1.5: Приклади

Приклад\(\PageIndex{1}\): Рух з (кусково) постійною швидкістю

Ви залишаєте свій будинок на велосипеді , щоб піти в гості до друга. При нормальній швидкості 9 миль/год, ви знаєте, що вам потрібно 6 хвилин, щоб дістатися туди. Цього разу, хоча, коли ви пройшли половину відстані, ви розумієте, що забули книгу вдома, яку ви збиралися повернутися до свого друга, так що ви обертаєтеся і крутите педалі в два рази більше нормальної швидкості, поверніться додому, схопіть книгу, і почати знову для будинку вашого друга в 18 миль/год (уявіть, що ви дійсно підходять, щоб зняти це!)

1. Як далеко від вас живе ваш друг?
2. Яку загальну відстань ви проїжджаєте в цій поїздці?
3. Скільки часу зайняла вся поїздка?
4. Намалюйте позицію проти часу та графік швидкості та часу для всієї поїздки. Використовуйте одиниці СІ для обох графіків. Нехтуйте часом, який потрібно вам, щоб зупинитися і розвернутися, а також час, який потрібен вам, щоб зіткнутися з вашим будинком і захопити книгу (іншими словами, припускайте, що ці зміни у вашому напрямку руху відбуваються миттєво).
5. Покажіть явно, використовуючи ваш\(v\) -vs-\(t\) графік, що графічний метод малюнка 1.2.5 дає вам загальне переміщення для вашої поїздки.

Рішення

Я збираюся розробити цю проблему, використовуючи як милі, так і одиниці СІ, перший, тому що це здається найбільш природним, а другий тому, що нас просять використовувати одиниці СІ для частини (d), так що ми могли б також використовувати їх з самого початку. Загалом, ви повинні використовувати одиниці SI, коли зможете. Якщо ви не впевнені в тому, що робити в конкретній проблемі, запитайте свого інструктора!

(а) Нам кажуть, що на 9 миль на годину це займе 6 хвилин, щоб дістатися туди, тому давайте використовувати

\ [\ Дельта х = v\ Дельта т \ мітка {еква:22}\]

з\(v\) = 9 миль/год і\(\Delta t\) = 6 хв. Доводиться або конвертувати години в хвилини, або навпаки. Знову ж таки, в цьому випадку здається найпростіше усвідомити, що 6 хв дорівнює 1/10 години, так:

\ [\ Дельта x =\ ліворуч (9\ frac {\ text {милі}} {\ text {hr}}\ праворуч)\ раз 0,1\:\ mathrm {hr} =0.9 \:\ text {miles.}\ label {eq:23}\]

В одиницях СІ 9 миль/год = 4,023 м/с, а 6 хв = 360 с, так\(\Delta x\) = 1448 м.

(б) Це лише питання відстеження пройденої відстані в різних частинок поїздки. Ви починаєте з того, що їдете на половині відстані до будинку вашого друга, тобто 0,45 милі, а потім знову їдете додому, так що це 0,9 милі, а потім ви повернулися туди, де ви почали, тож вам все одно доведеться пройти 0,9 милі до будинку вашого друга. Таким чином, в цілому, ви їдете за 1,8 км, або 2897 м.

(c) Вся поїздка складається, як описано вище, 0.45 миль при 9 миль/год, а решта, що становить 1.35 миль, при 18 миль/год. Застосовуючи\(\Delta t = \Delta x/v\) до кожного з цих інтервалів, отримуємо загальний час

\ begin {вирівнювання}
\ дельта t &=\ розрив {0.45\:\ текст {милі}} {9 \:\ mathrm {mph}} +\ frac {1.35\:\ текст {милі}} {18 \:\ mathrm {mph}} = 0,125\:\ текст {години}\ nonumber\
&=0.125\ раз 60:\ mathrm {} =7.5\:\ mathrm {min}\ number \\
&=7.5\ раз 60\:\ mathrm {s} =450\:\ mathrm {s} \ мітка {еква:24}
\ кінець {вирівнювання}

(d) Графіки наведені нижче. Детально про те, як їх отримати, слідують.

• Перший інтервал: від\(t\) = 0 до\(t\) = 180 с (3 хв, що потрібно, щоб подолати половину відстані до будинку вашого друга при 9 миль/год). Швидкість - постійна\(v\) = 4,023 м/с Для графіка положення використовуйте Рівняння (1.2.10) з\(x_i\) = 0,\(t_i\) = 0 і\(v\) = 4,023 м/с.
• Другий інтервал: від\(t\) = 180 с до\(t\) = 270 с ( вам потрібно половину 3 хв, тобто 90 с, щоб подолати ту ж відстань, що і вище, з подвійною швидкістю). Швидкість - постійна\(v\) = −8,046 м/с (вдвічі більше, ніж була раніше, але в зворотному напрямку). Для графіка положення використовуйте Рівняння (1.2.10) з\(x_i\) = 724 м (це половина відстані до будинку вашого друга, і початкове положення для цього інтервалу),\(t_i\) = 180 с і \(v\) = −8,046 м/с.
• Третій інтервал: від\(t\) = 270 с до\(t\) = 450 с Швидкість постійна\(v\) = 8,046 м/с (така ж швидкість, як тільки раніше, але в зворотному напрямку). Для графіка положення використовуйте Рівняння (1.2.10) з\(x_i\) = 0 м (ви починаєте назад у своєму будинку), \(t_i\) = 270 с і\(v\) = 8.046 м/с.

