21.3: Магнітна сила на струмоведучому дроті.

теми рецензування

Розділ 19.2 про мікроскопічну модель струму.

У цьому розділі ми досліджуємо силу, яка чиниться магнітним полем на провід, який несе електричний струм. Оскільки струм утворюється рухомими зарядами, природно очікувати, що провід, який несе струм, буде відчувати силу, якщо занурений в магнітне поле.

Розглянемо вертикальний провід з площею поперечного перерізу\(A\), що несе струм\(I\), вгору, який занурений в однорідне магнітне поле\(\vec B\), в сторінку, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Усередині дроту в середньому електрони мають швидкість дрейфу\(\vec v_d\), в напрямку вниз (оскільки вони рухаються в напрямку, протилежному до звичайного струму).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Відрізок дроту несе звичайний струм\(I\), вгору, будучи зануреним у однорідне магнітне поле\(\vec B\), в сторінку. Введемо вектор\(\vec l\), щоб представляти переріз дроту довжиною,\(l\) що несе струм у напрямку\(\vec l\).

Одиночний електрон (з зарядом\(q=-e\)) буде відчувати магнітну силу\(\vec F_e\), задану:\[\begin{aligned} \vec F_e = -e \vec v_d \times \vec B\end{aligned}\] як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Відрізок дроту довжиною\(l\), буде містити\(N=nAl\) дрейфуючі електрони, де\(n\) щільність вільних електронів для дроту (кількість електронів на одиницю об'єму, які доступні для вироблення струму). Таким чином, магнітна сила на цій ділянці дроту буде в\(N\) рази більше сили на одному електроні:\[\begin{aligned} \vec F = N\vec F_e = nAl (-e \vec v_d \times \vec B)=-nAle \vec v_d \times \vec B\end{aligned}\] згадайте мікроскопічну модель струму, щоб пов'язати швидкість дрейфу зі звичайним струмом в дроті:\[\begin{aligned} I &= -nAev_d\end{aligned}\] де знак мінус вказує на те, що негативні електрони протікають в зворотному напрямку від звичайного струму. Введемо також вектор\(\vec l\), з величиною, рівною довжині перерізу дроту, і напрямок, паралельне звичайному струму (таким чином анти-паралельно швидкості дрейфу електронів). Зусилля на перерізі довжини\(l\), дроту, таким чином, надається:

\[\begin{aligned}\vec F=-nAle\vec v_{d}\times \vec B \end{aligned}\]

\[\vec F=I\vec l\times \vec B\]

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Струмопровідний провід, що рухається через магнітне поле.

В якому напрямку магнітна сила вказує на струмоведучий провід, який поміщений в магнітне поле між полюсами підковоподібного магніту, показаного на малюнку\(\PageIndex{2}\)?

1. Вгору.
2. Вниз.
3. На сторінку.
4. Поза сторінкою.

Відповідь

Зверніть увагу, що якщо провід не прямий, то ми можемо моделювати провід як зроблений з багатьох нескінченно коротких ділянок (рис.\(\PageIndex{3}\)), довжини\(dl\), і підсумувати сили на цих ділянках, щоб отримати загальну силу на ділянці довжини,\(L\):\[\begin{aligned} \vec F = \int_0^L I d\vec l \times \vec B\end{aligned}\]

Малюнок\(\PageIndex{3}\) Магнітна сила на вигнутому струмоведучому дроті отримують шляхом моделювання сил, що діють на нескінченно малі ділянки дроту, кожен з яких має довжину\(d\vec l\), і підсумовуючи разом ці сили для отримання сумарної сили на дроті.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Провід, що несе струм\(I\), згинається так, щоб мати напівкруглий перетин з радіусом\(R\), як показано на малюнку\(\PageIndex{4}\). Провід занурюється в однорідне магнітне поле\(\vec B\), тобто перпендикулярно площині дроту, як показано на малюнку. Використовуючи задану систему координат, що таке чиста сила на дроті?

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Струмоведучий провід з напівкруглим перетином занурений в однорідне магнітне поле.

Рішення:

Ми можемо моделювати провід як виготовлений з трьох секцій: прямої ділянки, що несе струм у позитивному\(y\) напрямку, вигнуту ділянку та іншу пряму ділянку, що несе струм у негативному\(y\) напрямку.

