Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.5: Приклади

  • Page ID
    74694
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Приклад\(\PageIndex{1}\): Рух з кусково-постійним прискоренням

    Побудувати положення проти часу, швидкості проти часу та прискорення проти часу для руху, описаного нижче. Для кожного з інтервалів (a) — (d) вам потрібно буде з'ясувати положення (висоту) і швидкість ракети на початку і кінці інтервалу, а також прискорення для інтервалу. Крім того, для інтервалу (b) потрібно з'ясувати максимальну висоту, досягнуту ракетою, і час, в яке вона відбувається. Для інтервалу (d) потрібно з'ясувати його тривалість, тобто час, в яке ракета вдаряється об землю.

    1. Ракета стріляється вгору, прискорюючись від спокою до кінцевої швидкості 20 м/с за 1 с, коли вона спалює своє паливо. (Розглядайте прискорення як постійне протягом цього інтервалу.)
    2. Від\(t\) = 1 с до\(t\) = 4 с, при вичерпаному паливі ракета летить під впливом сили тяжіння самостійно. У якийсь момент протягом цього часового інтервалу (потрібно з'ясувати, коли!) він перестає підніматися і починає падати.
    3. При\(t\) = 4 с парашут відкривається, раптово викликаючи вгору прискорення (знову ж таки, розглядайте його як постійне) тривалістю 1 с; в кінці цього інтервалу швидкість ракети становить 5 м/с вниз.
    4. Остання частина руху, з розгорнутим парашутом, відбувається з постійною швидкістю 5 м/с вниз, поки ракета не вдариться про землю.

    Рішення

    (а) Для цього першого інтервалу (для якого я буду використовувати індекс «1» протягом усього) у нас є

    \ [\ Дельта y_ {1} =\ розрив {1} {2} a_ {1}\ ліворуч (\ Дельта t_ {1}\ праворуч) ^ {2}\ label {eq:2.18}\]

    використовуючи Equation (2.2.6) для руху з постійним прискоренням з нульовою початковою швидкістю ( я використовую змінну\(y\) замість вертикальної\(x\) координати; це більш-менш звично, але, звичайно, я міг би використовувати так\(x\) само добре).

    Так як прискорення постійне, воно дорівнює його середньому значенню:

    \ [a_ {1} =\ frac {\ Дельта v} {\ Дельта т} =20\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s} ^ {2}}\ номер.\]

    Підставивши це в (\ ref {eq:2.18}), отримаємо висоту при\(t\) = 1 с дорівнює 10 м Швидкість в той час, звичайно, дорівнює\(v_{f1}\) = 20 м/с, як нам було сказано в постановці задачі.

    (б) Ця частина є вільним падінням з початковою швидкістю\(v_{i2}\) = 20 м/с Щоб дізнатися, наскільки високо піднімається ракета, використовуйте Рівняння (2.3.1) у вигляді\(v_{top} − v_{i2} = −g(t_{top} − t_{i2})\), при \(v_{top} = 0\) (при підйомі ракети її швидкість зменшується, і вона припиняє підніматися, коли її швидкість дорівнює нулю). Це дає нам \(t_{top}\) = 3,04 с як час, коли ракета досягає вершини своєї траєкторії, а потім починає спускатися вниз. Відповідне зміщення є, за рівнянням (2.3.2),

    \ [\ Дельта y_ {t o p} =v_ {i 2}\ ліворуч (t_ {t o p} -t_ {i 2}\ праворуч) -\ frac {1} {2} g\ ліворуч (t_ {t o p} -t_ {i 2}\ праворуч) ^ {2} =20.4\:\ mathrm {m}\ nonumber\]

    так максимальна висота, яку вона досягає, становить 30,4 м.

    Після закінчення повного 3-секундного інтервалу зміщення ракети становить

    \ [\ Дельта y_ {2} =v_ {i 2}\ Дельта t_ {2} -\ розрив {1} {2} г\ ліворуч (\ Дельта t_ {2}\ праворуч) ^ {2} =15.9\:\ mathrm {m} \ nonumber\]

    (Так його висота становить 25,9 м над землею), а кінцева швидкість дорівнює

    \ [v_ {f 2} =v_ {i 2} -g\ Дельта t_ {2} =-9.43\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ номер.\]

    (c) Прискорення для цієї частини дорівнює\((v_{f3} −v_{i3})/ \Delta t_3\) = (−5 + 9,43) /1 = 4,43 м/с 2. Зверніть увагу на позитивний знак. Зсув - це

    \ [\ Дельта y_ {3} =-9.43\ раз 1+\ frac {1} {2}\ раз 4.43\ раз 1^ {2} =-7.22\:\ mathrm {m} \ number\]

    отже кінцева висота дорівнює 25,9 − 7,21 = 18,7 м.

    (г) Це просто рух з постійною швидкістю для покриття 18,7 м при 5 м/с Час, який займає 3,74 с. Графіки цього руху наведені раніше в розділі, на малюнку 2.2.3.