1.2: Положення, Зсув, Швидкість

Кінематика - це частина механіки, яка займається математичним описом руху, залишаючи осторонь питання про те, що змушує об'єкт рухатися певним чином. Отже, кінематика не включає такі речі, як сили чи енергія, які потрапляють замість цього під заголовок динаміки. Тоді можна сказати, що кінематика сама по собі не є справжньою фізикою, а лише прикладною математикою; але вона все ще є невід'ємною частиною класичної механіки та її найбільш природною відправною точкою. Ця глава (і частини наступної) познайомить з основними поняттями і методами кінематики в одному вимірі.

Посада

Як говорилося в попередньому розділі, нас спочатку цікавить лише опис руху «частинки», яку можна розглядати як математичну точку в просторі. (Пізніше ми побачимо, що навіть для розширеного об'єкта або системи часто корисно розглянути рух певної точки, яку ми називаємо центром маси системи.) Точка в трьох вимірах може бути розташована, давши три числа, відомі як її декартові координати (або, простіше кажучи, її координати). У двох вимірах це працює, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\) нижче. Як бачите, координати точки просто говорять нам, як її знайти, спочатку перемістивши певну відстань\(x\), від раніше узгодженого початку, вздовж горизонтальної (або\(x\)) осі, а потім на певну відстань\(y\) вздовж вертикальної (або\(y\)) осі. (Або, звичайно, ви могли б однаково добре спочатку рухатися вертикально, а потім горизонтально.)

Рисунок\(\PageIndex{1}\): Вектор положення точки та її\(x\) та\(y\) компоненти (координати точки).\( \vec r\)

Величини\(x\) і\(y\) приймаються позитивними або негативними залежно від того, на якій стороні походження знаходиться точка. Як правило, ми завжди будемо починати з вибору позитивного напрямку для кожної осі, оскільки напрямок, вздовж якого збільшується алгебраїчне значення відповідної координати. Це часто вибирається праворуч для горизонтальної осі, і вгору для вертикальної осі, але немає нічого, що говорить, що ми не можемо вибрати іншу конвенцію, якщо вона виявиться більш зручною. На\(\PageIndex{1}\) малюнку стрілки на осях позначають позитивний напрямок для кожної. Йдучи по сітці, координати показаної точки складають\(x\) = 4 одиниці,\(y\) = 3 одиниці.

У двох-трьох вимірах (і навіть, в певному сенсі, в одному вимірі) координати точки можна інтерпретувати як складові вектора, який ми називаємо вектором положення точки, і позначаємо\(\vec r\) (іноді для векторів використовуються жирні літери, замість стрілки на top; у цьому випадку вектор позиції буде позначений r). Вектор - це математичний об'єкт із специфічними геометричними та алгебраїчними властивостями, який фізики використовують для представлення величини, яка має як величину, так і напрямок. Величина вектора положення на малюнку\(\PageIndex{1}\) - це всього лише довжина стрілки, тобто 5 одиниць довжини (за теоремою Піфагора довжина\(\vec r\), яку ми будемо часто писати, використовуючи абсолютні бари значення як\(|\vec{r}|\), дорівнює\( \sqrt{x^{2}+y^{2}} \)); це просто пряма -лінія відстань точки до початку. Напрямок\(\vec r\), з іншого боку, може бути вказаний кількома способами; загальною умовою є надання значення кута, який він робить з позитивною\(x\) віссю, яку я позначив на малюнку як\(\theta\) (у цьому випадку ви можете перевірити це\( \theta=\tan ^{-1}(y / x)=36.9^{\circ} \)). У трьох вимірах потрібно було б два кути, щоб повністю вказати напрямок\(\vec r\).

Як бачите, надання величини та напрямку\(\vec r\) - це спосіб знайти точку, яка повністю еквівалентна вказанню її координат\(x\) і\(y\). До того ж, координати\(x\) і\(y\) є способом задати вектор\(\vec r\), який повністю еквівалентний вказівці його величини і напрямку. Як я вже говорив вище, ми називаємо x і y складовими (а іноді, якщо бути більш конкретними, декартовими компонентами) вектора\(\vec r\). У певному сенсі всі вектори, які будуть введені пізніше цього семестру, отримають свої геометричні та алгебраїчні властивості з вектора позиції\(\vec r\), тому, як тільки ви знаєте, як поводитися з одним вектором, ви можете мати справу з ними усіма. Геометричні властивості (під якими я маю на увазі, як зв'язати компоненти вектора з його величиною та напрямком), які я щойно розглядав, і повернуся пізніше в цьому розділі, і знову в розділі 8; алгебраїчні властивості (як додати вектори та помножити їх на звичайні числа, які є називається скалярами в цьому контексті) Введу попутно.

