21.2: Магнітна сила на рухомому заряді

теми рецензування

Розділ А1.3 на векторний добуток.

Коли електричний заряд\(q\), має швидкість\(\vec v\), щодо магнітного поля\(\vec B\), на частку чиниться магнітна сила:

\[\vec F_{B}=q\vec v\times\vec B\]

Можна зробити кілька зауважень щодо магнітної сили:

• Магнітна сила завжди перпендикулярна швидкості і магнітному полю (так як вона задається їх перехресним добутком).
• Напрямок магнітної сили залежить від знака заряду.
• Магнітна сила не може зробити ніякої роботи, так як завжди перпендикулярна швидкості (а значить і зміщенню).
• Немає сили, якщо швидкість частинки знаходиться в тому ж напрямку, що і вектор магнітного поля.
• Сила збільшується з зарядом, швидкістю і напруженістю магнітного поля.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Протон рухається на схід у магнітному полі Землі, в який бік він відхиляється?

1. Далеко від Землі.
2. Назустріч Землі.
3. Північний.
4. Південь.

Відповідь

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Електрон рухається на захід у магнітному полі Землі, в який бік він відхиляється?

1. Далеко від Землі.
2. Назустріч Землі.
3. Північний.
4. Південь.

Відповідь

думки Джоша

Дуже важливо пам'ятати, що являє собою кожна частина правого правила для крос-продуктів. Щоб допомогти згадати, що представляє кожен палець, я кажу «швидкість», коли я розширюю великий палець, «поле», коли я розширюю вказівний палець, і «сила», коли я розширюю середній палець. При використанні правила правої руки також важливо пам'ятати\(q\) в рівнянні\(\vec F_B = q\vec v \times \vec B\). Це\(q\) може бути негативним, що означало б, що сила діє в зворотному напрямку.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Спосіб, яким Джош пам'ятає правило правої руки для магнетизму.

Якщо ви виявите, що забули правило правої руки на тесті або іспиті, просто пам'ятайте, що ви все одно можете знайти правильну відповідь, встановивши тривимірну систему координат і оцінивши перехресний добуток.

Вас повинно дещо турбувати те, що сила залежить від швидкості заряду, так як швидкість залежить від системи відліку, від якої вона вимірюється. Вищевказане рівняння має дивний підтекст: якщо ми спостерігаємо електрон, що рухається в магнітному полі, ми побачимо, що його рух відхиляється магнітним полем. Якщо ми рухаємося разом з електроном, щоб він мав нульову швидкість в нашій системі відліку, ми не повинні бачити, як електрон відхиляється, оскільки магнітна сила буде нульовою. Зрозуміло, що рух електрона не може залежати від системи відліку, з якої ми його спостерігаємо. Таким чином, єдиний спосіб, яким це рівняння може мати сенс, - це якщо магнітне поле також залежить від нашої системи відліку. Ми повернемося до цього в наступному розділі, але поки пам'ятайте, що це рівняння має сенс лише в тому випадку, якщо швидкість вимірюється в тій же системі відліку, що і в якій визначено магнітне поле.

Ще одна набридлива проблема з магнітною силою полягає в тому, що вона, здається, залежить від того, що більшість людей є правшами. Дійсно, напрямок сили вимагає використання правого правила, яке видається довільним. Це звичайне явище у фізиці, оскільки багато величин визначаються за допомогою крос-добутку. Однак жодна фізична кількість ніколи не може залежати від нашого вибору правої чи лівої руки для визначення крос-продуктів. Виявляється, будь-яка фізична величина (наприклад, сила на частинку, яка буде відхиляти частинку в чітко ідентифікованому напрямку, що не залежить від вибору людини праворуч і ліворуч), завжди залежить від двох послідовних застосувань правила правої руки. При цьому напрямок магнітного поля задається також правилом правого боку, застосованим до рухомих зарядів, які створюють поле (як ми побачимо в наступному розділі). Послідовне використання правої руки двічі «скасувати»; один виявляє, що заряд відхиляється в тому ж напрямку, якщо один використовував ліву руку для визначення магнітного поля, а потім знову ліву руку для крос-добутку! Ми повернемося до цього питання в наступному розділі.

