Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.3: Вільне падіння

  • Page ID
    74704
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Важливий приклад руху з (приблизно) постійним прискоренням забезпечується вільним падінням біля поверхні Землі. Ми говоримо, що об'єкт знаходиться у «вільному падінні», коли єдиною силою, що діє на нього, є сила тяжіння (слово «падіння» тут може бути трохи оманливим, оскільки об'єкт насправді може деякий час рухатися вгору, якщо він був кинутий прямо вгору, наприклад). Космічна станція знаходиться у вільному падінні, але оскільки вона знаходиться ніде поблизу поверхні землі, її напрямок руху (а значить і її прискорення, що розглядається як двовимірний вектор) постійно змінюється. Прямо поруч із поверхнею землі, з іншого боку, кривизна планети досить незначна, а гравітація забезпечує приблизно постійне вертикальне прискорення, яке за відсутності інших сил виявляється однаковим для кожного об'єкта, незалежно від його розміру, форми або вага.

    Вищевказаний результат - що за відсутності інших сил всі об'єкти повинні падати на землю з однаковою швидкістю, незалежно від того, наскільки вони великі чи важкі - настільки суперечить нашому спільному досвіду, що для його виявлення знадобилося багато століть. Ключовим, звичайно, як і із законом інерції, є усвідомлення того, що за звичайних обставин сили тертя, по суті, діють весь час, тому об'єкт, що падає через атмосферу, ніколи насправді не знаходиться в «вільному» падінні: завжди, як мінімум, і крім сили тяжіння, Повітряна сила опору, яка протистоїть його руху. Величина цієї сили залежить від розміру та форми об'єкта (в основному, від того, наскільки «аеродинамічним» є об'єкт); і таким чином м'яч для гольфу, наприклад, падає набагато швидше, ніж плоский аркуш паперу. Тим не менш, якщо ви зім'яти аркуш паперу, поки він має такий же розмір і форму, як м'яч для гольфу, Ви можете самі переконатися, що вони падають приблизно з такою ж швидкістю! Рівність ніколи не може бути точною, однак, якщо ви не позбудетеся повністю від повітряного опору, або виконавши експеримент у евакуйованій трубці, або (дещо екстремальним чином), зробивши це на поверхні Місяця, як це робили астронавти «Аполлона-15» з молотком та пір'ям ще в 1971 році 2.

    Однак це все ще залишає нам щось таємниче: сила тяжіння - це єдина сила, яка, як відомо, має властивість, що вона надає всім об'єктам однакове прискорення, незалежно від їх маси чи конституції. Спосіб поставити це технічно полягає в тому, що сила тяжіння на об'єкт пропорційна інерційній масі цього об'єкта, величині, яку ми введемо належним чином у наступній главі. На даний момент ми просто зафіксуємо тут, що це прискорення поблизу поверхні землі має величину приблизно 9,8 м/с 2, величину, яка позначається символом\(g\). Таким чином, якщо прийняти напрямок вгору як позитивне (як це зазвичай робиться), то отримаємо за прискорення об'єкта у вільному падінні\(a = −g\), а рівняння руху стають

    \[ \Delta v=-g \Delta t \label{eq:2.15} \]

    \[ \Delta y=v_{i} \Delta t-\frac{1}{2} g(\Delta t)^{2} \label{eq:2.16} \]

    де я використовував\(y\) замість\(x\) координати положення, оскільки це більш поширений вибір для вертикальної осі. Зауважте, що ми могли б також обрати низхідний напрямок як позитивний, і це може бути більш природним вибором у деяких проблемах. Незважаючи на це, кількість завжди\(g\) визначається як позитивна:\(g\) = 9,8 м/с 2. Тоді прискорення є\(g\) або, залежно від того\(−g\), який напрямок ми приймаємо, щоб бути позитивним

    На практиці величина трохи\(g\) змінюється з місця на місце навколо землі, з різних причин (вона дещо чутлива до щільності землі під вами, і вона зменшується в міру того, як ви піднімаєтеся вище від центру землі). У наступному розділі ми побачимо, як обчислити величину\(g\) з маси і радіуса землі, а також як обчислити еквівалентну величину для інших планет.