Для перших кількох розділів цього семестру ми будемо в першу чергу стурбовані рухом в одному вимірі (тобто вздовж прямої лінії, назад або вперед), і в цьому випадку все, що нам потрібно, щоб знайти точку - це одне число, його\(x\) (або\(y\), або\(z\)) координата; тоді нам не потрібно особливо турбуватися про векторну алгебру. Як варіант, ми можемо просто сказати, що вектор в одному вимірі по суті такий же, як і його єдиний компонент, який є лише додатним або негативним числом (величина числа - це величина вектора, а його знак, що вказує на його напрямок), і має алгебраїчні властивості, які слідують природним шляхом від цього.

Опис руху, до якого ми прагнемо, полягає в тому, щоб знайти функцію часу\(x(t)\), яку ми позначаємо, що дає нам положення точки (тобто значення\(x\)) для будь-якого значення параметра часу,\(t\). (Див. Рівняння (\ ref {eq:10}), нижче, наприклад.) Пам'ятайте, що\(x\) означає число, яке може бути позитивним або негативним (залежно від сторони походження, на якій знаходиться точка), і має розміри довжини, тому, надаючи числове значення для нього, ви завжди повинні включати відповідні одиниці (метри, сантиметри, милі...). Аналогічно\(t\) позначає час, що минув з якогось більш-менш довільного «походження часу», або нульового часу. Зазвичай завжди\(t\) має бути позитивним, але в особливих випадках може мати сенс розглянути негативні часи (подумайте, як ми рахуємо роки: «AD» відповідав би «позитивному», а «BC» відповідав би негативному - різниця в тому, що насправді немає нульового року!). У будь-якому випадку,\(t\) також є число з розмірами, і його потрібно повідомляти з відповідними одиницями: секундами, хвилинами, годинами тощо.

Рисунок\(\PageIndex{2}\): Можливе положення та графік часу для об'єкта, що рухається в одному вимірі

Ми часто будемо зацікавлені в побудові позиції об'єкта як функції часу - тобто графіка функції\(x(t)\). Це може, в принципі, мати будь-яку форму, як ви можете бачити на малюнку\(\PageIndex{2}\) вище. У лабораторії у вас буде можливість використовувати датчик положення, який автоматично генерує графіки, подібні для вас на комп'ютері, для будь-якого рухомого об'єкта, на який ви націлюєте датчик положення. Тому важливо, щоб ви навчилися «читати» такі графіки. Наприклад, на малюнку\(\PageIndex{2}\) показано об'єкт, який починає, в той час\(t\) = 0, відстань 0,2 м і праворуч від початку (так\(x(0)\) = 0,2 м), потім рухається в негативному напрямку до\(x\) = −0,15 м, якого він досягає при\(t\) = 0,5 с; потім повертається назад і рухається в протилежному напрямку напрямок, поки не досягне точки\(x\) = 0,1 м, знову повертається і так далі. Фізично це може бути відстеження затухаючих коливань системи, такої як об'єкт, прикріплений до пружини і ковзання по поверхні, яка чинить на неї силу тертя (див. Приклад 11.5.1).

Водотоннажність

В одному вимірі зміщення об'єкта за заданий проміжок часу - це величина, яку ми позначаємо як\(\Delta x\), і дорівнює різниці між початковою та кінцевою позиціями об'єкта (в одному вимірі ми часто називаємо «координату позиції» просто «позицією», коротше кажучи):

\[ \Delta x=x_{f}-x_{i} \label{eq:1} \]

Тут індекс\(i\) позначає позицію об'єкта на початку розглянутого часового інтервалу, а індекс -\(f\) його положення в кінці інтервалу. Символ\(\Delta\) буде послідовно використовуватися протягом всієї цієї книги для позначення зміни кількості, що слідує за символом, що означає різницю між його початковим значенням і його кінцевим значенням. Сам часовий інтервал буде записаний як Δt і може бути виражений як

\[ \Delta t=t_{f}-t_{i} \]

де знову\(t_i\) і\(t_f\) початкові і кінцеві значення параметра часу (уявіть, наприклад, що ви читаєте час в секундах на цифровому годиннику, і вас цікавить зміна положення об'єкта між секундою 130 і секундою 132: потім\(t_i\) = 130 с,\(t_2\) = 132 с, а\(\Delta t\) = 2 с).

