22.5: Резюме

Ключові виноси

Магнітні поля створюються рухомими зарядами. Закон Біот-Саварта дозволяє визначити нескінченно мале магнітне поле\(d\vec B\), яке виробляється струмом\(I\), що протікає в нескінченно малому перерізі дроту,\(d\vec l\):

\[\begin{aligned} d\vec B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{d\vec l\times\hat r}{r^{2}} \end{aligned}\]

де\(\mu_{0}\) - константа, яка називається проникністю вільного простору. Вектор\(\vec r\) вказує від дротяного елемента\(d\vec l\), до точки, в якій ми хочемо визначити магнітне поле. Для того щоб визначити магнітне поле з кінцевого дроту, потрібно підсумувати (інтегрувати) внески, які надходять від кожної секції дроту. Часто простіше працювати з законом Біот-Саварта, написаним без одиничного вектора,\(\hat r\):

\[\begin{aligned} d\vec B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{d\vec l\times\vec r}{r^{3}} \end{aligned}\]

Магнітне поле на відстані\(h\), від нескінченно довгого дроту, що несе струм\(I\), задається:

\[\begin{aligned} B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi h} \end{aligned}\]

Магнітне поле з прямого струмоведучого дроту утворює концентричні кола, зосереджені навколо дроту. Напрямок магнітного поля задається правилом правої руки для осьових векторів; великим пальцем, спрямованим у напрямку струму, пальці скручуються в напрямку магнітного поля.

Величина магнітного поля, відстань\(h\), від центру круглої петлі дроту радіусом\(R\), що несе струм\(I\), по осі симетрії петлі задається:

\[\begin{aligned} B=\frac{\mu_{0}I}{2}\frac{R^{2}}{(R^{2}+h^{2})^{\frac{3}{2}}} \end{aligned}\]

Напрямок магнітного поля можна знайти і за допомогою правого правила для осьових струмів. При цьому, якщо пальці скручуються в напрямку струмової петлі, великий палець вказує в ту ж сторону, що і магнітне поле в центрі петлі.

Два паралельних дроти, що несуть струми\(I_{2}\),\(I_{1}\) і, розділені на відстань\(h\), будуть чинити рівні і протилежні сили один на одного з величиною:

\[\begin{aligned} F=\frac{\mu_{0}I_{1}I_{2}}{2\pi h} \end{aligned}\]

Сила приваблива, якщо два струми течуть в одному напрямку і відштовхують інакше.

Закон Ампера є аналогом магнетизму Закону Гауса. Як і закон Гауса, він вимагає високого ступеня симетрії, щоб застосовуватися аналітично, хоча він завжди дійсний. Закон Ампера пов'язує циркуляцію магнітного поля навколо замкнутого шляху до струму, укладеного цим шляхом:

\[\begin{aligned}\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_{0}I^{enc} \end{aligned}\]

Для того, щоб застосувати Закон Ампера, ми повинні спочатку вибрати амперський цикл, за яким обчислити інтеграл замкнутого шляху (замість вибору поверхні Гаусса для обчислення потоку електричного поля на замкнутій поверхні). Інтеграл циркуляції буде просто оцінити, якщо:

1. Кут між\(\vec B\) і\(d\vec l\) є постійним уздовж шляху, так що:

\[\begin{aligned} \oint\vec B\cdot d\vec l=\oint Bdl\cos\theta =\cos\theta\oint Bdl \end{aligned}\]

де\(θ\) - кут між\(\vec B\) і\(d\vec l\).

2. \(\vec B\)Величина постійна по шляху, так що:

\[\begin{aligned} \cos\theta\oint Bdl=B\cos\theta\oint dl \end{aligned}\]

Струм, укладений\(I^{enc}\), відповідає чистому струму, який перетинає поверхню, визначену петлею Амперія (замкнутий шлях завжди визначає поверхню).

Закон Ампера простий у використанні в ситуаціях з високим ступенем симетрії, таких як нескінченно довгі дроти, що несуть струм.

Соленоїди утворюються шляхом об'єднання багатьох петель струму разом, з метою формування сильного і однорідного магнітного поля. Магнітне поле всередині соленоїда має величину:

\[\begin{aligned} B=\mu_{0}nI \end{aligned}\]

де,\(I\), - струм в соленоїді, а\(n\), - кількість петель на одиницю довжини в соленоїді. Магнітне поле поза соленоїдом дорівнює нулю, і, як правило, магнітне поле незначне поза соленоїдом.

Тороїд утворюється шляхом згинання соленоїда в коло з утворенням тора. Лінії магнітного поля всередині тороїда утворюють концентричні кола. Магнітне поле зменшується з радіусом всередині тороїда і однаково нульовим скрізь поза тороїдом.

Важливі рівняння

Закон Біот-Саварта:

\[\begin{aligned} d\vec B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{d\vec l\times\hat r}{r^{2}}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{d\vec l\times\vec r}{r^{3}} \end{aligned}\]

Магнітне поле від скінченного дроту:

\[\begin{aligned} B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi h} \end{aligned}\]

Магнітне поле від нескінченно довгого дроту:

\[\begin{aligned} B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi h} \end{aligned}\]

Магнітне поле з кругового контуру струму:

\[\begin{aligned} B=\frac{\mu_{0}I}{2}\frac{R^{2}}{(R^{2}+h^{2})^{\frac{3}{2}}} \end{aligned}\]

Сила між двома проводами:

\[\begin{aligned} F=\frac{\mu_{0}I_{1}I_{2}}{2\pi h} \end{aligned}\]

Закон Ампера:

\[\begin{aligned} \oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_{0}I^{enc} \end{aligned}\]