Розглянемо рух зарядженої частинки в області, де магнітне поле рівномірне (постійне за величиною і напрямком). Якщо вектор швидкості частинки перпендикулярний магнітному полю, частка зазнає рівномірного кругового руху, як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Рух зарядженої частинки в однорідному магнітному полі (поза сторінкою) є рівномірним круговим рухом.

Дійсно, сила завжди перпендикулярна швидкості, а сила постійна за величиною, оскільки і швидкість, і магнітне поле залишаються постійними. Це єдині умови, необхідні для рівномірного кругового руху. Ми можемо легко визначити радіус кола\(R\), оскільки магнітна сила відповідає за доцентрове прискорення:\[\begin{aligned} F_B &= m\frac{v^2}{R}\\ qvB &= m\frac{v^2}{R}\\ \therefore R &= \frac{mv}{qB}\end{aligned}\] радіус називається «радіусом циклотрона».

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Чи заряджена частка на малюнку\(\PageIndex{2}\) позитивно чи негативно?

1. Частка заряджена позитивно.
2. Частка негативно заряджена.
3. Недостатньо інформації, щоб розповісти.
4. Частинка не має заряду.

Відповідь

Посилаючись на малюнок\(\PageIndex{2}\), якщо швидкість частинки знаходиться в площині сторінки (перпендикулярно магнітному полю), як показано, частинка буде піддаватися рівномірному круговому руху. Якщо швидкість частинки має компонент, паралельний магнітному полю (наприклад компонент, що виходить зі сторінки, назустріч вам), частка буде піддаватися «гвинтовому руху» (спіралі). Радіус спіралі визначається складовою швидкості\(\vec v_{\perp}\), тобто перпендикулярно магнітному полю:\[\begin{aligned} \therefore R &= \frac{mv_{\perp}}{qB}\end{aligned}\]

Заряджена частинка також матиме постійну складову швидкості до вас, що призводить до спірального руху, показаного на малюнку\(\PageIndex{3}\). Зверніть увагу, що відстань між двома спіралями (\(h\)позначено на малюнку) називається «кроком», і визначається складовою швидкості, яка паралельна магнітному полю\(\vec v_\parallel\), так як на цю складову не впливає магнітна сила.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Спіральний рух зарядженої частинки зі складовою швидкості паралельною магнітному полю. Відстань\(h\), між спіралями, називається «кроком».

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Частинка невідомого заряду і невідомої маси зазнає рівномірного кругового руху з періодом,\(T\), when traveling perpendicular to a uniform magnetic field, \(B\). What is the ratio of the particle’s charge to its mass, \(q/m\)?

Рішення:

Ми можемо використовувати період руху, щоб визначити швидкість частинки через радіус кругового шляху:\[\begin{aligned} v = \frac{2\pi R}{T}\end{aligned}\] а потім використовувати рівняння для радіуса циклотрона, щоб пов'язати це із співвідношенням заряду до маси частинки:\[\begin{aligned} R &= \frac{mv}{qB}\\ &= \frac{2\pi R m}{qBT}\\ \therefore \frac{q}{m} &= \frac{2\pi}{BT} \end{aligned}\]

Обговорення:

Коли заряджена частинка зазнає рівномірного кругового руху в магнітному полі, радіус руху залежить від співвідношення заряду до маси частинки. Це часто можна використовувати для вимірювання маси, скажімо, іона, якщо відомий заряд іона (зазвичай одна або дві одиниці заряду електронів). Мас-спектрометр використовує цей принцип для того, щоб визначити склад зразка. Зразок випаровується і іонізується, іони потім прискорюються за допомогою електричної різниці потенціалів, перш ніж вони зазнають рівномірного кругового руху. Іони різних мас (і однаковий заряд) будуть потім піддаватися круговому руху з різними радіусами, що дозволяє визначати їх маси, і, таким чином, склад зразка повинен бути відомий.