Ви можете потренуватися зчитувати зсуви з малюнка\(\PageIndex{2}\). Зсув між\(t_i\) = 0,5 с і\(t_f\) = 1 с, наприклад, становить 0,25 м (\(x_i\)= −0,15 м,\(x_f\) = 0,1 м). З іншого боку, між\(t_i\) = 1 с і\(t_f\) = 1,3 с зміщення\(\Delta x\) = 0 − 0,1 = −0,1 м

Зверніть увагу на дві важливі речі щодо переміщення. По-перше, він може бути позитивним або негативним. Позитивний означає, що об'єкт переміщений, загалом, в позитивному напрямку; негативний означає, що він перемістився, загалом, в негативному напрямку. По-друге, навіть коли воно позитивне, зміщення не завжди дорівнює відстані, пройденій об'єктом (відстань, звичайно, завжди визначається як позитивна величина), тому що якщо об'єкт «подвоюється» на своїх доріжках на деяку відстань, ця відстань не враховується до загального зміщення. Наприклад, знову подивившись на рисунок\(\PageIndex{2}\), між часом\(t_i\) = 0,5 с і\(t_f\) = 1,5 с об'єкт рухався спочатку на 0,25 м у позитивному напрямку, а потім 0,15 м у негативному напрямку, для загальної пройденої відстані 0,4 м; однак загальне переміщення становило всього 0,1 м.

Незважаючи на ці примхи, загальне зміщення математично є корисною величиною, тому що часто у нас буде спосіб (тобто рівняння) обчислити\(\Delta x\) для заданого інтервалу, а потім ми можемо переписати рівняння (\ ref {eq:1}), щоб він читав

\[ x_{f}=x_{i}+\Delta x .\]

Тобто, якщо ми знаємо, де почався об'єкт, і у нас є спосіб обчислити\(\Delta x\), ми можемо легко з'ясувати, де він закінчився. Приклади такого роду розрахунку ви побачите в домашньому завданні пізніше.

Розширення до двох вимірів

У двох вимірах запишемо зсув як вектор

\[ \Delta \vec{r}=\vec{r}_{f}-\vec{r}_{i} .\]

Компонентами цього вектора є лише відмінності координат позицій двох задіяних точок; тобто\( (\Delta \vec r)_x \) (індекс\(x\) тощо) є стандартним способом представлення\(x\),\(y\). компонент вектора) дорівнює\(x_f - x_i\) і аналогічно\(y\) \((\Delta \vec{r})_{y}=y_{f}-y_{i}\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Вектор зміщення для частинки, яка спочатку перебувала в точці з вектором положення\(\vec r_i\) і опинилася в точці з вектором положення,\(\vec r_f\) є різницею векторів положення.

Малюнок\(\PageIndex{3}\) показує, як це має сенс. \(x\)Складова на малюнку дорівнює\(\Delta x\) = 3 − 7 = −4 m;\(y\) складовою є\(\Delta y\) = 8 − 4 = 4 m. Це, в основному, показує, як віднімати (і, за розширенням, додати, оскільки\( \vec{r}_{f}=\vec{r}_{i}+\Delta \vec{r}\)) вектори: ви просто віднімаєте (або додаєте) відповідні компоненти.\(\Delta \vec r\) Зверніть увагу, як за теоремою Піфагора довжина (або величина) вектора зміщення дорівнює прямолінійній відстані між початковою точкою та кінцевою точкою, так само, як і в одному вимірі; звичайно, частинка могла б фактично піти зовсім іншим шляхом від початкового до\( |\Delta \vec{r}| = \sqrt{\left(x_{f}-x_{i}\right)^{2}+\left(y_{f}-y_{i}\right)^{2}} \) кінцева точка, а тому пройшла різну відстань.

