20.3: Застосування правила Кірхгофа до модельних схем

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75172

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У цьому розділі ми покажемо, як моделювати схему, використовуючи правила Кірхгофа. Взагалі, можна вважати схему повністю змодельованою, якщо можна визначити струм в кожному відрізку ланцюга. Ми покажемо, як можна застосувати ту саму процедуру для моделювання будь-якої схеми, яка містить батареї та резистори. Процедура полягає в наступному:

Складіть хорошу схему схеми.
Спрощуйте будь-які резистори, які легко можна об'єднати в ефективні резистори (послідовно або паралельно).
Складіть нову схему з ефективними резисторами, показуючи стрілки акумулятора та позначивши всі вузли, щоб можна було легко описати петлі.
Зробіть припущення для напрямків струму в кожному відрізку.
Напишіть рівняння правила з'єднання.
Запишіть петлеві рівняння.
Це призведе до$N$ незалежних рівнянь, які можна вирішити для$N$ різних струмів в ланцюзі.
Після того, як ви визначили всі струми, якщо деякі з них є негативними числами, перемкніть напрямок цих струмів на діаграмі (вони будуть негативними, якщо ви вгадали напрямок неправильно).

Проілюструємо процедуру на схемі, показаної на малюнку$\PageIndex{1}$, для чого хотілося б дізнатися струм через кожен резистор і кожну батарею. Схема містить 5 резисторів ($R_1$-$R_5$), 2 реальних батарейки (з ідеальними напругами$\Delta V_1$ і$\Delta V_2$), і 2 додаткових резистора для моделювання внутрішніх опорів реальних батарей ($r_1$,$r_2$)

Малюнок$\PageIndex{1}$: Схема, яку можна спростити, а потім вирішити за правилами Кірхоффа.

Вправа$\PageIndex{1}$

Скільки різних струмів в схемі, зображеній на малюнку$\PageIndex{1}$?

Відповідь

Спрощення резисторів (крок 2): У цій схемі$R_1$ резистори$r_2$, і$R_2$ знаходяться послідовно, так що їх можна об'єднати в ефективний резистор,$R_6$: За\[\begin{aligned} R_6=r_2+R_1+R_2\end{aligned}\] допомогою цього спрощення ми отримуємо схему ілюстровано на малюнку$\PageIndex{2}$

Малюнок$\PageIndex{1}$ були об'єднані в ефективний резистор$R_{6}$, щоб спростити схему.

Далі відзначимо, що$R_4$ резистори і$R_5$ знаходяться паралельно і можуть бути легко об'єднані в резистор,$R_7$\[\begin{aligned} R_7=\frac{R_4R_5}{R_4+R_5}\end{aligned}\] який веде до схеми, проілюстрованої на малюнку$\PageIndex{3}$.

Малюнок$\PageIndex{2}$ були об'єднані в ефективний резистор$R_{7}$, щоб спростити схему.

Нарешті, ми зауважимо, що$r_1$ і$R_7$ знаходяться послідовно і можуть бути об'єднані в ефективний резистор,$R_8$ що\[\begin{aligned} R_8=r_1+R_7=r_1+\frac{R_4R_5}{R_4+R_5}\end{aligned}\] веде до спрощеної схеми, проілюстрованої на малюнку$\PageIndex{2}$, яку ми позначили вузлами та етикетками акумулятора.

Малюнок$\PageIndex{3}$: були об'єднані в ефективний резистор$R_{8}$, щоб спростити схему.

Вгадування напрямків струмів (крок 4): Перш ніж ми зможемо записати рівняння з правил Кірхгофа, нам потрібно позначити струми на принциповій схемі. Загалом, не завжди очевидно, яким шляхом підуть струми, тому ми припускаємо, що можемо виправити пізніше, якщо здогадалися неправильно.