    Тим часом ми можемо використовувати рівняння типу (\ ref {eq:2.15}) і (\ ref {eq:2.15}) (а також (2.2.10), з відповідними замінниками), щоб відповісти на ряд цікавих питань про об'єкти, кинуті або скинуті прямо вгору або вниз (завжди, звичайно, припускаючи, що повітряний опір незначний). Наприклад, ще на початку цієї глави я згадав, що якщо я впустив предмет, це може зайняти близько половини секунди, щоб потрапити на землю. Якщо використовувати Equation (\ ref {eq:2.16}) з\(v_i\) = 0 (оскільки я скидаю об'єкт, а не кидаю його вниз, його початкова швидкість дорівнює нулю), а підставити\(\Delta t\) = 0,5 с, ви отримаєте\(\Delta y\) = 1,23 м (близько 4 футів). Це розумна висота, з якої щось впасти.

    З іншого боку, можна відзначити, що півсекунди - це не дуже довгий час, за який можна проводити точні спостереження (особливо якщо у вас немає сучасної електронної апаратури), і в результаті цього протягом багатьох століть виникла значна плутанина щодо точного способу падіння предметів. Деякі люди вважали, що швидкість деяким чином збільшувалася, коли об'єкт впав, тоді як інші, здається, вірили, що об'єкт, що впав, «миттєво» (тобто, як тільки він залишив вашу руку) набуде певної швидкості і зберегти це незмінним весь шлях вниз. Насправді, при наявності повітряного опору, те, що відбувається, - це комбінація обох: спочатку швидкість збільшується приблизно з постійною швидкістю (вільне або майже вільне падіння), але сила опору збільшується зі швидкістю, а також, поки врешті-решт вона не врівноважує силу тяжіння, і з цього моменту швидкість більше не збільшується: ми говоримо, що об'єкт досяг «кінцевої швидкості». Деякі об'єкти досягають кінцевої швидкості майже миттєво, тоді як інші (більш «аеродинамічні») можуть зайняти багато часу. Це пояснює плутанину, яка панувала перед експериментами Галілея на початку 1600-х років.

    Основним розумінням Галілея, з теоретичної сторони, було усвідомлення того, що необхідно чітко відокремити вплив гравітації та вплив сили опору. Експериментально його великою ідеєю було використовувати похилу площину, щоб уповільнити «падіння» об'єкта, щоб зробити точні вимірювання можливими (а також, до речі, зменшити силу повітряного опору!). Ці «похилі літаки» були просто в основному пандуси вниз, які він послав маленькі кульки (як мармури) прокатки. Змінюючи крутизну рампи, він міг контролювати, наскільки повільно рухалися кульки. Він міркував, що, врешті-решт, сила, яка змусила кулі йти вниз, була по суті однаковою силою тяжіння, тільки не всією силою, а лише її часткою. Сьогодні ми знаємо, що, по суті, об'єкт ковзає (не котиться!) вгору або вниз на нахилі без тертя буде відчувати прискорення, спрямоване вниз уздовж нахилу і з величиною, рівною\(g \sin \theta\), де\ (\ theta) - кут, який нахил робить з горизонталлю:

    \[ a=g \sin \theta \quad \text{ (inclined plane, taking} \: downwards \: \text{to be positive) } \label{eq:2.17} \]

    (Чомусь здається більш природним при роботі з похилими площинами сприймати напрямок вниз як позитивне!). Рівняння (\ ref {eq:2.17}) має сенс в двох крайніх випадках, коли площина повністю вертикальна (\(\theta = 90^{\circ}\),\(a = g\)) і повністю горизонтальна (\(\theta = 0^{\circ}\),\(a\) = 0). Для проміжних значень ви будете проводити експерименти в лабораторії, щоб перевірити цей результат.

    У наступному розділі ми покажемо, як Equation (\ ref {eq:2.17}) виникає внаслідок ретельного розгляду всіх сил, що діють на об'єкт; пізніше ми також побачимо, як його потрібно змінити для випадку рухомого, а не ковзання об'єкта. Ця модифікація не впливає на головний висновок Галілея, який полягав, в основному, в тому, що природний падаючий рух при відсутності сил тертя або опору - це рух з постійним прискоренням (принаймні, біля поверхні землі, де\(g\) постійна до дуже хорошого наближення).


    2 Відео про це доступно в Інтернеті: https://www.youtube.com/watch?v=oYEgdZ3iEKA. Це, однак, досить низька роздільна здатність і важко побачити. Дуже вражаюча сучасна демонстрація за участю пір'я та м'яча для боулінгу в повністю евакуйованому (безповітряному) приміщенні доступна тут: https://www.youtube.com/watch?v=E43-CfukEgs.