але ця сила врівноважується вгору поштовхом повітря з доріжки. Система, на якій немає чистої зовнішньої сили, настільки ж хороша, як ізольована для практичних цілей, і ми будемо називати її такою. (Звичайно, складніше повністю виключити сили тертя і перетягування, тому нам залишається лише задовольнятися приблизно ізольованими системами на практиці.)

По-друге, ми припускали, що рух двох об'єктів обмежується прямою лінією - одним виміром. Насправді імпульс - це векторна величина (так само, як швидкість), тому загалом ми повинні писати

\[ \vec{p}=m \vec{v} \nonumber \]

і збереження імпульсу, загалом, тримає як векторне рівняння для будь-якої ізольованої системи в трьох вимірах:

\[ \vec{p}_{i}=\vec{p}_{f} \label{eq:3.7} .\]

Це означає, в свою чергу, що кожен окремий компонент (\(x\),\(y\) і\(z\)) імпульсу буде окремо збережений (так Equation (\ ref {eq:3.7}) еквівалентно трьом скалярним рівнянням у трьох вимірах). Коли ми вивчимо векторну природу сил, ми побачимо цікавий підтекст цього, а саме те, що можна зберегти один компонент вектора імпульсу, але не інший - залежно від того, існує чи немає чистої зовнішньої сили в цьому напрямку чи ні. Наприклад, трохи передбачаючи речі, коли ви кидаєте об'єкт горизонтально, до тих пір, поки ви можете ігнорувати перетягування повітря, немає горизонтальної сили, що діє на нього, і так що компонент вектора імпульсу зберігається, але вертикальна складова весь час змінюється через (вертикальну) силу тяжіння.

По-третє, хоча це може бути не відразу очевидним, для ізольованої системи з двох стикаються об'єктів імпульс дійсно зберігається протягом усього процесу зіткнення. Справа не лише в порівнянні початкової та кінцевої швидкостей: у будь-який час, показаний на малюнках 3.1.1 до 3.1.3, якби ми вимірювали\(v_1\)\(v_2\) та обчислили\(m_1v_1 + m_2v_2\), ми отримали б той самий результат. Іншими словами, сумарний імпульс ізольованої системи постійний: він має однакове значення в усі часи.

Нарешті, всі ці приклади передбачали взаємодію лише між двома частинками. Чи можемо ми дійсно узагальнити це, щоб зробити висновок, що сумарний імпульс ізольованої системи будь-якої кількості частинок є постійним, навіть коли всі частинки можуть взаємодіяти один з одним одночасно? Тут, знову ж таки, експериментальні докази в переважній більшості виступають на користь цієї гіпотези ⁴, але значна частина нашої впевненості в її обґрунтованості насправді походить від розгляду природи самих внутрішніх взаємодій. Це математичний факт, що всі досі відомі фізиці взаємодії мають властивість зберігати імпульс, незалежно від того, чи діють окремо чи одночасно. Ніякі експерименти ніколи не припускали існування взаємодії, яка не володіє цією властивістю.

⁴ Для важливого непрямого доказу просто врахуйте, що будь-який розширений об'єкт насправді є сукупністю взаємодіючих частинок, і експерименти, що встановлюють збереження імпульсу, майже завжди включають такі розширені об'єкти. Дивіться наступний розділ для подальших роздумів з цього питання.