Для того, щоб вгадати напрямки струму, виберіть одну точку на ланцюзі і рухайтеся по відрізку. Позначте струм в цьому сегменті і продовжуйте рух по ланцюгу, розщеплюючи струм при виникненні переходу. Переконайтеся, що на сегменті є лише один струм. Відгадуємо струми наступним чином, посилаючись на рис.$\PageIndex{5}$:

Починаємо в точці$a$ і рухаємося вгору до точки$f$. Ми будемо називати струм в цьому сегменті,$I_1$.
Так як переходу немає, струм$I_1$ триває через резистор$R_8$ до точки$e$.
У точці є перехід$e$, тому ми$I_1$ розбиваємо струм на струми$I_2$ (у напрямку до точки$d$), і$I_3$ (вниз до точки$b$).
$I_2$Спершу стежимо за струмом;$I_2$ тече від$e$ до$d$$c$, потім вниз, через батарею$\Delta V_2$, і до точки$b$, де знову відбувається перехід.
Стежимо за струмом$I_3$, який якраз стікає до місця з'єднання в точці$b$, де він «зустрічається» з струмом$I_2$.
Струми$I_2$ і$I_3$ обидва надходять в місце з'єднання в точці$b$, а струм, що випливає з переходу, через батарею$\Delta V_1$, і в сторону точки$a$ є, знову ж таки$I_1$, так як цей струм потім тече до точки$f$.
Всі відрізки дроту мають маркований струм, тому ми і закінчили вгадувати струми.

Можна поступити аналогічним чином для будь-якої схеми. Заключна схема, з маркуванням струмів, показана на малюнку$\PageIndex{5}$:

Тепер ми можемо продовжити використання правил Кірхгофа для вирішення значень струмів в ланцюзі. Корисно зазначити, що в цій схемі є 3 невідомі струми; таким чином, ми сподіваємося, що правила Кірхгофа дадуть нам 3 незалежні рівняння.

Застосування правила з'єднання (крок 5): У схемі з малюнка$\PageIndex{5}$ є два з'єднання (в точках$b$ і$e$), тому ми отримаємо два рівняння з правила з'єднання. Щоб застосувати правило з'єднання, сума струмів, що надходять в стик, повинна дорівнювати струмам, що виходять з переходу:\[\begin{aligned} \text{incoming currents}&=\text{outgoing currents}&\\ I_2+I_3 &= I_1 \quad &\text{(junction $b$)}\\ I_1 &= I_2+I_3 \quad &\text{(junction $e$)}\\\end{aligned}\] Зверніть увагу, що два рівняння не є незалежними (по суті, вони однакові). Як правило, буває так, що якщо є$N$ переходи, то вийде менше$N$ незалежних рівнянь (зазвичай$N-1$ рівняння будуть незалежними). У цьому випадку два з'єднання дали нам лише одне рівняння.

Застосування правила циклу (крок 6): Ця схема містить 3 різних петлі:$abcdefa$,$abefa$, і$bcdeb$, що призведе до 3 рівнянь з правила циклу. Ми очікуємо, що ці рівняння не будуть незалежними, оскільки це призведе до 4 рівнянь і 3 невідомих при поєднанні з рівнянням правила з'єднання. Почнемо з циклу$abcdefa$:

Від$a$ до$b$, простежуємо через батарею в зворотному напрямку від стрілки батареї:$-\Delta V_1$.
Від$b$ до$c$, простежуємо через батарею в тому ж напрямку, що і стрілка батареї:$+\Delta V_2$.
Від$c$ наскрізного$d$ і до$e$ ми йдемо через резистор$R_6$ в протилежному напрямку від струму$I_2$, в тому резисторі:$+I_2R_6$.
Від$e$ до$f$, йдемо через резистор$R_8$ в протилежну сторону від струму$I_1$, в тому резисторі:$+I_1R_8$.
І ми повернулися в початкову точку, тому сума перерахованих вище термінів дорівнює нулю.

що дає рівняння:\[\begin{aligned} -\Delta V_1+\Delta V_2+I_2R_6+I_1R_8=0\quad\text{(loop abcdefa)}\end{aligned}\] Аналогічно, для циклу$abefa$, ми отримуємо:\[\begin{aligned} -\Delta V_1+I_3R_3+I_1R_8=0\quad\text{(loop abefa)}\end{aligned}\] і для циклу$bcdeb$:\[\begin{aligned} \Delta V_2+I_2R_6-I_3R_3=0\quad\text{(loop bcdeb)}\end{aligned}\] Хоча здається, що ми отримали 3 додаткові рівняння, тільки два з них незалежні. Наприклад, якщо підсумувати друге і третє рівняння (петлі$abefa$, і$bcdeb$), ви просто отримаєте перше рівняння (цикл$abcdefa$). Загалом, якщо є$N$ різні петлі, то вийде менше$N$ незалежних рівнянь (зазвичай$N-1$ незалежні рівняння, як ми це робили тут).

