3.1: Інерція

Last updated
Save as PDF

Page ID: 74600

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У повсякденній мові ми говоримо про щось або когось «має велику інерцію», щоб означати, по суті, що їх дуже важко привести в рух. Це використання слова «інерція» узгоджується з «законом інерції», який ми ввели в попередньому розділі (який, серед іншого, стверджує, що об'єкт у спокої, якщо його залишити собі, просто залишиться в спокої), але він виходить трохи за рамки цього, намагаючись кількісно оцінити, наскільки важко отримати об'єкт рухатися.

З досвіду ми знаємо, що легші об'єкти легше приводити в рух, ніж важчі предмети, але більшість з нас, мабуть, мають інтуїцію, що гравітація (сила, яка тягне об'єкт до землі і, отже, визначає його вагу) тут не бере участі в істотному шляху. Уявіть собі, наприклад, різницю між ляпасом волейболу та м'ячем для боулінгу. Не важко повірити, що останнє зашкодило б стільки ж, якби ми зробили це під час плавання у вільному падінні на космічній станції (в стані ефективної «невагомості»), ніби ми зробили це прямо тут, на поверхні землі. Іншими словами, це не (обов'язково) те, наскільки важке щось відчуває, а наскільки це масивно.

Але тільки що це за якість «масивності», яке ми інтуїтивно пов'язуємо з великою інерцією? Чи є спосіб (крім того, щоб знову вдаватися до ваги) привласнити йому числове значення?

Відносна інерція і зіткнення

Одним з можливих способів визначити відносні інерції двох об'єктів, концептуально, принаймні, є спроба використовувати один з них, щоб привести інший в рух. Більшість з нас знайомі з тим, що відбувається при зіткненні двох однакових об'єктів (імовірно, отже, мають однакову інерцію): якщо зіткнення лобове (так рух, до і після, обмежується прямою лінією), вони в основному обмінюються швидкостями. Наприклад, більярдна куля, що потрапила в інший, зупиниться мертвим, а другий відправиться з тією ж швидкістю, що і перший. Іграшка, яку іноді називають «кулі Ньютона» або «Колиска Ньютона», також показує цей ефект. Інтуїтивно ми розуміємо, що те, що потрібно для зупинки першого м'яча, точно таке ж, як і для того, щоб привести другий в рух з тією ж швидкістю.

Але що робити, якщо об'єкти, що стикаються, мають різну інерцію? Очікуємо, що зміна їх швидкостей в результаті зіткнення буде різним: швидкість об'єкта з найбільшою інерцією не дуже сильно зміниться, і навпаки, зміна швидкості об'єкта з найменшою інерцією буде порівняно більше. Графік швидкості та часу для двох об'єктів може виглядати дещо схожим на той, який намальований на малюнку\(\PageIndex{1}\).

Рисунок\(\PageIndex{1}\): Приклад графіка швидкості та часу для зіткнення двох об'єктів з різною інерцією.

На цій картині об'єкт 1, спочатку рухаючись зі швидкістю\(v_{1i}\) = 1 м/с, стикається з об'єктом 2, спочатку в стані спокою. Після зіткнення, яке тут вважається мілісекундою або близько того, об'єкт 1 фактично відскакує назад, тому його кінцева швидкість\(v_{1f}\) = −1/3 м/с, тоді як об'єкт 2 в кінцевому підсумку рухається вправо зі швидкістю\(v_{2f}\) = 2/3 м/с, отже, зміна швидкості об'єкта 1\(\Delta v_1 = v_{1f} −v_{1i}\) = −4/3 м/с, тоді як для об'єкта 2 маємо\(\Delta v_2 = v_{2f} − v_{2i}\) = 2/3 м/с.

Спокусливо використовувати це співвідношення\(\Delta v_1/ \Delta v_2\), як міру відносної інерції двох об'єктів, тільки ми хотіли б використовувати його догори ногами і з протилежним знаком: тобто, оскільки\(\Delta v_2/ \Delta v_1\) = −1/2 ми б сказали, що об'єкт 2 має вдвічі більшу інерцію об'єкта 1. Але тоді ми повинні запитати: чи це надійна, повторювана міра? Чи спрацює він для будь-якого виду зіткнення (в межах розумного, звичайно: нам явно потрібно залишатися в одному вимірі і виключити зовнішні впливи, такі як тертя), і для будь-якої початкової швидкості?

