22.1: Закон Біот-Саварта

Закон Біот-Саварта дозволяє визначити магнітне поле в деякому положенні в просторі, яке відбувається за рахунок електричного струму. Точніше, закон Біот-Саварта дозволяє обчислити нескінченно мале магнітне поле\(d\vec B\), тобто виробляється невеликим перетином дроту\(d\vec l\), що\(d\vec l\) несе струм\(I\), такий, який співлінійний з проводом і вказує в напрямку електричного струму:

\[d\vec B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{d\vec l\times\hat r}{r^{2}}\]

де\(\vec r\), - вектор від елемента дроту, до точки\(d\vec l\), де ми хотіли б визначити магнітне поле, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). \(µ_{0}\)є константою пропорційності, яка називається «проникністю вільного простору», і має значення\(µ_{0} = 4π × 10^{−7}\text{T} ·\text{m/A}\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Нескінченно мале магнітне поле\(d\vec B\), тобто створюється нескінченно малим перетином дроту\(d\vec l\), що несе струм\(I\). Зверніть увагу, що вектор\(\vec r\), йде від\(d\vec l\) точки, де ми хочемо обчислити поле.

Закон Біота Савара має деяку схожість із Законом Кулона для обчислення електричного поля, оскільки величина магнітного поля зменшується у міру зворотного квадратного відстані між джерелом та полем. Однак він може бути виражений лише в диференційній формі (тобто як нескінченно малий), і він вимагає роботи в трьох вимірах, через перехресний добуток. Зазвичай зручніше використовувати Закон Біот-Саварта у вигляді:

\[\begin{aligned}d\vec B = \frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{d\vec l\times \vec r}{r^{3}} \end{aligned}\]

де вектор одиниці\(\hat r\) був замінений на\(\vec r/r\).

Порядок застосування Закону «Біот-Саварт» виглядає наступним чином:

HowTo: Застосування закону «Біот-Саварт»

1. Складіть дійсно хорошу діаграму, оскільки вам доведеться включити деякі аспекти 3D.
2. Вибираємо нескінченно малий перетин дроту,\(d\vec l\).
3. Визначте вектор\(\vec r\).
4. Визначте перехресний добуток\(d\vec l ×\vec r\), який буде вказувати в напрямку магнітного поля від того нескінченно малого перерізу дроту.
5. Випишіть нескінченно малий вектор\(d\vec B\), і визначте його складові.
6. Подумайте про симетрію! Як ви підсумуєте\(d\vec B\), чи скасують деякі компоненти? Якщо так, вам не потрібно робити ці інтеграли.
7. Визначити сумарне магнітне поле, складове за компонентами, шляхом підсумовування (інтеграції) компонентів\(d\vec B\) по проводу.

Магнітне поле від прямого струмоведучого дроту

У цьому розділі ми використовуємо Закон Біот-Саварта для визначення магнітного поля на відстані\(h\), від центру кінцевого прямого дроту довжиною,\(L\) що несе струм\(I\), як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Налаштування моделі на використання закону Біота Саварта для обчислення магнітного поля на відстані\(h\) від центру струмоведучого дроту довжиною\(L\).

Починаємо з вибору нескінченно малого елемента дроту\(d\vec l\), відстань y вище центру дроту, як показано (вибираємо початок, яке буде розташоване в центрі проводу). Вектор\(d\vec l\), таким чином, задається:

\[\begin{aligned}d\vec l=dl\hat y \end{aligned}\]

Вектор\(\vec r\), від\(d\vec l\) до точки, в якій ми хотіли б знати магнітне поле, задається:

\[\begin{aligned} \vec r&=r\cos\theta\hat x-r\sin\theta\hat y \\ r&=\sqrt{h^{2}+y^{2}}=\frac{h}{\cos\theta} \end{aligned}\]

Перехресний\(d\vec l\)\(\vec r\) добуток між і легко знайти правилом правої руки, щоб вказати на сторінку (відповідає негативному\(z\) напрямку). Величина перехресного добутку задається:

\[\begin{aligned} ||d\vec l ×\vec r|| = dlr \sin φ \end{aligned}\]

