21.9: Приклади проблем та їх вирішення

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Електронно-променева трубка в телевізорі прискорює електрон за допомогою різниці потенціалів\(\Delta V=500\text{V}\). The electron must be deflected upwards by a distance \(h=3\text{cm}\) using a uniform magnetic field, \(\vec B\), before striking the phosphorescent screen, which is a distance \(d= 5\text{cm}\) away. What direction and magnitude must the magnetic field have in order to steer the electron towards its destination?

Відповідь

Спочатку визначаємо швидкість електрона, які були прискорені над різницею потенціалів\(\Delta V=500\text{V}\). Їх кінетична енергія задається їх зарядом разів різницею\[\begin{aligned} K &= e\Delta V \\ \frac{1}{2} mv^2 &= e\Delta V\\ \therefore v &= \sqrt{\frac{2e\Delta V}{m}}= \sqrt{\frac{2(1.602\times 10^{-19}\text{C})(500\text{V})}{(9.109\times 10^{-31}\text{kg})}}\\ &= 1.326\times 10^{7}\text{ms}^{-1}\end{aligned}\] потенціалів:: Тепер, коли ми маємо швидкість, ми повинні визначити напрямок магнітного поля. Ми знаємо, що електрон рухається безпосередньо до фосфоресцентного екрану (який ми визначимо як\(\vec x\)), і електрон повинен відхилятися безпосередньо вгору (що ми визначимо як\(\vec z\)). Знаючи це, ми можемо скористатися правилом правої руки, щоб швидко визначити, що магнітна сила буде діяти в\(-\vec y\) напрямку.

В області з магнітним полем електрон буде піддаватися рівномірному круговому руху з радіусом, що дається радіусом циклотрона,\(R\):\[\begin{aligned} R=\frac{mv}{qB}\end{aligned}\]

Таким чином, нам потрібно визначити радіус цього кола, щоб електрон прибув до потрібного місця на екрані. Розріз кола, навколо якого рухається електрон, проілюстрований на малюнку\(\PageIndex{1}\).

Рисунок\(\PageIndex{1}\): Прогин електрона, що рухається в однорідному магнітному полі.

З геометрії та теореми Піфагора ми маємо:\[\begin{aligned} R^2 &= (R-h)^2+d^2\\ R^2 &= R^2-2Rh+h^2+d^2\\ \therefore R &= \frac{h^2+d^2}{2h}=\frac{(3\text{cm})^2+(5\text{cm})^2}{2(3\text{cm})}=5.67\text{cm}\end{aligned}\] Напруженість магнітного поля потім задається:\[\begin{aligned} B&=\frac{mv}{qR}=\frac{(9.11\times 10^{-31}\text{kg})(1.326\times 10^{7}\text{ms}^{-1})}{(1.6\times 10^{-19}\text{C})(0.0567\text{m})}=0.00135\text{T}\end{aligned}\]

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Гальванометр має квадратну котушку з довжиною сторони\(a=2.5\text{cm}\) and \(N=70\) loops between two magnets which generate a radial magnetic field of \(B=8\text{mT}\). When a current runs through the coil, it generates a torque which is opposed by a spring with a torsional spring constant of \(\kappa = 1.5\times 10^{-8}\text{Nmrad}^{-1}\). If the deflection of the galvanometer’s needle is \(0.7\), what is the current running through the coil?

Відповідь

По-перше, ми визначимо магнітний дипольний момент квадратної котушки:\[\begin{aligned} \mu &= NIA\\ \mu &=NIa^2\end{aligned}\] Тепер, коли у нас є магнітний дипольний момент, ми можемо обчислити крутний момент на квадратній котушці, яка виробляється магнітним полем. Зверніть увагу, що в гальванометрі магнітне поле налаштоване таким чином, що воно радіальне і завжди перпендикулярно магнітному дипольному моменту котушки:\[\begin{aligned} \tau_B &= N\mu B sin(90^{\circ})= NIa^2B\\\end{aligned}\] Прогин\(\theta\), для даного струму буде відбуватися, коли крутний момент, вироблений дротом, дорівнює крутному моменту, виробленому весняний. Крутний момент, вироблений пружиною, задається:\[\begin{aligned} \tau_s =\kappa \theta\end{aligned}\] де\(\theta\) вимірюється в радіанах. Вищевказане рівняння є обертальним еквівалентом закону Гука. Прирівнявши крутний момент від пружини і від магнітного поля, можна визначити струм:\[\begin{aligned} \tau_B&=\tau_S\\ NIa^2B &= \kappa \theta\\ I &= \frac{\kappa \theta}{Na^2B} = \frac{(1.5\times 10^{-8}\text{Nm(rad)}^{-1}) (0.7\text{rad})}{70(0.025\text{m})^2(8\times 10^{-3}\text{T})}\\ &= 30\mu\text{A}\end{aligned}\]