Для початку у нас є підстави очікувати, що не має значення, чи ми знімаємо об'єкт 1 до об'єкта 2 або об'єкт 2 до об'єкта 1, тому що ми дізналися в попередньому розділі, що можна виявити лише відносний рух, а відносний рух однаковий в обох випадках. Розглянемо, наприклад, як\(\PageIndex{1}\) виглядає зіткнення на малюнку гіпотетичного спостерігача, що рухається разом з об'єктом 1, зі швидкістю 1 м/с. Для нього об'єкт 1 здається в спокої, і саме об'єкт 2 йде до нього зі швидкістю −1 м/с, щоб побачити, як виглядає результат зіткнення йому, просто додайте ті самі −1 м/с до кінцевих швидкостей, які ми отримали раніше: об'єкт 1 в кінцевому підсумку рухатиметься зі швидкістю\(v_{1f}\) = −4/3 м/с, а об'єкт 2 рухатиметься зі швидкістю\(v_{2f}\) = −1/3 м/с, і у нас буде ситуація, подібна до тієї, яка показана на малюнку\(\PageIndex{2}\), де обидві криві просто були зрушені вниз на 1 м/с:

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Інший приклад (дійсно таке ж зіткнення\(\PageIndex{1}\), як на малюнку, тільки так, як бачить спостерігач спочатку рухається вправо зі швидкістю 1 м/с).

Але тоді, це саме те, що ми повинні очікувати знайти також у нашій лабораторії, якщо ми насправді відправили другий об'єкт на 1 м/с до першого сидячи в стані спокою. Всі окремі швидкості змінилися щодо малюнка\(\PageIndex{1}\), але швидкість змінюється, причому, явно все одно\(\Delta v_1\) і\(\Delta v_2\) те ж, і тому і наша (орієнтовна) міра відносної інерції об'єктів.

Зрозуміло, що один і той же аргумент можна використовувати для висновку, що той же результат буде отриманий, коли обидва об'єкти спочатку рухаються один до одного, якщо їх відносна швидкість така ж, як в цих прикладах, а саме 1 м/с Однак, якщо ми не проводимо експериментів, ми не можемо реально передбачити, що станеться, якщо ми збільшимо (або зменшимо) їх відносну швидкість. Насправді, ми могли собі уявити, що вони розбивають два об'єкти на дуже високій швидкості, тому вони можуть навіть стати серйозно спотвореними в процесі. І все ж експериментальним шляхом (а це зовсім не очевидний результат!) , ми все одно знайдемо те саме значення −1/2 для співвідношення\(\Delta v_2/ \Delta v_1\), принаймні до тих пір, поки зіткнення не настільки сильне, що об'єкти фактично розбиваються на шматки.

Мабуть, найдивовижнішим результатом наших експериментів було б наступне: уявіть, що предмети мають «липку» сторону (наприклад, маленькі чорні прямокутники, показані на картинках, можуть бути смужками липучок), і ми повертаємо їх так, щоб при зіткненні вони в кінцевому підсумку прилипли один до одного. У цьому випадку (який, як ми побачимо пізніше, називається абсолютно нееластичним зіткненням),\(v\) -vs-\(t\) графік може виглядати як малюнок\(\PageIndex{3}\) нижче.

Тепер два об'єкти в кінцевому підсумку рухаються разом вправо, досить повільно:\(v_{1f} = v_{2f}\) = 1/3 м/с Зміни швидкості\(\Delta v_1\) = −2/3 м/с і\(\Delta v_2\) = 1/3 м/с, обидва з яких відрізняються від того, що вони були раніше, на рис. \(\PageIndex{1}\)і\(\PageIndex{2}\): проте, співвідношення все одно\(\Delta v_2/ \Delta v_1\) дорівнює −1/2, як і у всіх попередніх випадках.

Малюнок\(\PageIndex{1}\) злипнувся, коли вони зіткнулися.