На даний момент, після вибору одного з рівнянь переходу та двох рівнянь петлі, ми маємо 3 незалежні рівняння, які ми можемо вирішити для 3 невідомих струмів ¹:\[\begin{aligned} I_1 &= I_2+I_3 \quad &\text{(junction $e$)}\\ -\Delta V_1+\Delta V_2+I_2R_6+I_1R_8&=0\quad&\text{(loop abcdefa)}\\ -\Delta V_1+I_3R_3+I_1R_8&=0\quad&\text{(loop abefa)}\end{aligned}\] Це лише питання деякої простої математики, щоб вирішити для 3 невідомих з цих 3 рівнянь (які ми виконувати в прикладі нижче).

Приклад$\PageIndex{1}$

Посилаючись на схему на малюнку$\PageIndex{6}$, what is the voltage across the real terminal of the battery with ideal voltage $\Delta V_1$ (the voltage between points $a$ and $b$)? What is the current through resistor $R_5$?

Рішення:

Малюнок$\PageIndex{5}$, із заповненими значеннями.

Оскільки ця схема така ж, яку ми щойно проаналізували, ми знаємо, що її можна спростити в схему, показану на малюнку$\PageIndex{7}$, з резисторами:\[\begin{aligned} R_6&=r_2+R_1+R_2=(1\Omega)+(3\Omega)+(4\Omega)=8\Omega\\ R_8&=r_1+\frac{R_4R_5}{R_4+R_5}=(1\Omega)+\frac{(2\Omega)(2\Omega)}{(2\Omega)+(2\Omega)}=2\Omega\end{aligned}\]

Зверху ми знаємо, що це призводить до наступних трьох рівнянь:

\[\begin{aligned} I_1 &= I_2+I_3 \quad &\text{(junction $e$)}\\ -\Delta V_1+\Delta V_2+I_2R_6+I_1R_8&=0\quad&\text{(loop abcdefa)}\\ -\Delta V_1+I_3R_3+I_1R_8&=0\quad&\text{(loop abefa)}\end{aligned}\]

Для того щоб вирішити ці типи рівнянь, зазвичай зручно розміщувати напруги акумулятора з правого боку, а напруги резистора - з лівого боку. Хоча, як правило, погана практика заповнювати числа в рівняння перед їх вирішенням, це майже завжди хороша ідея при вирішенні$N$ рівнянь для$N$ струмів. Крім того, для того, щоб зробити рівняння розбірливими, корисно також не писати в одиницях (що взагалі дуже погана практика!). Таким чином, заповнивши значення для резисторів і напруг акумулятора, перемістивши напруги в праву сторону, отримаємо наступну систему рівнянь:

\[\begin{aligned} I_1-I_2-I_3&=0 \quad &\text{(junction $e$)}\\ 2I_1+8I_2&=8 \quad&\text{(loop abcdefa)}\\ 2I_1+4I_3&=12 \quad&\text{(loop abefa)}\end{aligned}\]

Віднімання другого рівняння з третього рівняння (для усунення$I_1$):\[\begin{aligned} 4I_3-8I_2&=4\\ \therefore I_3&=1+2I_2\end{aligned}\] Підставляємо це в рівняння переходу:

\[\begin{aligned} I_1-I_2-I_3&=0\\ I_1-I_2-1-2I_2&=0\\ \therefore I_2=\frac{1}{3}(I_1-1)\end{aligned}\]

Нарешті, підставляючи це в рівняння з циклу$abcdefa$, дозволяє визначити$I_1$ і два інших струми:

\[\begin{aligned} 2I_1+8I_2&=8\\ 2I_1+8\left(\frac{1}{3}(I_1-1) \right)&=8\\ \therefore I_1&=\frac{16}{7}=2.29\text{A}\\ \therefore I_2&=\frac{1}{3}(I_1-1)=0.43\text{A}\\ \therefore I_3&=1+2I_2=1.86\text{A}\\\end{aligned}\]

При цьому струми всі позитивні, тому діаграма на малюнку$\PageIndex{7}$ правильна і нам не потрібно змінювати напрямок будь-якого з струмів.