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Інтегруйте рівняння\(d\vec F = Id\vec l \times \vec B\) over a circular path to show that the torque exerted on a circular loop of radius, \(R\), carrying current, \(I\), immersed in a uniform magnetic field, \(\vec B\), has a magnitude given by \(\tau=\mu B\), where \(\vec \mu\) is the magnetic dipole moment of the loop. You may simplify the problem by modeling the loop when its magnetic moment is perpendicular to the magnetic field.

Відповідь

Малюнок\(\PageIndex{2}\) ілюструє петлю радіуса\(R\), що несе струм,\(I\). Петля знаходиться в\(x-z\) площині, і є магнітне поле\(\vec B\), в негативному\(x\) напрямку. Налаштувавши петлю таким чином, легше візуалізувати деякі тривимірні аспекти.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Струмоведуча петля в магнітному полі.

Розглянемо нескінченно малий ділянку петлі, з довжиною\(dl\), розташований на петлі в положенні, позначеному кутом\(\theta\), як показано на малюнку. Вектор,\(d\vec l\), задається:\[\begin{aligned} d\vec l = dl (-\sin\theta \hat x + \cos\theta \hat z)\end{aligned}\] Магнітна сила на цьому елементі петлі задається:\[\begin{aligned} d\vec F &=Id\vec l \times \vec B\\ &=Idl(-\sin\theta \hat x + \cos\theta \hat z) \times (-B\hat x)\\ &=-IBdl\cos\theta (\hat z \times \hat x)\\ &=-IBdl\cos\theta\hat y\end{aligned}\] і сила на цьому елементі дроту знаходиться поза сторінкою (негативний\(y\) напрямок), як показано на ілюстрації. Ця нескінченно мала сила створить нескінченно малий крутний момент:\[\begin{aligned} d\vec \tau = \vec r \times d\vec F\end{aligned}\] де\(\vec r\) вектор від осі обертання (через центр петлі, паралельний\(z\) осі) до точки, де чиниться сила. Довжина вектора, просто\(\vec r\)\(r=R\cos\theta\), а сила перпендикулярна вектору\(\vec r\). Таким чином, крутний момент на нескінченно малому елементі задається:\[\begin{aligned} d\vec \tau &= \vec r \times d\vec F= (R\cos\theta \hat x)\times (-IBdl\cos\theta\hat y)\\ &=-IBR\cos^2\theta dl (\hat x \times \hat y)=-IBR\cos^2\theta dl \hat z\end{aligned}\] а крутний момент на цьому нескінченно малому елементі знаходиться в\(z\) негативному напрямку, як передбачається від напрямку сили. Зверніть увагу, що якби ми вважали петлю орієнтованою таким чином, що магнітне поле не знаходиться в площині петлі, вектор\(\vec r\) в крутному моменті мав би складову в\(y\) напрямку.

Ми можемо підсумувати крутні моменти на кожному елементі циклу, від\(\theta = 0\) до\(\theta=2\pi\). Ми можемо висловити довжину\(dl\), використовуючи нескінченно малий кут\(d\theta\), який підпорядковує дугу довжини\(dl\), на окружність радіуса,\(R\):\[\begin{aligned} dl = Rd\theta\end{aligned}\]

Потім чистий крутний момент задається:\[\begin{aligned} \vec \tau &= \int d\vec \tau=\int -IBR\cos^2\theta dl \hat z= (-IBR^2\hat z)\int_0^{2\pi} \cos^2\theta d\theta =(-IBR^2\hat z)\pi\end{aligned}\] Магнітний момент петлі:\[\begin{aligned} \mu = IA = I\pi R^2\end{aligned}\] так що крутний момент дійсно задається\(\tau = \mu B\). Якби ми повернули цикл так, що вектор\(\vec r\), мав\(y\) компонент, то ми б знайшли загальну формулу з перехресним добутком.