Якщо ви знайомі з програмним пакетом Mathematica, графік положення вироблявся за допомогою команди

Ділянка [Якщо [t<180, 4.023 т, Якщо [t<270, 4.023*180-8.046 (т-180), 8.046 (т-270)]], {t, 0, 450}]

і графік швидкості був виготовлений з використанням

Ділянка [Якщо [t<180, 4.023, Якщо [t<270, -8.046, 8.046]], {t, 0, 450}]

(А потім з'єднати горизонтальні лінії вручну, що не обов'язково, але допомагає візуалізувати, що відбувається).

Графіки також могли бути створені за допомогою безкоштовного пакету програм для побудови графіків Gnuplot (доступний тут: http://www.gnuplot.info/download.html) з наступними командами:

gnuplot> встановити манекен т
гнуплот> f (t) = t <180? 4,023* т: т <270? 4.023*180-8.046* (т-180): 8,046* (т-270)
Гнуплот> ділянка [0:450] ф (т)

Перший рядок встановлює типову незалежну змінну\(t\) (замість того\(x\), що очікує Gnuplot). Другий рядок визначає кускову функцію за допомогою тернарного оператора (? :) запозичений з мови програмування Сі. Третій рядок відображає функцію у вказаному діапазоні.

(e) Для цього нам потрібно знайти область під\(v\) -vs-\(t\) графіком, який ми щойно побудували. В основному ми маємо три прямокутника: перший має підставу 180 одиниць (ів) і висоту 4 одиниці (м/с), тому його площа становить 4\(\times\) 180 = 720 (м). Другий прямокутник має основу 90 одиниць і висоту −8 (від'ємний, оскільки він знаходиться нижче горизонтальної осі!) , тому його площа становить −720. Останній має базу 180 одиниць знову (від 270 до 450) і висоту 8, тому його площа становить 8 \(\times\) 180 = 1440. Таким чином, загальна площа «під»\(v\) -vs-\(t\) крива є

\[ 720 - 72 +1440 = 1440 \: \text{meters} \nonumber \]

що є (приблизно) вашим загальним переміщенням, тобто 9 миль до будинку вашого друга. (Звичайно, ми б отримали більш точний результат, якби використовували більш точні значення для «висот» 4.023, −8,046 і 8.046, але якщо все, що нам потрібно пройти , це графік, така точність майже неможлива.)

Приклад\(\PageIndex{2}\): Додавання швидкостей, відносний рух

Цей приклад був натхненний демонстрацією «гонки на тротуарі, що рухається» за адресою http://physics.bu.edu/~duffy/classroom.html. Будь ласка, подивіться на це!

Дві дівчата, Енн і Беккі (так, А і Б) вирішують влаштувати гонку, поки вони чекають літака в майже безлюдному аеропорту. Енн буде бігати по рухомій доріжці, до кінця її (що знаходиться на відстані 30 м) і назад, тоді як Беккі буде бігати поруч з нею по (нерухомому) підлозі, також 30 м назовні і назад. Доріжка рухається зі швидкістю 1 м/с, і дівчата обидва бігають з однаковою постійною швидкістю 5 м/с щодо поверхні, на якій вони стоять.

1. Відносно (нерухомого) статі, яка швидкість Енн для першого етапу її гонки, коли вона рухається в тому ж напрямку , що і доріжка (візьміть це, щоб бути позитивним напрямком)? Яка у неї швидкість для зворотної ноги?
2. Скільки часу потрібно кожній з дівчат, щоб завершити свою гонку?
3. Коли обидві дівчини біжать в позитивному напрямку, яка швидкість Беккі щодо Енн? (Тобто, як швидко Енн бачить, як Беккі рухається, і в якому напрямку?)
4. Коли Енн обертається і починає бігати в негативному напрямку, але Беккі все ще біжить в позитивному напрямку, яка швидкість Беккі щодо Енн?
5. Яка загальна відстань Ann пробігає в системі відліку рухомої доріжки?

Рішення

Я збираюся вирішити це у форматі, який вам потрібно буде використовувати в цьому семестрі для більшості домашніх завдань та іспит проблем. Я не зможу це зробити для кожного окремого прикладу, але ви повинні! Будь ласка, уважно стежте за цим.

Для початку необхідно намалювати ескіз ситуації, описаної в задачі, досить докладний, щоб включити всю відповідну вам інформацію, надану. Ось моє:

Зверніть увагу, що я намалював по одній картинці для кожної половини гонки, і що вся інформація, наведена в тексті завдання, є. Цифра дає зрозуміти також позначення, які я буду використовувати для кожної з швидкостей дівчат, і побачити з першого погляду, що відбувається.

