22.3: Закон Ампера

Закон Ампера схожий на Закон Гауса, оскільки дозволяє нам (аналітично) визначати магнітне поле, яке виробляється електричним струмом в конфігураціях, що мають високий ступінь симетрії. Закон Ампера говорить:

\[\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_{0}I^{enc}\]

де інтеграл зліва - це «інтеграл шляху», подібно до того, як ми обчислюємо роботу, виконану силою над певним шляхом. Знак кола на інтегралі означає, що це інтеграл над «замкнутим» контуром; шлях, де початкова і кінцева точки однакові. \(I^{enc}\)це чистий струм, який перетинає поверхню, яка визначається замкнутим шляхом, який часто називають «струмом, укладеним» шляхом. Це відрізняється від Закону Гауса, де інтеграл знаходиться над замкнутою поверхнею (а не замкнутим шляхом, як це тут). У контексті Закону Гауса ми маємо на увазі «обчислення потоку електричного поля через замкнуту поверхню»; в контексті Закону Ампера ми маємо на увазі «розрахунок циркуляції магнітного поля по замкнутому шляху».

Ми застосовуємо Закон Ампера приблизно так само, як ми застосовуємо Закон Гауса.

Застосування закону Ампера

1. Складіть хорошу схему, визначте симетрії.
2. Виберіть замкнутий шлях, по якому слід обчислити циркуляцію магнітного поля (дивіться нижче, як вибрати шлях). Шляху часто називають «амперською петлею» (подумайте «гаусова поверхня»).
3. Оцініть інтеграл циркуляції.
4. Визначте, скільки струму «укладено» петлею Амперіана.
5. Застосовуйте закон Ампера.

Аналогічно Закону Гауса нам потрібно вибрати шлях (замість поверхні), по якому ми будемо оцінювати інтеграл. Інтеграл буде легко оцінити, якщо:

1. Кут між\(\vec B\) і\(d\vec l\) є постійним уздовж шляху, так що:

\[\begin{aligned} \oint\vec B\cdot d\vec l=\oint Bdl\cos\theta=\cos\theta\oint Bdl \end{aligned}\]

де\(\theta\) - кут між\(\vec B\) і\(d\vec l\).

2. \(\vec B\)Величина постійна по шляху, так що:

\[\begin{aligned} \cos\theta\oint Bdl=B\cos\theta\oint dl \end{aligned}\]

Вибір шляху, який відповідає цим двом умовам, можливий тільки при наявності високого ступеня симетрії.

Розглянемо нескінченно довгий прямий провід, що несе струм\(I\), з сторінки, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Магнітне поле від дроту повинно виглядати однаково незалежно від кута, з якого ми розглядаємо провід («азимутальна симетрія»). Таким чином, магнітне поле повинно або утворювати концентричні кола навколо дроту (що, як ми знаємо, є у випадку із Закону Біот-Саварта), або воно повинно бути в радіальному напрямку (спрямоване на дріт або подалі від нього). Ці дві можливості проілюстровані на малюнку\(\PageIndex{1}\), і ми наразі зробимо вигляд, що ми не знаємо, що правильно.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): За симетрії магнітне поле від струмоведучого нескінченного проводу (ілюстровано струмом, що виходить з сторінки), повинно або утворювати концентричні кола (ліва панель), або знаходитися в радіальному напрямку (права панель). Ми знаємо, що перший (кола, ліва панель) - правильний вибір. Пунктирні лінії показують «амперські петлі», які можна використовувати для обчислення інтеграла в законі Ампера.

Для того, щоб застосувати Закон Ампера, вибираємо амперську петлю (замість «гаусової поверхні»). У випадку з нескінченним струмоведучим проводом концентричний з проводом коло буде відповідати властивостям вище, незалежно від двох можливих конфігурацій магнітного поля: при круговому амперському контурі кут між магнітним полем і елементом\(d\vec l\) постійний уздовж весь контур, а величина магнітного поля постійна по петлі. Наш вибір петлі проілюстрований на малюнку\(\PageIndex{2}\), де ми проілюстрували магнітне поле для випадку, коли воно утворює концентричні кола.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Амперська петля, яка є окружністю радіуса\(h\), дозволить визначити магнітне поле на відстані\(h\), від нескінченно довгого струмоведучого дроту.