Швидкість

Середня швидкість

Якщо ви їдете з Фейетвіля до Форт-Сміта за 50 хвилин, ваша середня швидкість для поїздки розраховується діленням відстані 59,2 миль на часовий проміжок:

\[ \text { average speed }=\frac{\text { distance }}{\Delta t}=\frac{59.2 \: \mathrm{mi}}{50 \: \mathrm{min}}=\frac{59.2 \: \mathrm{mi}}{50 \: \mathrm{min}} \times \frac{60 \: \mathrm{min}}{1 \: \mathrm{hr}}=71.0 \: \mathrm{mph} \label{eq:5} \]

(Це рівняння, до речі, також показує вам, як конвертувати одиниці, і як ви очікуєте працювати зі значними цифрами в цьому семестрі: емпіричне правило полягає в тому, що зберігайте чотири значущі цифри у всіх проміжних розрахунках і повідомте три в кінцевому результаті).

Спосіб, яким ми визначаємо середню швидкість, схожий на середню швидкість, але з однією важливою відмінністю: ми використовуємо зміщення, а не відстань. Отже, середня швидкість\(v_{av}\) об'єкта, що рухається по прямій, за часовий проміжок\(\Delta t\) дорівнює

\[ v_{a v}=\frac{\Delta x}{\Delta t} \label{eq:6} .\]

Це визначення має всі переваги і примхи самого зміщення. З одного боку, він автоматично постачається зі знаком (тим самим знаком, що і зміщення, оскільки завжди\(\Delta t\) буде позитивним), який говорить нам, в якому напрямку ми подорожували. З іншого боку, це може бути не точна оцінка нашої середньої швидкості, якщо ми взагалі подвоїмося назад. У самому крайньому випадку для поїздки в обидва кінці (виїхати з Фейетвіля і повернутися до Фейетвіля) середня швидкість дорівнювала б нулю, оскільки\(x_f = x_i\) і, отже,\(\Delta x\) = 0.

Зрозуміло, що ця концепція взагалі не буде дуже корисною, якщо об'єкт, який ми відстежуємо, має шанс подвоїтися назад у часовому інтервалі\(\Delta t\). Спосіб запобігти цьому, а також отримати більш осмислену оцінку швидкості об'єкта в будь-яку хвилину, полягає в тому, щоб зробити часовий інтервал дуже маленьким. Це призводить до нової концепції миттєвої швидкості.

Миттєва швидкість

Визначимо миттєву швидкість об'єкта («частинки»), в той час\(t = t_i\), як математичну межу

\[ v=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \label{eq:7} .\]

Сенс цього полягає в наступному. Припустимо, ми обчислюємо співвідношення\(\Delta x/\Delta t\) протягом послідовно менших часових інтервалів\(\Delta t\) (всі вони починаються одночасно\(t_i\)). Наприклад, ми можемо почати з виготовлення\(t_f = t_i + 1\: s\), потім спробувати\(t_f = t_i + 0.5 \: s\), потім\(t_f = t_i + 0.1 \: s\), і так далі. Природно, оскільки часовий проміжок стає меншим, відповідне зміщення також стане меншим - частка має все менше часу, щоб відійти від початкового положення\(x_i\). Надія полягає в тому, що послідовні співвідношення\(\Delta x/\Delta t\) зійдуться до певного значення: тобто, що в якийсь момент ми почнемо отримувати дуже схожі значення, і що за певний момент, роблячи менше, не змінить\(\Delta t\) жодної зі значущих цифр результату, який ми дбаємо про. Цим граничним значенням є миттєва швидкість руху об'єкта в момент часу\(t_i\).