Далі слід вказати, що це за задача і який основний результат (теорема, принцип або рівняння (рівняння) ви збираєтеся використовувати для її вирішення. Для цієї проблеми можна сказати:

«Це відносна проблема перетворення руху/опорного кадру. Я буду використовувати рівняння (1.3.6)

\ [\ vec {v} _ {A P} =\ vec {v} _ {B P} +\ vec {v} _ {A B}\ nonumber \]

а також основне рівняння для руху з постійною швидкістю:»

\[ \Delta x = v \Delta t \nonumber .\]

Після цього вирішуйте кожну частину по черзі, і обов'язково показуйте всі свої роботи!

(а) Нехай F стоїть для еталонної рами підлоги, а W - каркас доріжки. У позначенні Розділу 1.3 ми маємо\(v_{FW}\) = 1 м/с Для першого відрізка її раси нам кажуть, що швидкість Енн щодо доріжки дорівнює 5 м/с, так\(v_{W A}\) = 5 м/с Потім, по рівнянню (1.3.6) (з наступною зміною показників: A\(\rightarrow\) F, B \(\rightarrow\)Ш, а П\(\rightarrow\) А),

\ [v_ {F A} =v_ {F W} +v_ {W A} =1 \ frac {\ mathrm {m}} {\ математика {s}} +5\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} =6 \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ етикетка {:25}\]

(Коли ви бачите таке рівняння, повне індекси, це гарна практика, щоб прочитати його, подумки, для себе: « Швидкість Енн відносно підлоги дорівнює швидкості доріжки відносно підлоги плюс швидкість Енн щодо доріжки». Тоді знайдіть хвилинку, щоб побачити, чи має сенс! Ось місце, де картинка може бути дійсно корисною.)

Для зворотної ноги використовуйте ту ж формулу, але врахуйте, що тепер її швидкість щодо доріжки негативна,\(v_{W A}\) = −5 м/с, так як вона рухається в зворотному напрямку:

\ [v_ {F A} =v_ {F W} +v_ {W A} =1 \ frac {\ mathrm {m}} {\ математика {s}} -5\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} =-4 \ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ етикетка {:26}.\]

(б) Щодо еталонної рамки підлоги ми щойно побачили, що Енн спочатку охоплює 30 м зі швидкістю 6 м/с, а потім ті ж 30 м зі швидкістю 4 м/с, тому її загальний час становить

\ [\ Дельта t_ {A} =\ frac {30\:\ математика {m}} {6\:\ математика {m}/ \ математика {s}} +\ frac {30\:\ математика {m}} {4\ математика {m}/\ математика {s}} =5\: \ mathrm {s} +7.5\\ математика {s} =12.5\:\ математика {s}\ етикетка {ев:27} \]

тоді як Беккі просто працює 30 м на 5 м/с в обидві сторони, так що вона приймає її 6 s в будь-якому випадку, в цілому 12 с, що означає, що вона виграє гонку.

(c) Кількість, яку ми хочемо, записана в позначенні Розділу 1.3\(v_{AB}\) («швидкість Беккі щодо Енн»). Щоб обчислити це, нам просто потрібно знати швидкості обох дівчат в якійсь системі відліку (однакові для обох!) , потім відніміть швидкість Енн з Беккі (це те, що говорить Рівняння (1.3.8)). У цьому випадку, якщо ми просто виберемо опорну рамку підлоги, ми маємо\(v_{F A}\) = 6 м/с і\(v_{F B}\) = 5 м/с, тому

\ [v_ {A B} =v_ {F B} -v_ {F A} =5 \ frac {\ mathrm {m}} {\ математика {s}} -6\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s}} =-1 \ матрма {m}} {\ mathrm {s}}\ етикетка екв:28}\]

Негативний знак має сенс: Енн бачить, як Беккі відстає від неї, тому відносно неї Беккі рухається назад, тобто в напрямку, який ми визначили як негативний.

(г) Знову ми використовуємо те саме рівняння, і швидкість Беккі все так само, але тепер швидкість Енн\(v_{F A}\) = −4 м/с (зверніть увагу на негативний знак!) , так

\ [v_ {A B} =v_ {F B} -v_ {F A} =5 \ frac {\ mathrm {m}} {\ математика {s}} -\ лівий (-4 \ mathrm {m}} {\ mathrm {s}}\ правий) =9 \ frac {\ mathrm {m}} s}}\ мітка {еква:29}\]

(e) Ви можете знайти це трохи дивно, але якщо ви думаєте про це, пояснення того, чому Енн втратила гонку, незважаючи на те, що вона бігла з тією ж швидкістю, що і Беккі щодо поверхні, на якій вона стояла, має бути те, що вона фактично пробігла більшу відстань на цій поверхні! Так як вона бігала в цілому 12,5 с на постійній швидкості (не швидкості!) 5 м/с в рамі доріжки, то в цьому кадрі вона пробігла відстань\ (d = |v| \ Delta t = 5\ times 12,5 = 62,5\) м Тобто загальна довжина доріжки, на яку вона фактично ступила.