\(φ = π/2 + θ\)де кут між\(d\vec l\) і\(\vec r\), так що\(\sin φ = \cos θ\). Таким чином, крос-продукт може бути написаний\(θ\) таким чином:

\[\begin{aligned} d\vec l ×\vec r = −dlr \cos θ\hat z \end{aligned}\]

Зауважте, що ми також можемо визначити перехресний добуток алгебраїчно замість того, щоб використовувати правило правої руки та величину:

\[\begin{aligned} d\vec l\times\vec r &=(dl\vec y)\times (r\cos\theta\hat x-r\sin\theta\hat y) \\ &=dlr\cos\theta(\hat y\times\hat x)-rdl\sin\theta(\hat y\times\hat y) \\ &=-dlr\cos\theta\hat z \end{aligned}\]

Нескінченно малий елемент магнітного поля\(d\vec B\), задається:

\[\begin{aligned} d\vec B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{d\vec l\times\vec r}{r^{3}}=-\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{dl\cos\theta}{r^{2}}\hat z \end{aligned}\]

Будь-який відрізок уздовж дроту призведе до появи магнітного поля, яке знаходиться в сторінці (негативний\(z\) напрямок), таким чином не буде ніяких скасувань через будь-які симетрії. Тепер можемо приступати до виконання інтеграла.

Ми можемо використовувати\(θ\) або\(y\) для маркування дротяних елементів та здійснити інтеграцію. Ми вирішимо інтегрувати понад\(θ\), вимагаючи від нас висловити\(dl\) і\(r\) з точки зору\(θ\) (і констант), оскільки це єдині величини\(d\vec B\), які залежать від положення\(d\vec l\). Для того щоб висловити\(dl\) в терміні\(dθ\), ми спочатку ставимося\(θ\) до того\(y\), як положення дротяного елемента:

\[\begin{aligned}y=h\tan\theta \rightarrow dl=dy=\frac{dy}{d\theta}d\theta = \frac{h}{\cos ^{2}\theta}d\theta \end{aligned}\]

і\(r\) дається:

\[\begin{aligned} r=\frac{h}{\cos\theta}\rightarrow\frac{1}{r^{2}}=\frac{\cos ^{2}\theta}{h^{2}} \end{aligned}\]

Вкладаючи це взагалі в\(d\vec B\):

\[\begin{aligned} d\vec B=-\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{dl\cos\theta}{r^{2}}\hat z =-\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\left( \frac{h}{\cos ^{2}\theta}d\theta\right)\left(\frac{\cos ^{2}\theta}{h^{2}}\right)\cos\theta\hat z=-\frac{\mu_{0}I}{4\pi h}\cos\theta d\theta\hat z=dB_{z}\hat z \end{aligned}\]

Ми визначаємо кут\(θ_{0}\), щоб бути максимальною амплітудою кута\(θ\) при інтеграції по дроту (див. Рис.\(\PageIndex{2}\)), так що ми інтегруємо\(θ\) від\(−θ_{0}\) до\(+θ_{0}\):

\[\begin{aligned} B_{z}=\int_{-\theta_{0}}^{+\theta_{0}} dB_{z}=-\frac{\mu_{0}I}{4\pi h}\int_{-\theta_{0}}^{+\theta_{0}}\cos\theta d\theta =-\frac{\mu_{0}I}{4\pi h}(2\sin\theta_{0})=-\frac{\mu_{0}I}{2\pi h}\sin\theta_{0} \end{aligned}\]

Використовуючи задані розміри:

\[\begin{aligned} \sin\theta_{0}=\frac{L/2}{\sqrt{h^{2}+\frac{L^{2}}{4}}} \end{aligned}\]

Таким чином, магнітне поле, відстань\(h\), від центру дроту довжини,\(L\) що несе струм\(I\), в позитивному\(y\) напрямку задається:\(\vec B\)

\[\vec B=-\frac{\mu_{0}I}{2\pi h}\frac{L/2}{\sqrt{h^{2}+\frac{L^{2}}{4}}}\quad\text{(finite wire)}\]