Коли ви думаєте про це, є щось майже трохи суперечливе в концепції миттєвої швидкості. Ви не можете (на практиці) визначити швидкість об'єкта, якщо все, що вам дано, є буквальним миттєвим. Ви навіть не можете сказати, чи рухається об'єкт, якщо все, що у вас є, це одна мить! Рух вимагає не однієї миті, проходження часу. Насправді всі «миттєві» швидкості, які ми можемо виміряти, за допомогою будь-якого приладу, завжди є дійсно середніми швидкостями, тільки середня береться за дуже короткі проміжки часу. Тим не менш, справа в тому\(x(t)\), що для будь-якої досить добре поведеної функції положення межа в Equation (\ ref {eq:7}) математично чітко визначена, і вона дорівнює тому, що ми називаємо в численні похідною функції\(x(t)\):

\[ v=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{d x}{d t} \label{eq:8} .\]

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Нахил зеленого відрізка - це середня швидкість для\(\Delta t\) показаного часового інтервалу. Як\(\Delta t\) стає менше, це наближається до нахилу дотичної в точці\((t_i, x_i)\)

Насправді для цієї величини є приємна геометрична інтерпретація: а саме, це нахил прямої дотичної до\(t\) кривої\(x\) -vs- в точці,\((t_i, x_i)\). Як\(\PageIndex{4}\) показано на малюнку, середня швидкість\(\Delta x/\Delta t\) - це нахил (підйом над прогоном) відрізка лінії, проведеного від точки\((t_i, x_i)\) до точки\((t_f, x_f)\) (зелена лінія на малюнку). Оскільки ми робимо часовий інтервал менше,\(t_f\) наблизивши\(t_i\) (а значить, і\(x_f\) ближче до\(x_i\)), нахил цього відрізка буде наближатися до нахилу дотичної лінії в\((t_i, x_i)\) (синя лінія), і це буде, за визначенням (\ ref {eq:7}), миттєвим швидкість в цій точці.

Ця геометрична інтерпретація дозволяє легко отримати якісне відчуття від графіка позиції-vs-time, коли частинка рухається більш-менш швидко. Великий схил означає крутий підйом або падіння, і саме тоді швидкість буде найбільшою за величиною. Крутий підйом означає велику позитивну швидкість, тоді як крутий падіння означає велику негативну швидкість, під якою я маю на увазі швидкість, яка задається від'ємним числом, яке є великим за абсолютним значенням. Надалі, щоб спростити речення, подібні до цього, я просто використовую слово «швидкість» для позначення величини (тобто абсолютного значення) миттєвої швидкості. Таким чином, швидкість (як і відстань) завжди є позитивним числом, за визначенням, тоді як швидкість може бути позитивною або негативною; а крутий нахил (позитивний або негативний) означає, що швидкість там велика.

І навпаки, дивлячись на зразки\(x\) -vs-\(t\) графіків у цій главі, ви можете помітити, що бувають випадки, коли тангенс горизонтальний, тобто він має нульовий нахил, і тому миттєва швидкість в ті часи дорівнює нулю (наприклад, в той час\(t\) = 1,0 с на малюнку\(\PageIndex{2}\)). Це має сенс, коли ви думаєте про те, що частинка насправді робить в ті особливі часи: вона просто змінює напрямок, тому її швидкість переходить, наприклад, від позитивної до негативної. Те, як це відбувається, це сповільнюється, знижується... швидкість стає все меншою і меншою, а потім, лише на мить (буквально, математичний момент часу), вона стає нульовою перед тим, як наступна мить, йде негативною.

Ми повернемося до цього «читання графіків» в лабораторії та домашньому завданні, а також у наступному розділі, коли введемо поняття прискорення.

Рух з постійною швидкістю

Якщо миттєва швидкість об'єкта ніколи не змінюється, це означає, що він завжди рухається в одному напрямку з однаковою швидкістю. У такому випадку миттєва швидкість і середня швидкість збігаються, а це означає, що ми можемо записати\(v = \Delta x/ \Delta t\) (де розмір інтервалу тепер\(\Delta t\) може бути чим завгодно), і переписати це рівняння у вигляді

\[ \Delta x = v \Delta t \label{eq:9} \]

який такий же, як

\[ x_{f}-x_{i}=v\left(t_{f}-t_{i}\right) \nonumber \]

Тепер припустимо, що ми зберігаємо\(t_i\) постійну (тобто ми фіксуємо початковий момент), але дозволяємо час\(t_f\) змінюватися, тому ми просто напишемо\(t\) для довільного значення\(t_f\), і\(x\) для відповідного значення\(x_f\). Ми закінчуємо рівнянням

\[ x-x_{i}=v\left(t-t_{i}\right) \nonumber \]

який ми також можемо написати як

\[ x(t)=x_{i}+v\left(t-t_{i}\right) \label{eq:10}\]

після деякої перестановки, і де позначення\(x(t)\) було введено, щоб підкреслити, що ми хочемо думати про функцію\(t\).\(x\) Це, не дивно, рівняння прямої лінії - «кривої», яка є власною дотичною і завжди має однаковий нахил.

