21.4: Крутний момент на струмоведучому контурі

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75342

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Теми рецензування

Секція 11.3 про крутний момент.
Розділ 16.4 на електричних диполах.

Як зазначається в прикладі 21.3.1, чиста магнітна сила на будь-якому замкнутому контурі, зануреному в однорідне магнітне поле, дорівнює нулю. Розглянемо, наприклад, струмоведучу прямокутну петлю висоти\(h\), а ширини\(w\), занурену в однорідне магнітне поле\(\vec B\), як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\) (зверніть увагу, що поле не перпендикулярно площині петлі, як це було в Приклад 21.3.1).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Прямокутна петля, що несе струм проти годинникової стрілки в однорідному магнітному

Магнітна сила на двох горизонтальних ділянках дроту дорівнює нулю, так як струм співлінійний з магнітним полем по цих ділянках. У лівій вертикальній секції (з струмом, що протікає вниз), магнітна сила знаходиться поза сторінкою (позитивний\(z\) напрямок), і задається:\[\begin{aligned} \vec F = IhB\hat z\end{aligned}\] Аналогічно, сила на правій вертикальній ділянці (з струмом, що протікає вгору) матиме таку ж величину, але протилежний напрямок. Чиста сила на петлі, таким чином, дорівнює нулю.

Однак чистий крутний момент на петлі навколо його вертикальної осі симетрії (показаний вертикальної пунктирною лінією на малюнку) не дорівнює нулю. Загальний крутний момент знаходять шляхом підсумовування крутних моментів від сил,\(\vec r\) що діють на два вертикальних ділянки дроту:\[\begin{aligned} \vec \tau &= \vec r\times \vec F + (-\vec r \times - \vec F)\\ &= 2 \vec r \times F = 2 \left(-\frac{w}{2}\hat x\right) \times IhB\hat z = IBwh (-\hat x\times \hat z)\\ \therefore \vec \tau&=IBwh (\hat y)\end{aligned}\] де вектор від осі обертання до місця, де чиниться сила.

Магнітний дипольний момент

Описати крутний момент на петлі може бути складним у трьох вимірах, тому ми вводимо «магнітний дипольний момент», щоб спростити опис.

Якщо замкнутий контур несе струм\(I\), то вектор магнітного дипольного моменту визначається таким чином\(\vec \mu\), що він має величину:\[\begin{aligned} \mu = IA\end{aligned}\] де\(A\), - площа, укладена петлею. Напрямок вектора магнітного дипольного моменту таке, що воно перпендикулярно поверхні, визначеній петлею. З двох таких можливих напрямків напрямок магнітного дипольного моменту задається правилом для осьових векторів; шляхом скручування пальців у напрямку струму великий палець буде вказувати в напрямку магнітного дипольного моменту. Це проілюстровано на малюнку\(\PageIndex{2}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Правило правої руки для осьових векторів використовується для визначення напрямку вектора магнітного дипольного моменту для петлі, що несе струм,\(I\).

Щодо магнітного дипольного моменту, крутний момент на петлі, з магнітним дипольним моментом\(\vec \mu\), зануреним у магнітне поле\(\vec B\), задається:

\[\vec\tau = \vec\mu\times\vec B\]

Величина крутного моменту задається:\[\begin{aligned} \tau =\mu B \sin\theta\end{aligned}\] де\(\theta\) - кут між магнітним дипольним моментом і векторами магнітного поля.

Ми можемо переконатися, що ця формула дає правильний крутний момент для прямокутної петлі на малюнку\(\PageIndex{1}\), який ми розрахували вище. Магнітний дипольний момент цієї петлі задається:\[\begin{aligned} \vec \mu = IA \hat z = Iwh\hat z\end{aligned}\] де напрямок вектора задається правилом правої руки для осьових векторів (поза сторінкою, оскільки струм знаходиться в напрямку проти годинникової стрілки на малюнку\(\PageIndex{1}\)). Крутний момент на петлі такий:\[\begin{aligned} \vec \tau = \vec \mu \times \vec B = (Iwh\hat z) \times (B\hat x) = IBwh (\hat y)\end{aligned}\] як ми з'ясували раніше.

Магнітний дипольний момент може бути використаний для опису струмоведучої петлі в магнітному полі. Тобто замість того, щоб малювати петлю, що несе струм, ми можемо еквівалентно просто намалювати пов'язаний магнітний дипольний моментний вектор. Це корисно, оскільки вектор магнітного дипольного моменту поводиться так само, як і стрижневий магніт (з кінчиком стрілки, що діє як північний полюс). Дійсно, магнітне поле завжди створить крутний момент, який буде намагатися вирівняти магнітний дипольний момент з магнітним полем, так само, як стрілка компаса відчуває крутний момент, якщо він не вирівняний з магнітним полем Землі. Крутний момент від магнітного поля тоді дорівнює нулю, коли магнітний дипольний момент паралельний магнітному полю (оскільки перехресний добуток між колінійними векторами дорівнює нулю).