Циркуляція магнітного поля по круговому шляху радіуса\(h\), задається:

\[\begin{aligned} \oint\vec B\cdot d\vec l=\oint Bdl\cos\theta =\cos\theta\oint Bdl=B\cos\theta\oint dl=B\cos\theta (2\pi h) \end{aligned}\]

де\(\cos θ\) є\(1\) якщо поле утворює кола (правильно) або\(0\) якщо поле радіальне (неправильне). Тепер ми можемо оцінити струм, який укладений петлею Амперіана. Струм, який укладається, задається чистим струмом, який проходить поверхню, визначену петлею Амперія (в даному випадку коло радіуса\(h\)). Так як шлейф охоплює весь провід, то приєднаний струм просто,\(I\). Застосування закону Ампера:

\[\begin{aligned} \oint\vec B\cdot d\vec l&=\mu_{0}I^{enc} \\ B\cos\theta (2\pi h)&=\mu_{0}I \end{aligned}\]

У цей момент зрозуміло, що cos θ не може бути нулем, оскільки права частина рівняння не дорівнює нулю. Таким чином, ми можемо зробити висновок, що магнітне поле дійсно повинно складати концентричні кола, як ми раніше визначали. Величина магнітного поля задається:

\[\begin{aligned} B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi h} \end{aligned}\]

як ми з'ясували раніше із Законом Біот-Саварта. Знову ж таки, за аналогією із Законом Гауса, потрібно застосувати деякі знання про симетрію та аргументувати, в якому напрямку має вказувати магнітне поле, щоб ефективно використовувати Закон Ампера.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Закон Ампера доводить, що магнітне поле в центрі струмоведучого контуру дорівнює нулю, оскільки немає замкнутого струму:

1. Правда.
2. Помилковий

Відповідь

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Довгий суцільний рівномірний кабель радіусу\(R\),\(I\), несе струм, з щільністю струму, рівномірною через перетин кабелю. Визначте напруженість магнітного поля в залежності від відстані від центру кабелю, всередині і зовні кабелю.\(r\)

Рішення:

В цьому випадку нам потрібно визначити магнітне поле як всередині, так і зовні кабелю. \(\PageIndex{3}\)На малюнку показані дві кругові амперські петлі, які ми можемо використовувати для застосування закону Ампера для визначення магнітного поля всередині та зовні кабелю.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Дві кругові амперські петлі для визначення величини магнітного поля всередині і зовні струмоведучого кабелю радіусом,\(R\) (при рівномірному струмі, що виходить з сторінки).

За симетрії та після обговорення в цьому розділі ми знаємо, що магнітне поле повинно утворювати концентричні кола, як всередині, так і зовні кабелю. Зовні кабелю діємо тим же способом, що і вище, вибираючи амперську петлю радіусу\(r > R\), такий, щоб циркуляція задавалася:

\[\begin{aligned} \oint\vec B\cdot d\vec l=B2\pi r \end{aligned}\]

Весь кабель укладений шлейфом, так що приєднаний струм був,\(I\). Таким чином, Закон Ампера дає:

\[\begin{aligned} \oint\vec B\cdot d\vec l&=\mu_{0}I^{enc} \\ B(2\pi r)&=\mu_{0}I \\ \therefore B&=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}\quad(r\geq R) \end{aligned}\]

Всередині кабелю циркуляційний інтеграл навколо кругової траєкторії радіуса\(r < R\), однаковий:

\[\begin{aligned} \oint\vec B\cdot d\vec l=B2\pi r \end{aligned}\]

Однак в цьому випадку менша амперська петля не охоплює весь струм, що протікає по кабелю. Нам кажуть, що щільність струму\(j\), рівномірна в кабелі. Таким чином, ми можемо визначити струм на одиницю площі (тобто щільність струму), який протікає через весь кабель, і використовувати його, щоб визначити, скільки струму протікає через поверхню з площею\(πr^{2}\), яка визначається петлею Амперія:

\[\begin{aligned} j&=\frac{I}{A}=\frac{I}{\pi R^{2}} \\ \therefore I^{enc}&=j(\pi r^{2})=\frac{I}{\pi R^{2}}(\pi r^{2})=I\frac{r^{2}}{R^{2}} \end{aligned}\]

Нарешті, ми можемо застосувати Закон Ампера для визначення величини магнітного поля всередині кабелю:

\[\begin{aligned} \oint\vec B\cdot d\vec l&=\mu_{0}I^{enc} \\ B(2\pi r)&=\mu_{0}I\frac{r^{2}}{R^{2}} \\ \therefore B&=\frac{\mu_{0}I}{2\pi R^{2}}r \end{aligned}\]

і знаходимо, що магнітне поле дорівнює нулю в центрі кабелю (r = 0), і збільшується лінійно аж до краю кабелю\((r = R)\).

Обговорення:

У цьому прикладі ми використовували Закон Ампера для моделювання напруженості магнітного поля всередині і зовні струмоведучого кабелю. Для того щоб застосувати Закон Ампера всередині кабелю, ми врахували, що тільки частка струму укладена в петлю Ампера. Ця задача аналогічна застосуванню Закону Гауса для визначення електричного поля всередині і зовні рівномірно зарядженої сфери.