Інерційна маса: визначення та властивості

У цей момент, здавалося б, розумним припустити\(\Delta v_2/ \Delta v_1\), що це співвідношення, по суті, говорить нам щось про внутрішню властивість двох об'єктів, що ми назвали вище їх «відносної інерції». Тоді легко побачити, як можна було б привласнити значення інерції будь-якого об'єкта (принаймні, концептуально): вибрати «стандартний» об'єкт, і вирішити, довільно, що його інерція матиме числове значення 1, в яких одиницях ви для нього не виберете (ці одиниці вийдуть, по суті, кілограмами, як ви побачить через хвилину). Потім, щоб визначити інерцію іншого об'єкта, який ми позначимо індексом 1, просто організуйте одновимірне зіткнення між об'єктом 1 і стандартом, при правильних умовах (в основному, без чистих зовнішніх сил), виміряйте зміни швидкості\(\Delta v_1\) і\(\Delta v_s\), і візьміть величину \(−\Delta v_s/ \Delta v_1\)як числове значення відношення інерції об'єкта 1 до інерції стандартного об'єкта. У символах, використовуючи букву\(m\) для представлення інерції об'єкта,

\[ \frac{m_{1}}{m_{s}}=-\frac{\Delta v_{s}}{\Delta v_{1}} \label{eq:3.1} \]

Але, оскільки\(m_s\) = 1 за визначенням, це дає нам безпосередньо числове значення\(m_1\).

Причина, по якій ми використовуємо букву,\(m\) є, як ви вже здогадалися, тому що насправді інерція, визначена таким чином, виявляється ідентичною тому, що ми традиційно називали «масою». Точніше, величина, визначена таким чином, є інерційною масою об'єкта. Примітний факт, згаданий раніше, що сила тяжіння між двома об'єктами виявляється пропорційною їх інерційним масам, дозволяє визначити інерційну масу об'єкта більш традиційною процедурою простого його зважування, а не продумано постановки зіткнення між ним і стандартний кілограм на хокейному ковзанці. Але, в принципі, ми могли б уявити існування двох різних величин, які слід називати «інерційною масою» та «гравітаційною масою», а ідентичність (а точніше, - наскільки ми знаємо - точною пропорційністю) цих двох є досить загадковим експериментальним фактом ¹.

У будь-якому випадку, до того, як ми його побудували, інерційна маса, визначена як у Рівнянні (\ ref {eq:3.1}), кількісно захоплює концепцію, яку ми намагалися висловити на початку глави: а саме, наскільки важко може бути приведення об'єкта в рух. В принципі, однак, інші експерименти повинні бути проведені, щоб переконатися, що він має властивості, які ми традиційно асоціювали з концепцією маси. Наприклад, припустимо, що ми об'єднаємо разом два об'єкти маси\(m\). Маса одержуваного предмета\(2m\)? Експерименти з зіткненнями дійсно показали б, що це відбувається з великою точністю в макроскопічному світі (з яким ми стурбовані в цьому семестрі), але це хороший приклад того, як ви не можете сприймати нічого як належне: на мікроскопічному рівні це знову факт, що інерційна маса атомного ядра трохи менше суми мас всіх складових його протонів і нейтронів ².

Напевно, останнє, що потрібно було б перевірити, це те, що співвідношення інерцій не залежить від стандарту. Припустимо, що у нас є два об'єкти, яким ми призначили маси\(m_1\) і\(m_2\) шляхом організації для кожного зіткнення з «стандартним об'єктом» самостійно. Якщо ми зараз організуємо зіткнення між об'єктами 1 і 2 безпосередньо, чи дійсно ми виявимо, що відношення їх швидкісних змін задається відношенням окремо визначених мас\(m_1\) і\(m_2\)? Нам, звичайно, потрібно, щоб це було так, для того, щоб концепція інерції була справді корисною; але знову ж таки, ми не повинні нічого припускати, поки ми не перевіримо це! На щастя, тести дійсно виявили б, що в кожному випадку очікувані відносини тримають ³

\[ -\frac{\Delta v_{2}}{\Delta v_{1}}=\frac{m_{1}}{m_{2}} \label{eq:3.2} .\]

На даний момент ми не просто володіємо корисним визначенням інерції, а й справжнім законом природи, як я поясню далі.

¹ Цей факт, зведений в категорію принципу Ейнштейном (принцип еквівалентності), є відправною точкою загальної теорії відносності.
² І це не просто неважлива дрібниця: вся атомна енергетика залежить від цієї невеликої різниці.
³ Рівняння\ ref {eq:3.2} насправді виявляється також на мікроскопічному (або квантовому) рівні, хоча там ми вважаємо за краще констатувати результат, кажучи, що збереження імпульсу тримається (див. Наступний розділ).