22.4: Соленоїди та тороїди

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75090

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Для того щоб створити сильні магнітні поля, найбільш практичним методом є об'єднання багатьох петель струму разом в «соленоїд» (котушку). Електромагніти функціонують за цим принципом і повсюдно поширені в нашому житті. \(\PageIndex{1}\)На малюнку показано магнітне поле з одного контуру струму.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Магнітне поле з одного контуру струму.

При зведенні декількох петель струму близько один до одного, як на малюнку\(\PageIndex{2}\), магнітне поле всередині соленоїда стає рівномірним, а магнітне поле відразу за межами соленоїда наближається до нуля.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Оскільки множинні петлі струму зводяться разом, утворюючи соленоїд, магнітне поле всередині соленоїда стає рівномірним, а поле поза соленоїдом наближається до нуля.

Ми можемо використовувати Закон Ампера для визначення напруженості магнітного поля всередині соленоїда, при припущенні, що магнітне поле рівномірне в обсязі соленоїда і нуль просто зовні. Розглянемо соленоїд з струмом\(I\), що проходить через нього, що містить\(n\) петлі на одиницю довжини. Для того щоб визначити магнітне поле\(B\), всередині соленоїда, розглянемо прямокутну петлю амперіана, abcd, довжини\(l\), проілюстровану на рис\(\PageIndex{3}\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Ми використовуємо Закон Ампера з прямокутним контуром для оцінки сили магнітного поля всередині соленоїда.

Для того, щоб оцінити циркуляцію магнітного поля навколо петлі, abcd, ми ділимо петлю вгору на сегменти, і оцінюємо інтеграл шляху (\(\int\vec B\cdot d\vec l\)) над кожним сегментом, потім складаємо їх разом, щоб отримати інтеграл по замкнутому шляху:

\[\begin{aligned} \oint_{abcd} \vec{B}\cdot d\vec l=\int_{a}^{b}\vec B\cdot d\vec l+\int_{b}^{c}\vec B\cdot d\vec l+\int_{c}^{d}\vec B\cdot d\vec l+\int_{d}^{a}\vec B\cdot d\vec l \end{aligned}\]

Над кожним відрізком вектор\(d \vec l\) буде паралельний цьому відрізку. Тільки останній термін - ненульовий. Інтеграли над сегментами\(ab\) і\(cd\) дорівнюють нулю, оскільки магнітне поле перпендикулярно до\(d \vec l\) цих сегментів (тому скалярний добуток дорівнює нулю). Інтеграл над сегментом\(bc\) дорівнює нулю, оскільки магнітне поле дорівнює нулю безпосередньо за межами соленоїда. Інтеграл над останнім відрізком, де\(d \vec l\) і\(\vec B\) паралельні, просто задається:

\[\begin{aligned} \oint_{abcd}\vec B\cdot d\vec l=\int_{d}^{a}\vec B\cdot d\vec l=B\int_{d}^{a}dl=Bl \end{aligned}\]

так як довжина відрізка є\(l\), а магнітне поле постійне за величиною.

Для того щоб застосувати Закон Ампера, ми повинні визначити струм, який укладений в нашу амперську петлю. Так як прямокутна петля має довжину\(l\), то вона буде укладати\(N = nl\) петлі струму\(I\), так як є\(n\) петлі на одиницю довжини. Таким чином, замкнутий струм є\(I^{enc} = nlI\). Застосовуючи закон Ампера, знаходимо магнітне поле всередині соленоїда:

\[\begin{aligned} \oint \vec B\cdot d\vec l&=\mu_{0}I^{enc} \\ Bl&=\mu_{0}nIl \end{aligned}\]

\[\therefore B=\mu_{0}nI\quad\text{(Field inside a solenoid)}\]

що не залежить від нашого (довільного) вибору виготовлення петлі ампера з довільною довжиною\(l\). На практиці, коли соленоїди використовуються як електромагніти, вони, як правило, заповнюються феромагнітним матеріалом, який буде намагнічуватися, коли є струм, що призводить до більш сильного магнітного поля. Зазвичай це робиться шляхом намотування дроту навколо залізного стрижня.

Зверніть увагу, що якщо ми продовжимо петлю Амперіана так, щоб нижній сегмент також знаходився поза соленоїда\(\PageIndex{4}\), як на малюнку, легко показати, що магнітне поле безпосередньо за межами соленоїда повинно бути нулем. Дійсно, в цьому випадку існує однакова кількість струмів, що виходять зі сторінки, як там йдуть на сторінку, так що чистий струм, який укладений в петлю Ампера (чистий струм, який перетинає площину петлі) однаково нуль, так що циркуляція повинна бути нульовою, маючи на увазі, що магнітне поле дорівнює нулю безпосередньо за межами соленоїда.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Продовжуючи петлю Амперіана в обидві сторони соленоїда, робимо висновок, що магнітне поле безпосередньо поза соленоїдом повинно бути нулем, оскільки чистий струм, укладений, дорівнює нулю.

Тороїд можна розглядати як соленоїд, який був зігнутий у формі кола (а точніше, тора), як показано на малюнку\(\PageIndex{5}\). Усередині тороида магнітне поле утворює концентричні кола (не показано).

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Амперська петля радіуса\(r\) для визначення магнітного поля всередині тороїда. Зверніть увагу, що магнітне поле всюди за межами тороида повинно бути нульовим (подумайте про струм, укладений амперськими петлями).

Знову ж таки, ми можемо використовувати Закон Ампера, щоб визначити напруженість магнітного поля всередині тороїда. Розглянемо кругову амперську петлю радіуса\(r\), яка проілюстрована на малюнку\(\PageIndex{5}\). Так як магнітне поле паралельно петлі Амперіал всюди вздовж петлі, а магнітне поле не змінює величини (по симетрії), циркуляція задається:

\[\begin{aligned} \oint\vec B\cdot d\vec l=B(2\pi r) \end{aligned}\]

Якщо тороид містить\(N\) петлі струму, то замкнутий струм задається\(I^{enc} = NI\), так як петля Ампера включає в себе\(N\) раз струм,\(I\) що виходить з сторінки. Закон Ампера таким чином дає величину магнітного поля як:

\[\begin{aligned} \oint\vec B\cdot d\vec l&=\mu_{0}I^{enc} \\ B(2\pi r)&=\mu_{0}NI \\ \therefore B&=\frac{\mu_{0}NI}{2\pi r} \end{aligned}\]

який зменшується за величиною зі збільшенням радіуса, поки ми знаходимося всередині тороїда. Легко показати, використовуючи амперські петлі, які або менші, або більші, ніж тороїд, що магнітне поле скрізь поза тороїда рівно нуль (оскільки ці амперські петлі не будуть охоплювати чистий струм). У тороїді лінії магнітного поля утворюють замкнуті кола. Для соленоїда має існувати магнітне поле десь поза соленоїда, щоб лінії поля всередині соленоїда закрилися. Зазвичай ми можемо ігнорувати їх, якщо соленоїд довгий, оскільки поле зовні буде дуже слабким, і дуже близько до нуля дуже близько соленоїда (як ми показали із законом Ампера вище).

Вправа\(\PageIndex{1}\)

На\(\PageIndex{5}\) малюнку магнітне поле робить концентричні кола. В якому напрямку вказують лінії полів? :

ГоДИННИКОВА СТРІЛКА
Проти годинникової стрілки.
Вгору.
Недостатньо інформації, щоб розповісти.

Відповідь