Магнітне поле повинно бути обертально симетричним; тобто, якщо провід вертикальний, магнітне поле на відстані h повинно виглядати однаково незалежно від кута, з якого ми розглядаємо вертикальний провід (ми завжди повинні бачити магнітне поле, що йде в сторінку в точці, яку ми використовуємо на малюнку\(\PageIndex{2}\)). Таким чином, лінії магнітного поля повинні утворювати кола навколо дроту, як показано на малюнку\(\PageIndex{3}\). Зверніть увагу, що напрямок магнітного поля задається правилом правої руки для осьових векторів; при вирівнюванні великого пальця з струмом пальці скручуються в напрямку магнітного поля.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Магнітне поле від струмоведучого дроту утворює концентричні кола, зосереджені на дроті.

Особливий інтерес представляє дослідити граничний випадок нескінченно довгого дроту\(L → ∞\), в межах або еквівалентно\(θ_{0} → \frac{π}{2}\). Останній найпростіше оцінити, так як\(\sin θ_{0} → 1\). Величина магнітного поля, відстань\(\vec B\), від нескінченного проводу\(h\), що несе струм\(I\), задається:

\[B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi h}\quad\text{(infinite wire)}\]

Часто можна зробити наближення, що провід нескінченний по довжині, коли відстань\(h\),,, невелика в порівнянні з довжиною\(L\), дроту.

Магнітне поле від кругового струмоведучого дроту

У цьому розділі оглядаємо магнітне поле, яке створюється круговим струмоведущим контуром дроту. Ми можемо визначити форму магнітного поля, розглядаючи невеликі ділянки як прямі дроти, з круговими лініями магнітного поля навколо них. Коли ми рухаємося ближче до центру кільця, ці поля сумуються разом, як показано на малюнку\(\PageIndex{4}\). Зверніть увагу, що магнітне поле від петлі струму ідентично такому від стрижневого магніту (як стрижневий магніт - це, звичайно, сукупність струмових петель).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Магнітне поле від струмоведучої петлі дроту можна розглядати як суму полів від невеликих прямих ділянок дроту.

Нижче ми використовуємо Закон Біот-Саварта, щоб вивести вираз для величини магнітного поля на відстані\(h\), від центру кільця радіуса\(R\), вздовж його осі симетрії, коли є струм\(I\), в кільці. Хоча математика набагато простіше, ніж у випадку з прямим проводом, завдання в цьому випадку полягає в тому, щоб візуалізувати розрахунок в трьох вимірах! \(\PageIndex{5}\)На малюнку показана петля струму, а також наш вибір системи координат (з початком в центрі кільця). Зокрема, ми хочемо обчислити магнітне поле на відстані\(h\), уздовж\(z\) осі. \(x\)Вісь переходить на сторінку.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Діаграма для застосування закону Біот-Саварта з метою визначення магнітного поля вздовж осі симетрії кільця, що несе струм,\(I\). \(x\)Вісь переходить на сторінку.

Для того, щоб застосувати Закон Біот-Саварта, ми вибираємо елемент дроту у верхній частині кільця, як показано на ілюстрації.\(d\vec l\) У цій позиції елемент вказує в позитивну\(x\) сторону (на сторінку):\(d\vec l\)

\[\begin{aligned} d\vec l=dl\hat x \end{aligned}\]

Вектор\(\vec r\), від дротяного елемента до точки, де ми хочемо визначити магнітне поле, задається:

\[\begin{aligned}\vec r=-r\sin\theta\hat y+r\cos\theta\hat z \end{aligned}\]

і кут\(θ\) буде однаковим для всіх дротяних елементів по кільцю. Крос-добуток\(d\vec l ×\vec r\), може бути оцінений алгебраїчно:

\[\begin{aligned} d\vec l\times\vec r&=(dl\hat x)\times(-r\sin\theta\hat y+r\cos\theta\hat z) \\ &=-rdl\sin\theta(\hat x\times\hat y)+rdl\cos\theta (\hat x\times\hat z) \\ &=-rdl\sin\theta\hat z +rdl\cos\theta (-\hat y) \\ &=-rdl\sin\theta\hat z-rdl\cos\theta\hat y \end{aligned}\]

