1.3: Зміни опорного кадру та відносний рух
- Page ID
- 74635
Все до цього моменту передбачає , що ми використовуємо фіксовану, попередньо узгоджену систему відліку. В основному, це просто походження і набір осей, уздовж яких вимірювати наші координати, як показано на малюнку 1.2.1.
Однак у фізиці існує ряд ситуацій, які вимагають використання різних опорних кадрів, і, що більш важливо, які вимагають від нас перетворення різних фізичних величин з одного опорного кадру в інший. Наприклад, уявіть, що ви перебуваєте на човні на річці, греблю вниз за течією. Ви рухаєтеся з певною швидкістю щодо води навколо вас, але сама вода тече з різною швидкістю щодо берега, а ваша фактична швидкість щодо берега - сума цих двох величин. Кораблі, як правило, повинні робити такий розрахунок весь час, як і літаки: «повітряна швидкість» - це швидкість літака щодо повітря навколо нього, але це повітря зазвичай рухається зі значною швидкістю відносно землі.
Ми маємо справу з усіма цими ситуаціями шляхом введення двох опорних кадрів, які тут я буду називати A і B. Один з них, скажімо, A, знаходиться «в спокої» відносно землі, а інший - «в спокої» відносно чогось іншого - що означає, насправді, рухатися разом з цим чимось іншим. (Наприклад, еталонний кадр у спокої «відносно річки» буде кадром, який рухається разом з річковою водою, як шматок корчі, який ви могли б виміряти свій прогрес відносно.)
У будь-якому випадку, графічно, це буде виглядати так, як на малюнку\(\PageIndex{1}\), який я намалював для двовимірного випадку, тому що я думаю, що це полегшує візуалізацію того, що відбувається:
Рисунок\(\PageIndex{1}\): Вектори положення та координати точки P у двох різних системах відліку, A та B.
У відліковому кадрі A точка P має координати положення\((x_{AP} , y_{AP})\). Аналогічно, у системі відліку B його координати є\((x_{BP} , y_{BP})\). Як бачите, вибране позначення таке, що кожна координата в A матиме «A» як перший індекс, тоді як другий індекс вказує на об'єкт, на який він посилається, і аналогічно для координат у B.
Координати\((x_{AB}, y_{AB})\) є особливими: вони є координатами, у відліковому кадрі A, походження опорного кадру Б. Цього достатньо, щоб повністю розташувати кадр B в A, доки кадри не повернуті відносно один одного.
Тонкі кольорові лінії, які я намалював уздовж осей на малюнку\(\PageIndex{1}\), призначені для того, щоб зрозуміти, що дотримуються такі рівняння:
\ [\ begin {масив}
{l} {x_ {A P} =x_ {A B} +x_ {B P}}\\
{x_ {A P} =x_ {A B} +x_ {B P}}
\ кінець {масив}\ мітка {еква:14}\]
Хоча цифра намальована для легкого випадку, коли всі ці величини є позитивними, ви повинні бути в змозі переконати себе, що Eqs. (\ ref {eq:14}) утримувати також, коли одна або кілька координат мають від'ємні значення.
Всі ці координати також є складовими відповідних векторів позицій, показаних на малюнку та кольоровим кодуванням за допомогою опорного кадру (так, наприклад,\ (\ vec r_ {AP}\) - це вектор положення P у кадрі A), тому рівняння (\ ref {eq:14}) можна записати більш компактно як одиничні векторне рівняння
\ [\ vec r_ {AP} =\ vec r_ {AB} +\ vec r_ {BP}\ мітка {еква:15}.\]
З усього цього ви можете побачити, як додавати вектори: алгебраїчно, ви просто додаєте їх компоненти окремо, як в Eqs. (\ ref {eq:14}); графічно ви малюєте їх так, щоб кінчик одного вектора збігався з хвостом іншого (ми називаємо це «кінчик до хвоста»), а потім малюєте вектор суми від хвоста першого до кінчика іншого. (Загалом, для отримання двох довільних векторів tip-to-tail вам може знадобитися зміщення одного з них; це нормально за умови, що ви не змінюєте його орієнтацію, тобто за умови, що ви тільки зміщуєте його, а не обертаєте. Ми побачимо, як це працює в мить зі швидкостями, а пізніше з силами.)
Звичайно, я вже показав вам, як відняти вектори за допомогою малюнка 1.2.3: знову ж таки, алгебраїчно, ви просто віднімаєте відповідні координати, тоді як графічно ви малюєте їх із загальним початком, а потім малюєте вектор з кінчика вектора, яким ви є віднімання до кінчика іншого. Якщо знову прочитати попередній абзац, то можна побачити, що малюнок 1.2.3 однаково добре може бути використаний, щоб показати, що\ ( \ Delta\ vec r =\ vec r_f -\ vec r_i\), як показати, що\ (\ vec r_f =\ vec r_i +\ Delta\ vec r\).