Тепер ми можемо визначити різницю потенціалів на реальних клемах акумулятора$\Delta V_1$. Струм через акумулятор$I_1=2.29\text{A}$, який викликає падіння напруги$\Delta V_{r1}$, через його внутрішній опір,$r_1$ становить:

\[\begin{aligned} \Delta V_{r1}=I_1r_1=(2.29\text{A})(1\Omega)=2.29\text{V}\end{aligned}\]

Напруга на реальних клемах акумулятора тоді:\[\begin{aligned} \Delta V_{real}=\Delta V_1-\Delta V_{r1}=(12\text{V})-(2.29\text{V})=9.7\text{V}\end{aligned}\]

Струм через резистор$R_5$ (рис.$\PageIndex{6}$) вимагає трохи більше роздумів, так як ми розрахували струм,$I_1$ через ефективний резистор$R_8$, який ми повинні тепер «розірвати». На малюнку$\PageIndex{8}$ показані складові частини$R_8$.

Малюнок$\PageIndex{7}$. Струм$I_{1}$, що надходить від акумулятора, проходить$r_{1}$ і потім розщеплюється вгору.

Струм$I_1$, який проходить через$\Delta V_1$ батарею, також йде через$r_1$ внутрішній опір акумулятора. Цей струм потім розщеплюється на струми$I_5$,$I_4$ причому, щоб пройти через$R_4$ резистори і$R_5$. Хоча повинно бути очевидно, що половина$I_1$ буде проходити через кожен резистор (так як вони рівні), ми можемо визначити це, застосовуючи правила Кірхгофа до комбінації резисторів на малюнку$\PageIndex{8}$:

\[\begin{aligned} I_1&=I_4+I_5 \quad&\text{(junction)}\\ I_5R_5-I_4R_4&=0\quad&\text{(clockwise loop)}\end{aligned}\]

З рівняння циклу ми маємо:

\[\begin{aligned} I_5=\frac{R_4}{R_5}I_4=I_4\end{aligned}\]

так як$R_4=R_5=2\Omega$. Так як$I_4=I_5$ рівняння переходу дає:

\[\begin{aligned} I_5=\frac{1}{2}I_1=1.15\text{A}\end{aligned}\]

Вирішуючи для$I_4$ і$I_5$, ми тепер визначили всі струми через всі відрізки вихідної схеми на рис$\PageIndex{6}$.

Обговорення:

У цьому прикладі ми показали, як можна використовувати спрощену схему для вирішення струму через ефективні резистори в спрощеній схемі. Після того, як ці струми відомі, ми показали, що визначити струми можна через окремі резистори, які були об'єднані в ефективні резистори.

думки Джоша

Рішення схеми може бути складним, особливо якщо діаграма намальована незнайомим способом. Хоча схеми в цьому розділі розроблені так, щоб їх було максимально легко читати, багато схем набагато більш дивні. Наприклад, ось схема, з якою ви можете зіткнутися:

Малюнок$\PageIndex{9}$: Дивно виглядає схема.

Схема на малюнку$\PageIndex{9}$ Може виглядати так, що це важко вирішити схему, але діаграму можна повторно намалювати, щоб виявити простоту схеми:

Малюнок$\PageIndex{10}$: Набагато менш дивно виглядає схема.

Те, що раніше було дивною формою повітряного змія, тепер просто паралельна схема, яку можна ще більше спростити, розрахувавши ефективний опір:\[\begin{aligned} R_{eff} &= (R_1^{-1}+R_2^{-1}+(R_3+R_4)^{-1})^{-1}\end{aligned}\] Який дає послідовну схему лише з одним резистором:

Схеми можуть бути намальовані багатьма унікальними або потенційно заплутаними способами, але знання, як прочитати схему та повторно намалювати її, може допомогти зробити діаграму більш розбірливою, а схему легше вирішити.

Виноски

1. 3 невідомі не обов'язково повинні бути струмами, і може бути будь-якою комбінацією струмів, напруги акумулятора та резисторів. Поки існує не більше 3 невідомих величин, ця схема може бути вирішена.