(Будь ласка, переконайтеся, що вас не бентежать позначення в Рівнянні (\ ref {eq:10}). Дужки навколо\(t\) на лівій стороні означають, що ми розглядаємо позицію\(x\) як функцію\(t\). З іншого боку, дужки навколо кількості з правого\(t − t_i\) боку означають, що ми множимо цю величину на\(v\), яка є постійною тут. Ця відмінність буде особливо важливою, коли ми введемо функцію\(v(t)\) далі.)

Або одне з рівнянь (\ ref {eq:9}) або (\ ref {eq:11}) може бути використано для вирішення задач, пов'язаних з рухом з постійною швидкістю, і ви знову побачите приклади цього в домашньому завданні.

Рух зі зміною швидкості

Якщо швидкість змінюється з часом, отримання виразу для положення об'єкта як функції часу може бути нетривіальним завданням. У наступному розділі ми вивчимо важливий особливий випадок, а саме, коли швидкість змінюється з постійною швидкістю (постійне прискорення).

Для найбільш загального випадку графічний метод, який іноді корисний, є наступним. Припустимо, що ми знаємо функцію\(v(t)\), і ми графуємо її, як на малюнку\(\PageIndex{5}\) нижче. Тоді площа під кривою між будь-якими двома моментами, скажімо\(t_f\),\(t_i\) і, дорівнює загальному зміщенню об'єкта за цей проміжок часу.

Ідея, що бере участь, відома в обчисленні як інтеграція, і вона йде наступним чином. Припустимо, що я ламаю

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Як отримати зсув з області під\(t\) кривою\(v\) -vs-.

вниз інтервал від\(t_i\) до\(t_f\) в однаково розташовані підінтервали, починаючи з того часу\(t_i\) (який я, еквівалентно, збираюся називати\(t_1\), тобто\(t_{1} \equiv t_{i}\), так що у мене зараз\(t_1\),,\(t_2\),\(t_3\),... \(t_f\)). Тепер припустимо, що я розглядаю рух об'єкта через кожен субінтервал так, ніби це рух з постійною швидкістю, швидкість якої на початку субінтервалу. Це, звичайно, лише наближення, так як швидкість постійно змінюється; але, якщо подивитися на малюнок, можна переконати себе\(\PageIndex{5}\), що вона стане кращим і кращим наближенням, оскільки я збільшу кількість проміжних точок і прямокутники, зображені на малюнку, стають більш вузькими і вужчий. У цьому наближенні зміщення протягом першого субінтервалу буде

\[ \Delta x_{1}=v_{1}\left(t_{2}-t_{1}\right) \label{eq:11} \]

де\(v_1 = v(t_1)\); аналогічно\(\Delta x_2 = v_2(t_3 − t_2)\), і так далі.

Однак Equation (\ ref {eq:11}) - це лише площа першого прямокутника, показаного під кривою на малюнку\(\PageIndex{5}\) (основа прямокутника має «довжину»\(t_2 − t_1\), а його висота дорівнює\(v_1\)). Аналогічно для другого прямокутника і так далі. Таким чином, сума\(\Delta x_1+\Delta x_2+...\) є як наближенням до площі під\(v\) -vs-\(t\) кривою, так і наближенням до повного зміщення\(\Delta t\). Оскільки підрозділ стає тоншим і тоншим, а прямокутники вужчими і вузькими (і більш численними), обидва наближення стають все більш точними. В межі «нескінченно багатьох», нескінченно вузьких прямокутників ви отримуєте і повне зміщення, і площа під кривою точно, і вони обидва рівні один одному. Математично ми б написали

\[ \Delta x=\int_{t_{i}}^{t_{f}} v(t) d t \label{eq:12} \]

де стилізована «S» (для «сума») з правого боку є символом операції, відомої як інтеграція в обчислення. Це, по суті, зворотний процес, відомий як диференціація, за допомогою якого ми отримали функцію швидкості від функції позиції, повернувшись до Equation (\ ref {eq:8}).