Подібним чином ви можете побачити графічно з малюнка\(\PageIndex{1}\) (або алгебраїчно з Рівняння (\ ref {eq:15})), що вектор положення P у кадрі B задається\(\vec r_{BP} = \vec r_{AP} − \vec r_{AB}\). Останній термін в цьому виразі можна записати по-іншому, наступним чином. Якщо я дотримуюся конвенції, яку я ввів вище, кількість \(x_{BA}\) (з порядком індексів у зворотному порядку) буде \(x\) координатою походження кадру A у кадрі B, і алгебраїчно, що було б рівним\(−x_{AB}\), і аналогічно \(y_{BA} = −y_{AB}\). Звідси векторна рівність\ (\ vec r_ {AB} = −\ vec r_ {BA}\) утримується. Потім,
\ [\ vec {r} _ {B P} =\ vec {r} _ {А П} -\ vec {r} _ {А Б} =\ vec {r} _ {А П} +\ vec {r} _ {B A}\ етикетка {еква:16}.\]
Це, певним чином, «обернене» рівняння (\ ref {eq:15}): воно говорить нам, як отримати позицію P у кадрі B, якщо ми знаємо його положення в кадрі A.
Дозвольте мені показати далі, як все це поширюється на переміщення і швидкості. Припустимо, точка Р вказує на положення частинки в той час\(t\). За проміжок часу може змінюватися як положення частинки\(\Delta t\), так і взаємне положення двох опорних кадрів. Ми можемо додати ще один індекс,\(i\) або\(f\), (для початкового і кінцевого) до координат, і написати, наприклад,
\ [\ begin {масив}
{l} {x_ {A P, i} =x_ {A B, i} +x_ {B P, i}\\
{A P, f} =x_ {A B B, f} +x_ {B P, f}
\ end {масив}\ мітка {еква:17}\]
Віднімання цих рівнянь дає нам відповідні зсуви:
\ [\ Дельта x_ {A P} =\ Дельта x_ {A B} +\ Дельта x_ {B P}\ мітка {еква:18}.\]
Розділивши рівняння (\ ref {eq:18}) на\ (\ Delta t\) отримаємо середні швидкості\(^1\), а потім, взявши межу, \(\Delta t \rightarrow 0\) отримаємо миттєві швидкості. Це стосується аналогічним чином і\(y\) координат, а результатом є векторне рівняння.
\ [\ vec {v} _ {A P} =\ vec {v} _ {B P} +\ vec {v} _ {A B}\ мітка {еква:19}.\]
Я переставив терміни на правій стороні, щоб (сподіваюся) полегшити візуалізацію того, що відбувається. У словах: швидкість частинки P щодо (або вимірюється в) кадрі А дорівнює (векторної) сумі швидкості частинки, виміряної в кадрі В, плюс швидкість кадру В щодо кадру А.
Результат (\ ref {eq:19}) - це саме те, що ми очікували від прикладів, про які я згадував на початку цього розділу, наприклад, веслування в річці або літаку, що летить на вітрі. Наприклад, для літака\(\vec v_{BP}\) може бути його «повітряна швидкість» (тільки він повинен бути вектором, тому він буде більше схожий на його «повітряну швидкість»: тобто його швидкість відносно повітря навколо нього), і\(\vec v_{AB}\) буде швидкість повітря відносно землі (швидкість вітру, на розташування літака). Іншими словами, A являє собою земну систему відліку , а B - повітряну, або вітрову, систему відліку. Тоді\ (\ vec v_ {AP}\) буде «істинною» швидкістю літака відносно землі. Ви можете побачити, як було б важливо додати ці величини як вектори, загалом, розглядаючи, що відбувається, коли ви летите на поперечному вітрі або намагаєтеся перетинати річку, як на малюнку \(\PageIndex{2}\) нижче.
Малюнок\(\PageIndex{2}\): Гребля через річку. Якщо ви прямуєте «прямо через» річку (з вектором швидкості\(\vec v_{Rb}\) в рухомому кадрі річки, яка тече зі швидкістю\(\vec v_{ER}\) в рамці землі), ваша фактична швидкість щодо берега буде вектором\(\vec v_{Eb}\). Це екземпляр рівняння (\ ref {eq:19}), де кадр A - E (земля), кадр B - R (річка), а «b» (для «човна») стоїть за точкою P, яку ми відстежуємо.
