2.5: Приклади
- Page ID
- 74694
Приклад\(\PageIndex{1}\): Рух з кусково-постійним прискоренням
Побудувати положення проти часу, швидкості проти часу та прискорення проти часу для руху, описаного нижче. Для кожного з інтервалів (a) — (d) вам потрібно буде з'ясувати положення (висоту) і швидкість ракети на початку і кінці інтервалу, а також прискорення для інтервалу. Крім того, для інтервалу (b) потрібно з'ясувати максимальну висоту, досягнуту ракетою, і час, в яке вона відбувається. Для інтервалу (d) потрібно з'ясувати його тривалість, тобто час, в яке ракета вдаряється об землю.
- Ракета стріляється вгору, прискорюючись від спокою до кінцевої швидкості 20 м/с за 1 с, коли вона спалює своє паливо. (Розглядайте прискорення як постійне протягом цього інтервалу.)
- Від\(t\) = 1 с до\(t\) = 4 с, при вичерпаному паливі ракета летить під впливом сили тяжіння самостійно. У якийсь момент протягом цього часового інтервалу (потрібно з'ясувати, коли!) він перестає підніматися і починає падати.
- При\(t\) = 4 с парашут відкривається, раптово викликаючи вгору прискорення (знову ж таки, розглядайте його як постійне) тривалістю 1 с; в кінці цього інтервалу швидкість ракети становить 5 м/с вниз.
- Остання частина руху, з розгорнутим парашутом, відбувається з постійною швидкістю 5 м/с вниз, поки ракета не вдариться про землю.
Рішення
(а) Для цього першого інтервалу (для якого я буду використовувати індекс «1» протягом усього) у нас є
\ [\ Дельта y_ {1} =\ розрив {1} {2} a_ {1}\ ліворуч (\ Дельта t_ {1}\ праворуч) ^ {2}\ label {eq:2.18}\]
використовуючи Equation (2.2.6) для руху з постійним прискоренням з нульовою початковою швидкістю ( я використовую змінну\(y\) замість вертикальної\(x\) координати; це більш-менш звично, але, звичайно, я міг би використовувати так\(x\) само добре).
Так як прискорення постійне, воно дорівнює його середньому значенню:
\ [a_ {1} =\ frac {\ Дельта v} {\ Дельта т} =20\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s} ^ {2}}\ номер.\]
Підставивши це в (\ ref {eq:2.18}), отримаємо висоту при\(t\) = 1 с дорівнює 10 м Швидкість в той час, звичайно, дорівнює\(v_{f1}\) = 20 м/с, як нам було сказано в постановці задачі.
(б) Ця частина є вільним падінням з початковою швидкістю\(v_{i2}\) = 20 м/с Щоб дізнатися, наскільки високо піднімається ракета, використовуйте Рівняння (2.3.1) у вигляді\(v_{top} − v_{i2} = −g(t_{top} − t_{i2})\), при \(v_{top} = 0\) (при підйомі ракети її швидкість зменшується, і вона припиняє підніматися, коли її швидкість дорівнює нулю). Це дає нам \(t_{top}\) = 3,04 с як час, коли ракета досягає вершини своєї траєкторії, а потім починає спускатися вниз. Відповідне зміщення є, за рівнянням (2.3.2),
\ [\ Дельта y_ {t o p} =v_ {i 2}\ ліворуч (t_ {t o p} -t_ {i 2}\ праворуч) -\ frac {1} {2} g\ ліворуч (t_ {t o p} -t_ {i 2}\ праворуч) ^ {2} =20.4\:\ mathrm {m}\ nonumber\]
так максимальна висота, яку вона досягає, становить 30,4 м.
Після закінчення повного 3-секундного інтервалу зміщення ракети становить
\ [\ Дельта y_ {2} =v_ {i 2}\ Дельта t_ {2} -\ розрив {1} {2} г\ ліворуч (\ Дельта t_ {2}\ праворуч) ^ {2} =15.9\:\ mathrm {m} \ nonumber\]
(Так його висота становить 25,9 м над землею), а кінцева швидкість дорівнює
\ [v_ {f 2} =v_ {i 2} -g\ Дельта t_ {2} =-9.43\:\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ номер.\]
(c) Прискорення для цієї частини дорівнює\((v_{f3} −v_{i3})/ \Delta t_3\) = (−5 + 9,43) /1 = 4,43 м/с 2. Зверніть увагу на позитивний знак. Зсув - це
\ [\ Дельта y_ {3} =-9.43\ раз 1+\ frac {1} {2}\ раз 4.43\ раз 1^ {2} =-7.22\:\ mathrm {m} \ number\]
отже кінцева висота дорівнює 25,9 − 7,21 = 18,7 м.
(г) Це просто рух з постійною швидкістю для покриття 18,7 м при 5 м/с Час, який займає 3,74 с. Графіки цього руху наведені раніше в розділі, на малюнку 2.2.3.