Цей графічний метод для отримання зміщення від функції швидкості іноді корисний, якщо ви можете оцінити площу під\(t\) графіком\(v\) -vs- достовірно. Важливим моментом, який слід пам'ятати, є те, що прямокутники під горизонтальною віссю (відповідні негативним швидкостям) повинні бути додані як мають негативну площу (оскільки відповідне зміщення є негативним); див. Приклад 1.5.1 в кінці цієї глави.

Розширення до двох вимірів

У двох (або більше) вимірах ви визначаєте вектор середньої швидкості як вектор\(v_{av,x} = \Delta x/ \Delta t\),\(v_{av,y} = \Delta y/ \Delta t\) складовими\(\vec v_{av}\) якого є і так далі (де\(\Delta x\),\(\Delta y\),... є відповідними компонентами вектора зміщення\(\Delta \vec r \)). Це може бути записано еквівалентно як одновекторне рівняння

\[ \vec{v}_{a v}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} \label{eq:13} .\]

Це говорить вам про те, як помножити (або розділити) вектор на звичайне число: ви просто помножте (або ділите) кожен компонент на це число. Зверніть увагу, що, якщо число, про яке йде мова, позитивне, ця операція зовсім не змінює напрямок вектора, вона просто масштабує його вгору або вниз (саме тому звичайні числа, в даному контексті, називаються скалярами). Якщо скаляр негативний, напрямок вектора перевертається в результаті множення. Оскільки\(\Delta t\) при визначенні швидкості завжди позитивна, то випливає, що вектор середньої швидкості завжди вказує в тому ж напрямку, що і зміщення, що має сенс.

Щоб отримати миттєву швидкість, ви просто берете межу виразу (\ ref {eq:13}) як\(\Delta t \rightarrow 0\), для кожного компонента окремо. Отриманий вектор\(\vec v\) має складові\(v_x = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \) і т.д., які також можна записати як\(v_x = dx/dt, v_y = dy/dt\),...

Всі результати, отримані вище, тримають для кожного просторового виміру та відповідної йому швидкісної складової. Наприклад, графічний метод, показаний на малюнку, завжди\(\PageIndex{5}\) може бути використаний, щоб отримати,\(\Delta x\) якщо функція\(v_x(t)\) відома, або еквівалентно отримати,\(\Delta y\) якщо ви знаєте\(v_y(t)\), і так далі.

Введення вектора швидкості в цій точці викликає трохи нотаційної складності. Для таких величин\(\Delta x\), як\(x\) і, цілком очевидно, що вони є\(x\) компонентами векторів\(\vec r\) і\(\Delta \vec r\) відповідно; однак, кількість, яку ми досі називали, просто\(v\) повинна бути більш правильно позначена як\(v_x\) (або\(v_y\) якщо рух - уздовж\(y\) осі). Насправді існує угода, що якщо ви використовуєте символ для вектора без стрілки зверху або будь-яких\(x\),\(y\),. індексів, ви повинні мати на увазі величину вектора. Однак у цій книзі я вирішив не дотримуватися цієї конвенції, принаймні, поки ми не дійдемо до глави 8 (і навіть тоді я буду використовувати її лише для сил). Це тому, що ми будемо витрачати більшу частину нашого часу, займаючись рухом лише в одному вимірі, і це робить позначення надмірно громіздким, щоб продовжувати писати\(x\) або\(y\) індекси на кожному компоненті кожного вектора, коли у вас дійсно є лише один вимір, про який потрібно турбуватися в першому. місце. Так\(v\) буде, по всьому, посилатися на відповідний компонент вектора швидкості, щоб бути виведені з контексту, поки ми не дійдемо до глави 8 і насправді потрібно мати справу як з, так\(v_x\) і з\(v_y\) явно.

Нарешті, зверніть увагу, що величина вектора швидкості\(|\vec{v}|=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}\), дорівнює миттєвій швидкості, так як\(\Delta t \rightarrow 0\), як і величина вектора зміщення, стає фактичною відстані\(|\Delta vec r |\), пройденої об'єктом в часовому інтервалі\(\Delta t\).