\(\PageIndex{3}\)На малюнку показано спосіб візуалізації струмоведучої петлі в магнітному полі за допомогою його магнітного дипольного вектора моменту,\(\vec mu\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Три петлі струму з різною орієнтацією щодо однорідного магнітного поля. Петлі видно зверху, і струм відображається, що надходить і виходить зі сторінки на кожній петлі разом з відповідним магнітним дипольним моментом вектора.

Три петлі показані (у вигляді рядків), видно зверху, а напрямок струму в кожному циклі відображається як перехід на сторінку або поза нею. Аналогічно, можна просто намалювати вектор магнітного дипольного моменту для кожного контуру (перпендикулярно площині петлі). Для верхньої петлі магнітний дипольний момент паралельний магнітному полю, тому магнітне поле не надає крутного моменту. Для середньої петлі магнітний дипольний момент складає кут\(\theta\) з вектором магнітного поля, так що крутний момент на цій петлі має величину, задану\(\tau=\mu B \sin\theta\), і вказує на сторінку (обертання за годинниковою стрілкою). Нижня петля робить кут\(-\pi/2\) з магнітним полем, що призводить до крутного моменту в напрямку проти годинникової стрілки. У всіх випадках крутний момент такий, що він завжди намагається вирівняти вектор магнітного дипольного моменту з магнітним полем, так само, як ніби магнітний дипольний момент був стрілкою компаса.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Визначити магнітний дипольний момент електрона, що обертається навколо атома водню, якщо припустити, що електрон знаходиться на круговій орбіті з радіусом\(R=0.5\unicode{xC5}\).

Рішення:

Коли електрон обертається навколо кола, це призводить до кругової петлі струму,\(I\). Струм - це швидкість, з якою заряд проходить через точку за одиницю часу. Якщо електронна орбіта має період\(T\), то відповідний струм\(I\), задається:

\[\begin{aligned} I=\frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{e}{T}\end{aligned}\]

Доцентрова сила на електроні забезпечується кулонівською силою\(F_C\), що чиниться протоном, що дозволяє отримати орбітальну швидкість, а значить і період орбіти:

\[\begin{aligned} F_C &= m\frac{v^2}{R}\\ k\frac{e^2}{R^2}&= m\frac{v^2}{R}\\ \therefore v &=\sqrt{\frac{ke^2}{mR}}\\ \therefore T &= \frac{2\pi R}{v}\end{aligned}\]

Потім магнітний дипольний момент задається:

\[\begin{aligned} \mu &=IA = \frac{e}{T}\pi R^{2}=\frac{ev}{2\pi R}\pi R^{2}\frac{1}{2}evR=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ke^{4}R}{m}} \\ &=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(9\times 10^{9}\text{N/C}^{2}\cdot\text{m}^{2})(1.6\times 10^{-19}\text{C})^{4}(0.5\unicode{xC5})}{(9.1\times 10^{-31}\text{kg})}}=9\times 10^{24}\text{A}\cdot\text{m}^{2} \end{aligned}\]

Обговорення:

У цьому прикладі ми обчислили орбітальний магнітний дипольний момент електрона в атомі водню. Це була дуже проста модель, оскільки насправді електрони не орбітають атоми по кругових орбітах, і для точного опису руху потрібно використовувати квантову механіку.

Потенційна енергія для магнітного моменту в магнітному полі

Магнітний дипольний момент в магнітному полі поводиться так само, як електричний диполь в електричному полі. За аналогією ми можемо визначити потенційну енергію для магнітного дипольного моменту\(\vec \mu\) в магнітному полі\(\vec B\):\(U\)

\[U=-\vec\mu\cdot\vec B=-\mu B\cos\theta\]

де\(\theta\) - кут між магнітним моментом і магнітним полем. Якщо магнітний диполь не вирівняний з магнітним полем і він звільняється, він почне обертатися (набирати обертальну кінетичну енергію), поки не досягне мінімуму в потенційній енергії (\(\theta = 0\)). Магнітний момент коливався б назад і вперед приблизно,\(\theta =0\) якщо немає втрат. Зверніть увагу, що точка де\(\theta = \pi\), є нестійким рівновагою.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Коли магнітний дипольний момент паралельно з магнітним полем і вказує в тому ж напрямку, що і магнітне поле, він матиме...

... його максимальний крутний момент і максимальна потенційна енергія.
... його максимальний крутний момент і мінімальна потенційна енергія.
... його мінімальний крутний момент і максимальна потенційна енергія.
... його мінімальний крутний момент і мінімальна потенційна енергія.

Відповідь

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Коли магнітний дипольний момент розміщений таким чином, що крутний момент від магнітного поля максимізується, він матиме...

... нульова потенційна енергія.
... його мінімальна потенційна енергія.

Відповідь