20.2: Правила Кірхгофа

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75143

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Правила Кірхгофа відповідають концепціям, які ми вже висвітлювали, але дозволяють нам легко моделювати більш складні схеми, наприклад, ті, де існує більше одного шляху для струму. Правила Кірхгофа стосуються «стиків» і «петель». Місця з'єднання і петлі залежать тільки від форми схеми, а не від компонентів в схемі. \(\PageIndex{1}\)На малюнку показана схема без компонентів для того, щоб проілюструвати, що мається на увазі під стиком і петлею.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Схема, яка має\(3\) шлейфи і\(2\) з'єднання.

Місця розташування в точках\(d\) і\(c\) вважаються «стиками», тому що в цій точці підключено більше\(2\) відрізків дроту. Точки в місцях розташування\(a\)\(b\),\(e\) і мають\(f\) тільки два відрізки дроту, з'єднаних з ними. Схема на малюнку,\(\PageIndex{1}\) таким чином,\(2\) має переходи.

Петля - це замкнутий шлях, який можна простежити навколо ланцюга, не проходячи через один і той же відрізок дроту двічі. Схема на малюнку\(\PageIndex{1}\) має\(3\) такі шлейфи, які ми можемо визначити за допомогою букв в різних вузлах схеми:

\(abcda\)
\(abcefda\)
\(dcefd\)

Зверніть увагу, що неважливо, з чого починається шлейф, тільки те, що можна визначити, скільки різних петель присутній в схемі.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Схема розташування.

Скільки петель і з'єднань має схема на малюнку\(\PageIndex{2}\)?

Схема має п'ять петель і чотири місця з'єднання.
Схема має три петлі і вісім з'єднань.
Схема має сім петель і чотири з'єднання.
Схема має чотири петлі і чотири з'єднання.

Відповідь

Правило стику

Правило стику стверджує, що: Струм, що входить у стик, повинен дорівнювати струму, що виходить із з'єднання.

Це насправді просте твердження про збереження заряду. Якщо заряди перетікають в місце з'єднання (з одного або декількох відрізків дроту в тому місці з'єднання), то така ж кількість зарядів має витікати назад з місця з'єднання (через один або кілька різних відрізків дроту).

Розглянемо з'єднання, проілюстроване на малюнку\(\PageIndex{3}\), що складається з\(5\) відрізків дроту, кожен з яких несе різний струм. Як показано, струми\(I_1\) і\(I_4\) впадають в стик, тоді як струми\(I_2\),\(I_3\) і\(I_5\) все витікають з місця з'єднання.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): З'єднання з\(5\)\(5\) відрізками і струмами.

Правило стику говорить, що струм, що надходить в стик, повинен дорівнювати струму, що виходить з переходу. Це дозволяє нам співвідносити струми один з одним у рівнянні:\[\begin{aligned} \text{incoming currents}&=\text{outgoing currents}\\ I_1+I_4 &=I_2+I_3+I_4\end{aligned}\]

Цикл Правило

Правило контуру стверджує, що: Чисте падіння напруги на контурі повинно бути нульовим.

Це твердження про збереження енергії, що ми вже відзначили в прикладі 20.1.1. Після того, як ви визначили певний цикл, якщо ви простежуєте замкнутий шлях навколо петлі, електричний потенціал повинен бути таким же в кінці шляху, як і на початку шляху (оскільки це буквально та сама точка в просторі). Це означає, що якщо на шляху є падіння напруги (наприклад, через один або кілька резисторів), то має бути еквівалентне збільшення напруги десь ще на шляху (наприклад, через одну або кілька батарей). Якби це не так, можна було б мати шлях, де заряди могли б отримати чисту кількість енергії, обходячи цей шлях, який вони могли б продовжувати робити нескінченно довго і створювати нескінченну кількість енергії; замість цього, якщо заряди отримують потенційну енергію в батареї, вони повинні потім втратити точно так само кількість енергії всередині одного або декількох резисторів по шляху.

\(\PageIndex{4}\)На малюнку показано цикл (який може бути частиною більшої схеми), до якого ми можемо застосувати правило циклу. Петля містить дві батареї, звернені в протилежні сторони (що зазвичай не було б хорошим використанням акумуляторів), як ілюструють стрілки акумулятора.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Шлейф з\(2\) батарейками і\(3\) резисторами.

Порядок застосування правила циклу виглядає наступним чином:

Визначте петлю, включаючи вихідне положення і напрямок.
Почніть з початку циклу, і обведіть навколо петлі.
Кожен раз, коли зустрічається акумулятор, додайте напругу акумулятора, якщо ви проводите петлю в тому ж напрямку, що і відповідна стрілка акумулятора, інакше відніміть напругу.
Щоразу, коли резистор зустрічається, відніміть напругу на цьому резисторі (із Закону Ома)\(RI\), якщо трасування петлі в тому ж напрямку, що і струм, додайте напругу в іншому випадку.
Після того, як ви простежилися до початкової точки, отримана сума повинна дорівнювати нулю.

Щоб проілюструвати процедуру, ми простежуємо цикл\(abcedfga\) на рис\(\PageIndex{4}\). Починаємо таким чином в точці\(a\) і простежуємо петлю в напрямку проти годинникової стрілки.

Між точками\(a\)\(b\) ми стикаємося з батареєю, і ми простежуємо в протилежному напрямку стрілки цього акумулятора, тому ми віднімаємо напругу з цього акумулятора:\(-\Delta V_1\).
Між точками\(b\) і\(c\), ми стикаємося з батареєю, і ми простежуємо в тому ж напрямку, що і стрілка цього акумулятора, тому ми додаємо напругу від цього акумулятора:\(+\Delta V_2\).
Нічого не відбувається з потенціалом по проводу від\(c\) до\(d\).
Між точками\(d\) і\(e\), ми зустрічаємо резистор, і ми простежуємо в тому ж напрямку, що і струм через цей резистор, так що відніміть напругу на цьому резисторі:\(-R_1I\)).
Аналогічно віднімаємо напруги на резисторах\(R_2\) і\(R_3\), як ми простежуємо в тому ж напрямку, що і струм через ці резистори:\(-IR_2-IR_3\).
Ми повернулися на початку циклу, так що умови повинні сумувати нуль.

Тепер ми можемо використовувати правило циклу, яке стверджує, що сума вищевказаних напруг повинна бути нульовою:\[\begin{aligned} -\Delta V_1 + \Delta V_2 - R_1I - R_2I - R_3I = 0\quad \text{(loop abcdefga)}\end{aligned}\] Це рівняння потім дає нам зв'язок між різними величинами (струмом, резисторами, напругою акумулятора) в ланцюзі, які можуть бути використані для моделювання схеми.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Припустимо, що рівняння описує цикл\(abcdefga\) (Figure \(\PageIndex{4}\)) was obtained from a different starting position and the loop was traced in the opposite direction. Would this produce a different equation?

Так, рівняння було б неправильним, якщо петля простежується в напрямку, протилежному потоку струму.
Так, рівняння має починатися з точки,\(a\) оскільки творець схеми припускає, що людина обчислює струм і напругу почнеться в точці\(a\).
Так, немає неправильної відправної точки, але вибір простежити ланцюг у напрямку, протилежному потоку струму, призведе до неправильного рівняння.
Ні, немає неправильного напрямку або відправної точки.

Відповідь