20.8: Приклади проблем та їх вирішення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75158

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Проста RC-схема, як показано на малюнку,\(\PageIndex{1}\) містить заряджений конденсатор невідомої ємності\(C\), послідовно з резистором\(R=2\Omega\). При заряді різниця потенціалів на клемах конденсатора дорівнює\(9\text{V}\).

У той час\(t=0\text{s}\) вимикач,\(S\), закривається, дозволяючи конденсатору розряджатися через резистор. Потім струм вимірюється, щоб бути\(I = 0.05\text{A}\) при\(t = 5\text{s}\) відкритті вимикача.

Яка ємність конденсатора?
Який заряд тримав конденсатор при\(t = 2\text{s}\)?

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Проста схема з резистором і конденсатором.

Відповідь

а. в цьому випадку конденсатор розряджається як функція часу. За часом\(t=0\) напруга на конденсаторі є\(\Delta V=9\text{V}\). Ми можемо змоделювати цю схему розряду аналогічним чином, як ми моделювали схему зарядки.

Почнемо з правила з'єднання Кірхгофа, яке призводить до диференціального рівняння для заряду, що зберігається на конденсаторі\(Q(t)\), як функція часу:\[\begin{aligned} \Delta V - IR &=0\\ \frac{Q}{C} - IR &=0\\ \frac{Q}{C} - \frac{dQ}{dt}R &=0\\ \therefore \frac{dQ}{dt} = -\frac{1}{RC}Q\end{aligned}\] Це диференціальне рівняння просто вирішити, оскільки воно говорить, що похідна\(Q(t)\) дорівнює a константа помножена на\(Q(t)\). Таким чином\(Q(t)\), повинна бути експоненціальна функція:\[\begin{aligned} Q(t) = Q_0 e^{-\frac{t}{RC}}\end{aligned}\] де,\(Q_0\), - це (невідомий) заряд на конденсаторі при\(t=0\). Ви можете легко переконатися, що прийняття похідної цього рівняння призведе до того, що диференціальне рівняння буде задоволено.

Струм\(I(t)\), як функція часу, задається:\[\begin{aligned} I &=\frac{dQ}{dt}=-\frac{1}{RC}Q=\frac{Q_0}{RC} e^{-\frac{t}{RC}}=I_0e^{-\frac{t}{RC}}\end{aligned}\] де\(I_0=\frac{Q_0}{RC}\) - струм при\(t=0\).

Також відомо, що струм через резистор при\(t=0\) подається Законом Ома, так як в той час напруга,\(\frac{Q_0}{C}=9\text{V}\):\[\begin{aligned} I_0=\frac{Q_0}{RC}=\frac{(9\text{V})}{(2\Omega)}=4.5\text{A}\end{aligned}\]

Тоді ми знаємо, що струм\(t=5\text{s}\), за часом\(I(5)=0.05\text{A}\), дорівнює, що дозволяє визначити ємність:\[\begin{aligned} I(5)&=I_0e^{-\frac{t}{RC}}\\ \ln\left( \frac{I(5)}{I_0} \right)&=-\frac{t}{RC}\\ \therefore C&=\frac{t}{R \ln\left( \frac{I_0}{I(5)} \right)}=\frac{(5\text{s})}{(2\Omega)\ln\left( \frac{(4.5\text{A})}{(0.05\text{A})} \right)}=0.56\text{F}\end{aligned}\]

б Щоб знайти заряд, що зберігається в конденсаторі при\(t = 2\text{s}\), ми можемо використовувати функцію,\(Q(t)\) яку ми визначили раніше:\[\begin{aligned} Q(t=2\text{s})=Q_0 e^{-\frac{t}{RC}}\end{aligned}\] де ми можемо визначити\(Q_0\), тепер, коли ми знаємо ємність. \(Q_0\)це заряд на конденсаторі в той час\(t=0\), коли напруга на конденсаторі дорівнює\(9\text{V}\):\[\begin{aligned} Q_0=C\Delta V = (0.56\text{F})(9\text{V})=5.0\text{C}\end{aligned}\] At\(t = 2\text{s}\), заряд на конденсаторі таким чином:\[\begin{aligned} Q(t = 2\text{s})=(5.0\text{C})e^{-\frac{(2\text{s})}{(2\Omega)(0.56\text{F})}}=0.84\text{C}\end{aligned}\]

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вольтметр з опором\(R_V = 20\text{k}\Omega\) приєднується до ланцюга з акумулятором невідомого напруги і двома резисторами з опором\(R = 2.5\text{k}\Omega\) як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\). Вольтметр зчитує, що падіння напруги над одним з резисторів є\(\Delta V_{vm} =5.647\text{V}\). Що таке падіння напруги\(V_R\), над кожним резистором при знятті вольтметра зі схеми?

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Схема з акумулятором невідомого напруги.

Відповідь

Для того щоб дізнатися напругу на одному з резисторів, нам потрібно визначити напругу, яке знаходиться на акумуляторі. Після того, як ми визначили напругу на акумуляторі, напруга на одному з резисторів буде лише половиною від напруги на акумуляторі, оскільки два резистори мають однаковий опір.

Ми можемо моделювати схему за допомогою вольтметра на місці, оскільки ми знаємо напругу на паралельній комбінації вольтметра та резистора (тієї напруги, яка зчитується вольтметром). Ми можемо об'єднати вольтметр і один з резисторів в еквівалентний резистор\(R_{eff}\):\[\begin{aligned} R_{eff} &= \frac{1}{R_V^{-1}+R^{-1}}\\ R_{eff} &= \frac{1}{(20\text{k}\Omega)^{-1}+(2.5\text{k}\Omega)^{-1}}\\ R_{eff} &= 2.22\text{k}\Omega\\\end{aligned}\] Тепер, коли у нас є ефективний опір, а також падіння напруги на цьому ефективному резисторі, ми можемо вирішити для струму через ланцюг:\[\begin{aligned} I &= \frac{\Delta V_{vm}}{R_{eff}}\\ I &= \frac{5.647\text{V}}{2.22\text{k}\Omega}\\ I &= 2.541\text{mA}\\\end{aligned}\] Тепер, коли у нас є струм через схему ми можемо визначити падіння напруги на другому резисторі. Додавши це падіння напруги до відомої напруги на ефективному резисторі, ми можемо визначити напругу акумулятора:\[\begin{aligned} \Delta V_{battery} &= I(R_{eff}+R)\\ \Delta V_{battery} &= (2.541\text{mA})(2.222\text{k}\Omega+2.5\text{k}\Omega)\\ \Delta V_{battery} &= 12\text{V}\\\end{aligned}\] Таким чином, при відсутності вольтметра напруга на кожному резисторі є\(6\text{V}\).