20.5: Моделювання схем з конденсаторами

теми рецензування

• Розділ 18.5 на конденсаторах.

Поки що ми змоделювали схеми, де струм не змінюється з часом. При включенні конденсатора в ланцюг струм буде змінюватися з часом, так як конденсатор заряджається або розряджається. Схема, показана на малюнку,\(\PageIndex{1}\) показує ідеальну батарею ¹ (\(\Delta V\)), послідовно з резистором (\(R\)), конденсатором (\(C\), двома вертикальними смугами) і вимикачем (\(S\)), який відкритий.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Проста схема з резистором, акумулятором і конденсатором.

Коли вимикач розімкнутий, струм не може протікати по ланцюгу. Якщо припустити, що конденсатор не має заряду на ньому, як тільки ми закриємо вимикач, почне текти струм і на конденсаторі будуть накопичуватися заряди. Електрони будуть виходити з негативного висновку акумулятора, протікати через резистор і накопичуватися на лівій стороні конденсатора, який набуває негативний заряд. Це відштовхує електрони з правого боку конденсатора, який потім стає позитивно зарядженим. Електрони з позитивної сторони конденсатора потім перетікають в позитивну сторону батареї, завершуючи ланцюг.

Врешті-решт, заряди на конденсаторі будуть накопичуватися до точки, коли вони запобігають подальшому протіканню струму. Як тільки ліва сторона конденсатора виявиться на тому ж потенціалі, що і ліва сторона батареї, струм перестане текти. Тобто, врешті-решт, різниця потенціалів на конденсаторі буде дорівнює тій, що в акумуляторі, і ми можемо думати про це як схему, яка використовується для зарядки конденсатора. Струм високий при першому відкритті вимикача, але з часом опускається до нуля, коли конденсатор заряджається. Струм, таким чином, залежить від часу.

Ми можемо змоделювати цю просту схему (із замкнутим вимикачем), використовуючи правило циклу Кірхгофа. Сума напруг на кожному компоненті повинна дорівнювати нулю:\[\begin{aligned} \Delta V - IR - \frac{Q}{C} = 0\end{aligned}\] де ми використовували той факт, що заряд\(Q\), на конденсаторі пов'язаний з різницею потенціалів\(\Delta V_C\), через конденсатор по\(Q=C\Delta V_C\). Струм\(I\), - це швидкість, з якою заряди протікають по ланцюгу, і, таким чином, дорівнює швидкості, з якою заряди накопичуються на конденсаторі:\[\begin{aligned} I=\frac{dQ}{dt}\end{aligned}\] Підставивши це в рівняння петлі, отримаємо роздільне диференціальне рівняння для заряду на конденсаторі як функція time,\(Q(t)\):\[\begin{aligned} \Delta V - IR - \frac{Q}{C} &= 0\\ \Delta V - \frac{dQ}{dt}R - \frac{Q}{C} &= 0\\ \Delta V - \frac{Q}{C} &= \frac{dQ}{dt}R\\ C\Delta V - Q &= RC\frac{dQ}{dt}\\ \therefore \frac{dt}{RC}&=\frac{dQ}{C\Delta V - Q }\end{aligned}\] Це схоже на диференціальні рівняння, які ми вирішували раніше (насправді, це те саме рівняння, що і в прикладі 6.2.3, де ми розглянули ефект залежного від швидкості перетягування). Рішення рівняння, припускаючи, що вимикач замкнутий на\(t=0\), задається експоненціальною:\[\begin{aligned} Q(t) = C\Delta V\left( 1 - e^{-\frac{t}{RC}} \right)\end{aligned}\] Таким чином, заряд на конденсаторі починається з нуля, коли вимикач замкнутий, і зростає асимптотично, поки не досягне значення\(Q=C\Delta V\), яке відповідає конденсатор, що має таку ж різницю потенціалів по ньому, що і акумулятор. Значення\(\tau=RC\) називається «постійною часу» RC-ланцюга, і відповідає часу, в яке конденсатор досягне приблизно\((1-e^{-1})=63\%\) свого максимального заряду. Струм як функція часу задається:\[\begin{aligned} I(t)=\frac{dQ}{dt}=\frac{\Delta V}{R}e^{-\frac{t}{RC}}\end{aligned}\] і ми бачимо, що в той час\(t=0\) струм такий же, як якщо б не було конденсатора, а струм потім зменшується експоненціально, поки не досягне нуля.

Виноски

1. Модель як і раніше тримає за справжню батарею, так як внутрішній опір акумулятора можна якраз включити в опір резистора,\(R\).