Інтерпретація закону Ампера та векторного числення

У цьому розділі ми обговорюємо Закон Ампера в контексті векторного числення та наводимо іншу перспективу, здебільшого для інформаційних цілей. Інтеграл, який фігурує в Законі Ампера, називається «циркуляцією» векторного поля,\(\vec B\):

\[\begin{aligned} \oint\vec B\cdot d\vec l \end{aligned}\]

Тираж, як випливає з його назви, є мірою «скільки обертань є в полі». Щоб візуалізувати це, уявіть, що векторне поле - це поле швидкості для точок у рідині. Області рідини, де мало вирів (так звані «вихрові»), відповідають областям поля з ненульовою циркуляцією (знак інтеграла говорить нам напрямок обертання, використовуючи правильні правила для осьових векторів). Приклади полів з тиражем і без нього наведені на рисунку\(\PageIndex{4}\). Ви дізнаєтеся, що статичні електричні заряди створюють електричні поля без циркуляції (права панель), тоді як статичні струми створюють магнітні поля з циркуляцією.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Приклади полів з (ліва панель) і без (права панель) циркуляції, оцінені вздовж замкнутого контуру, показаного пунктирною лінією.

Закон Ампера - це, таким чином, твердження про те, що електричний струм призведе до поля з величиною, пропорційною струму, що має деяку ступінь обертання до нього. Напрямок обертання цього поля відповідає правилу правої руки для осьових векторів, застосованих до струму (великий палець вказує у напрямку струму так, щоб пальці скручувалися у напрямку обертання пов'язаного поля).

Циркуляція, як визначено інтегралом над замкнутим контуром, не є локальною властивістю поля, оскільки вона залежить від того, що поле робить в цілому по шляху циклу. Так само, як можна отримати «локальну» версію Закону Гауса, можна також отримати локальну версію Закону Ампера, використовуючи методи вдосконаленого векторного обчислення (які виходять за рамки цього підручника).

Теорема Стокса дозволяє перетворити інтеграл циркуляції (інтеграл шляху на замкнутому контурі) в інтеграл над (відкритою) поверхнею, який визначається циклом:

\[\begin{aligned} \oint_{C}\vec Bd\vec l=\int_{S}(\nabla\times\vec B)\cdot d\vec A \end{aligned}\]

де індекс\(C\) вказує на те, що інтеграл знаходиться над одновимірним шляхом, тоді як індекс\(S\) вказує на те, що інтеграл знаходиться над двовимірною поверхнею. Термін\(∇ × \vec B\), називається «завиток» магнітного поля і є локальною мірою величини обертання в полі. Застосування теореми Стокса до закону Ампера дає:

\[\begin{aligned} \oint\vec B\cdot d\vec l&=\mu_{0}I^{enc} \\ \int_{S}(\nabla\times\vec B)\cdot d\vec A=\mu_{0}I^{enc} \end{aligned}\]

Зауважимо, що ми також можемо записати струм\(I^{enc}\), який укладений петлею як інтеграл щільності струму\(\vec j\), над поверхнею, визначеною петлею:

\[\begin{aligned} I^{enc}=\int_{S}\vec j\cdot d\vec A \end{aligned}\]

Таким чином, ми можемо записати Закон Ампера з інтегралами над тією ж поверхнею по обидва боки рівняння, маючи на увазі, що інтеграли повинні бути однаковими:

\[\begin{aligned} \int_{S}(\nabla\times\vec B)\cdot d\vec A=\mu_{0}\int_{S}\vec j\cdot d\vec A \end{aligned}\]

\[\therefore\nabla\times\vec B=\mu_{0}\vec j\]

Це останнє рівняння тепер пов'язує локальну властивість (щільність струму) до магнітного поля в цій точці і є звичайною формою, в якій представлений Закон Ампера (так звана «диференціальна форма», а не «інтегральна форма»).

Завиток магнітного поля\(∇ × \vec B\), являє собою вектор, який задається наступним:

\[\begin{aligned} \nabla\times\vec B=\left(\frac{\partial B_{z}}{\partial y}-\frac{\partial B_{y}}{\partial z} \right)\hat x+\left(\frac{\partial B_{x}}{\partial z}-\frac{\partial B_{z}}{\partial x} \right)\hat y +\left( \frac{\partial B_{y}}{\partial x}-\frac{\partial B_{x}}{\partial y} \right)\hat z \end{aligned}\]

а назва «завиток» вибирається тому, що це міра величини обертання (завитка) в полі. У диференційній формі Закон Ампера можна читати так: «щільність струму створить (магнітне) поле, яке має ненульовий завиток».

Оскільки Закон Ампера в диференціальній формі є векторним рівнянням (обидві сторони є векторами), він дійсно відповідає трьом рівнянням в декартових координатах, по одному на компонент. Наприклад,\(x\) складовою рівняння є «рівняння з частинними похідними» для\(y\) і\(z\) складових магнітного поля:

\[\begin{aligned} \left(\frac{\partial B_{z}}{\partial y}-\frac{\partial B_{y}}{\partial z} \right)=\mu_{0}j_{x} \end{aligned}\]

що взагалі важко вирішити без комп'ютера (і потрібні всі три рівняння, так як вони «пов'язані», так як задана складова магнітного поля з'являється в двох з трьох рівнянь).