Як видно з цих кількох прикладів, Equation (\ ref {eq:19}) часто є корисним, як написано, але іноді інформація, яку ми маємо, дається нам по-іншому: наприклад, нам можна задати швидкість об'єкта в кадрі A і швидкість кадру B\((\vec v_{AP})\), як видно в кадрі A\((\vec v_{AB})\), і сказав обчислити швидкість об'єкта, як видно в кадрі B. Це може бути легко досягнуто, якщо ми зауважимо, що вектор\(\vec v_{AB}\) дорівнює\(-\vec v_{BA}\); тобто, швидкість кадру B, як видно з кадру А, якраз протилежна швидкості кадру A, як видно з кадру B. Отже, рівняння (\ ref {eq:19}) можна переписати як
\ [\ vec {v} _ {A P} =\ vec {v} _ {B P} -\ vec {v} _ {B A}\ мітка {еква:20}.\]
Для більшості наступних кількох глав ми будемо розглядати тільки рух в одному вимірі, і тому ми будемо писати Equation (\ ref {eq:19}) (або (\ ref {eq:20})) без векторних символів, і буде зрозуміло, що\(v\) відноситься до компонента вектора\(\vec v\) вздовж осі координат цікавить.
Величина, яка буде особливо важливою пізніше, - це відносна швидкість двох об'єктів, які ми могли б позначити 1 і 2. Швидкість об'єкта 2 відносно об'єкта 1 - це, за визначенням, швидкість, яку спостерігач, рухаючись разом з 1, вимірював би для об'єкта 2. Отже, це просто проста зміна кадру: нехай земляний кадр буде кадром E, а кадр, що рухається з об'єктом 1, - кадром 1, тоді швидкість, яку ми хочемо, є \(v_{12}\) («швидкість об'єкта 2 в кадрі 1»). Якщо ми зробимо зміни A\(\rightarrow\) 1, B\(\rightarrow\) E та P \(\rightarrow\) 2 у рівнянні (\ ref {eq:20}), ми отримаємо
\ [v_ {12} =v_ {E 2} -v_ {E 1}\ мітка {еква:21} .\]
Іншими словами, швидкість 2 щодо 1 - це всього лише швидкість 2 мінус швидкість 1. Це знову звичний ефект: якщо ви їдете по шосе зі швидкістю 50 миль на годину, а автомобіль перед вами їде зі швидкістю 55, то його швидкість щодо вас дорівнює 5 миль/год, що і є швидкістю, з якою вона відходить від вас (в прямому напрямку, передбачається позитивним) .
Важливо усвідомлювати, що всі ці швидкості є реальними швидкостями, кожна у своїй системі відліку. Можна сказати, що щось дійсно рухається з деякою швидкістю в одному опорному кадрі, і так само, як дійсно рухається з різною швидкістю в іншому опорному кадрі. Я буду мати набагато більше, щоб сказати про це в наступному розділі, але тим часом ви можете поміркувати про те, що, якщо автомобіль, що рухається зі швидкістю 55 миль/год, стикається з іншим, що рухається на 50 миль/год в тому ж напрямку, збиток буде в основному такий же, як якщо б перший автомобіль рухався зі швидкістю 5 миль/год і другий був у спокої. Для практичних цілей, якщо ви стурбовані, швидкість іншого автомобіля відносно вашої - це «реальна» швидкість цього автомобіля.
Ресурси
Хороший додаток для практики додавання векторів (і як розбити їх на компоненти, величину та напрямок тощо) можна знайти тут: https://phet.colorado.edu/en/simulation/vector-addition.
Мабуть, найбільш драматична демонстрація того, як Equation (\ ref {eq:19}) працює в реальному світі, є в цьому епізоді Mythbusters: https://www.youtube.com/watch?v=BLuI118nhzc. (Якщо це посилання не працює, виконайте пошук «Руйнівники міфів скасувати імпульс».) Вони стріляють м'ячем з ліжка вантажівки зі швидкістю (відносно вантажівки) 60 миль/год назад, в той час як вантажівка рухається вперед зі швидкістю 60 миль/год. Думаю, за результатом варто спостерігати. (Не відволікайтеся на їх розмови про імпульс. Потрапимо туди, вчасно.)
Дуже старе, але також дуже хороше, навчальне відео про різні рамки відліку - ось це: https://www.youtube.com/watch?v=sS17fCom0Ns. Ви повинні намагатися спостерігати хоча б частину його. Багато речей будуть актуальні для пізніших частин курсу, включаючи рух снаряда, і все обговорення відносного руху, що наближається далі, у розділі 2.
\(^1\)Ми зробили дуже природне припущення, що часовий інтервал\(\Delta t\) однаковий для спостерігачів, які відстежують рух частинки в кадрах A і B відповідно (де кожен спостерігач, як розуміється, рухається разом зі своїм кадром). Це, однак, виявляється невірним, коли будь-яка з задіяних швидкостей близька до швидкості світла, і тому проста формула додавання швидкостей (\ ref {eq:19}) не дотримується теорії відносності Ейнштейна. ( Це насправді перший біт реальної фізики, про яку я розповів вам у цій книзі, до цих пір; на жаль, ви не матимете ніякої користі для цього семестру!)