Розглянемо перший прямий ділянку, що несе струм в позитивному\(y\) напрямку. Сила на цій ділянці дроту, правилом правої руки, буде спрямована на ліву (негативний\(x\) напрямок):\[\begin{aligned} F_S &= I \vec l \times \vec B\\ &= I (l\hat y) \times (-B\hat z)\\ &= -IlB (\hat y \times \hat z)=-IlB\hat x\end{aligned}\] де\(l\), - (невідома) довжина цього перерізу дроту. Сила, що чиниться на іншу пряму ділянку дроту, матиме таку ж величину, але зворотний напрямок (так як струм, а значить і вектор\(\vec l\), знаходиться в зворотному напрямку). Таким чином, зусилля від двох прямих ділянок дроту скасовуються, як показано на малюнку\(\PageIndex{5}\).

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Магнітна сила на різних ділянках дроту.

Для того щоб розрахувати силу, що чиниться на напівкруглому перетині, нам потрібно скласти воєдино сили, що чиниться на нескінченно малі ділянки дроту, що складають цей перетин. Розглянемо магнітну силу на двох нескінченно малих ділянках, проілюстрованих на малюнку\(\PageIndex{5}\). \(x\)Складові сил скасують, тоді як\(y\) складові додадуть. Таким чином, по симетрії ми передбачаємо, що чиста сила на напівкруглому перетині буде в позитивному\(y\) напрямку.

Розглянемо мале зусилля на перетині дроту, розташованому під кутом\(\theta\), як показано на малюнку\(\PageIndex{5}\). Вектор ми можемо записати\(d\vec l\) так:\[\begin{aligned} d\vec l = dl(\sin\theta\hat x + \cos\theta \hat y)\end{aligned}\] Таким чином, нескінченно мала сила на цій ділянці дроту задається:\[\begin{aligned} d\vec F &= I d\vec l \times \vec B = I dl(\sin\theta\hat x + \cos\theta \hat y)\times (-B\hat z)\\ &=-IBdl (\sin\theta\hat x \times \hat z + \cos\theta \hat y \times \hat z)\\ &=-IBdl (-\sin\theta \hat y + \cos\theta\hat x) \\ &= IBdl\sin\theta \hat y - IBdL\cos\theta \hat x = dF_y\hat y + dF_x \hat x\end{aligned}\] де в останньому рядку ми явно виписали\(x\) і\(y\) складову вектора нескінченно малої сили. Для того щоб разом підсумувати ці нескінченно малі сили, найзручніше використовувати кут\(\theta\) для ідентифікації кожного відрізка. \(d\theta\)пов'язана з\(dl\), оскільки\(dl\) є довжиною окружності, піднесеної нескінченно малим кутом\(d\theta\):\[\begin{aligned} dl = Rd\theta\end{aligned}\] Підсумовуючи разом всі\(y\) складові нескінченно малих сил:\[\begin{aligned} F_y = \int dF_y = \int_0^\pi IBR\sin\theta d\theta=IBR \int_0^\pi\sin\theta d\theta=2IBR\end{aligned}\] Зверніть увагу, що\(x\) складові дорівнюють нулю, як ми передбачали з симетрії:\[\begin{aligned} F_x = \int dF_x = -\int_0^\pi IBR\cos\theta d\theta=-IBR \int_0^\pi\cos\theta d\theta=0\end{aligned}\] Чиста сила на дроті таким чином задається:\[\begin{aligned} \vec F = 2IBR\hat y\end{aligned}\]

Обговорення:

У цьому прикладі ми знайшли магнітну силу на криволінійному ділянці струмоведучого дроту. Обчислення було спрощено аргументами симетрії, оскільки ми могли використовувати правило правої руки, щоб передбачити, що сила не матиме жодної складової в\(x\) напрямку. Це пов'язано з тим, що в позитивному\(y\) напрямку протікає стільки струму, скільки в негативному\(y\) напрямку, так що відповідні сили скасовуються. Однак існує чистий потік зарядів у позитивному\(x\) напрямку, що призводить до чистої сили в позитивному\(y\) напрямку. Як наслідок, чиста магнітна сила на будь-якому замкнутому контурі струму повинна дорівнювати нулю.