22.7: Приклади проблем та їх вирішення

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Квадратна петля з дроту з довжиною сторони,\(L\), несе струм\(I\), як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Що таке магнітне поле в центрі петлі?

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Квадратний контур струму.

Відповідь

Квадратна петля просто робиться з чотирьох прямих відрізків дроту довжини,\(L\). Магнітне поле з кожної секції дроту знаходиться на сторінці, яке можна легко перевірити правою рукою (великим пальцем у напрямку струму пальці скручуються в напрямку отриманого магнітного поля).

Магнітне поле в центрі всього в чотири рази перевищує магнітне поле, вироблене одним сегментом, який ми визначили в цій главі. Магнітне поле в центрі петлі, таким чином, в чотири рази більше магнітного поля на відстані\(h = \frac{L}{2}\), від дроту довжиною,\(L\):

\[\begin{aligned} B=4\times\frac{\mu_{0}I}{2\pi\frac{L}{2}}\frac{L/2}{\sqrt{\frac{L^{2}}{4}+\frac{L^{2}}{4}}}=2\sqrt{2}\frac{\mu_{0}I}{\pi L} \end{aligned}\]

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Котушки Гельмгольца являють собою розташування двох паралельних петель струму, які виробляють майже рівномірне магнітне поле. Котушки Гельмгольца утворені двома однаковими круговими петлями радіусом\(R\), що несуть однаковий струм\(I\), де центри котушок розділені відстанню\(R\), як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\). Визначте магнітне поле як функцію\(z\), вздовж осі симетрії котушок, де початок знаходиться на півдорозі між двома котушками. Складіть графік магнітного поля як функції\(z\) від кожної котушки, а також загального електричного поля, щоб показати, що воно близьке до рівномірного між котушками.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Розташування котушки Гельмгольца.

Відповідь

Ми знаємо, що магнітне поле на відстані\(h\), від центру петлі струму, уздовж його осі симетрії задається:

\[\begin{aligned} B(h)=\frac{\mu_{0}I}{2}\frac{R^{2}}{(R^{2}+h^{2})^{\frac{3}{2}}} \end{aligned}\]Для двох котушок в конфігурації Гельмгольца магнітне поле від кожної котушки буде в одному напрямку. У центрі дві котушки розташовані за адресою\(z = ±\frac{R}{2}\). Таким чином, якщо ми знаходимося в положенні\(z\), то уздовж\(z\) осі одна котушка буде знаходитися на відстані\(z +\frac{R}{2}\), а інша на відстані\(z −\frac{R}{2}\). Потім загальне магнітне поле як функція\(z\) задається:\[\begin{aligned} B^{tot}(z)&=B\left(z+\frac{R}{2}\right)+B\left(z+\frac{R}{2}\right) \\ &= \frac{\mu_{0}I}{2}\frac{R^{2}}{(R^{2}+(z+\frac{R}{2})^{2})^{\frac{3}{2}}}+\frac{\mu_{0}I}{2}\frac{R^{2}}{(R^{2}+(z-\frac{R}{2})^{2})^{\frac{3}{2}}} \end{aligned}\] Ми можемо побудувати цю функцію, а також два окремі терміни за допомогою python. Для отримання інформації ми показуємо код нижче. Для того щоб скласти графік, нам потрібно вибрати деякі розумні значення радіуса котушок і струму через котушки, наприклад:

• \(R=0.3\text{m}\)
• \(I=0.1\text{A}\)

Код Python 22.7.1: Чисельне інтегрування функції

#Import the modules that we need:
import numpy as np
import pylab as pl

#Define some constants:
mu0 = 4*np.pi*1e-7 #4 pi
I = 0.5
R = 0.3

#Define the values on the z axis, from -2R to +2r, in 100 increments
z = np.linspace(-2*R,2*R,100)

#Determine the magnetic field from the coils at those values of z
#The coil at z=-R/2:
B1 = (mu0*I)/2 * R**2/((R**2+(z+R/2)**2)**(3/2))
#The coil at z=+R/2:
B2 = (mu0*I)/2 * R**2/((R**2+(z-R/2)**2)**(3/2))
#The sum:
B = B1 + B2

#Make the plot
p1.figure(figsize=(10,6))
p1.plot(z,B1,label='Coil at z=-R/2')
p1.plot(z,B2,label='Coil at z=+R/2')
p1.plot(z,B,label='Total')
p1.legend()
p1.xlabel('z position [m]')
p1.ylabel('Magnetic field [T]')
p1.show()

Вихід 22.7.1:

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Магнітне поле від кожної котушки, а також їх сума, для двох котушок в конфігурації Гельмгольца.

Як рекламується, ми бачимо область між котушками Гельмгольца, де магнітне поле майже рівномірне.