так що елемент магнітного поля\(d\vec B\), відповідний такому вибору\(d\vec l\), буде лежати в\(y − z\) площині, як показано на малюнку\(\PageIndex{5}\). Зверніть увагу, що вектор\(d\vec B\) перпендикулярний вектору\(\vec r\) (оскільки він є перехресним добутком\(\vec r\) з іншим вектором). Елемент магнітного поля\(d\vec B\),, задається:

\[\begin{aligned} d\vec B&=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{d\vec l\times\vec r}{r^{3}}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi r^{3}}(-rdl\sin\theta\hat z-rdl\cos\theta\hat y) \\ &=\frac{\mu_{0}I}{4\pi r^{2}}(-dl\sin\theta\hat z-dl\cos\theta\hat y)=dB_{z}\hat z+dB_{y}\hat y \end{aligned}\]

У міру того, як дротяний елемент\(d\vec l\), переміщається по колу, кінчик отриманого магнітного поля векторного елемента простежує коло по центру\(z\) осі, як показано на малюнку\(\PageIndex{6}\). Зверніть увагу, що, в загальному, теж\(d\vec B\) буде мати\(x\) компонент. Таким чином, тільки\(z\) складова магнітного поля не буде скасована, коли ми підсумуємо разом елементи магнітного поля, які надходять від різних дротяних елементів.

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Як дротяний елемент\(d\vec l\), рухається вздовж кільця, кінчик відповідного вектору елемента магнітного поля\(d\vec B\), описує коло, центрований на\(z\) осі. Таким чином, тільки (негативний)\(z\) компонент виживе, коли всі вони\(d\vec B\) будуть складені разом.

Сумарне магнітне поле буде знаходитися в негативному\(z\) напрямку, як передбачалося на рис\(\PageIndex{4}\). Підсумовуючи разом\(z\) складові нескінченно малих магнітних полів:

\[\begin{aligned} dB_{z}&=-\frac{\mu_{0}I}{4\pi r^{2}}dl\sin\theta \\ B_{z}&=\int dB_{z}=-\int \frac{\mu_{0}I}{4\pi r^{2}}dl\sin\theta \end{aligned}\]

Зверніть увагу, що в цьому випадку обидва\(r\) і\(θ\) є постійними для всіх\(d\vec l\), що дозволяє нам вивести їх з інтеграла. Інтеграл тоді є лише сумою елементів dl, які повинні скласти до окружності кільця:

\[\begin{aligned} B_{z}=\int dB_{z}=-\frac{\mu_{0}I}{4\pi r^{2}}\sin\theta \int_{0}^{2\pi R}dl =-\frac{\mu_{0}I}{4\pi r^{2}}\sin\theta (2\pi R)=-\frac{\mu_{0}I}{2r^{2}}R\sin\theta \end{aligned}\]

З точки зору змінних, які нам даються:

\[\begin{aligned} r&=\sqrt{R^{2}+h^{2}} \\ \sin\theta &=\frac{R}{r}=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+h^{2}}} \end{aligned}\]

\[\therefore\vec B=-\frac{\mu_{0}I}{2}\frac{R^{2}}{(R^{2}+h^{2})^{\frac{3}{2}}}\hat z\quad\text{(field from a loop of current)}\]

У цьому випадку математика була відносно простою (без замін для оцінки інтеграла), однак важко візуалізувати проблему в трьох вимірах.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Котушка виконана з\(N\) петель струмоведучого дроту, упакованих впритул один до одного. Що таке магнітне поле в центрі котушки?

1. \(\frac{µ_{0}I}{2R}\)
2. \(\frac{Nµ_{0}I}{2R}\)
3. \(\frac{Nµ_{0}I}{2R^{2}}\)
4. \(\frac{µ_{0}I}{R}\)

Відповідь