Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

19.9: Приклади проблем та їх вирішення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    75410

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Циліндричний дріт як щільність струму\(j(r) = ar\), яка збільшується з радіусом як\(r\), де, радіальна відстань від центру дроту, і\(a\), є постійною. Якщо провід має радіус\(R = 1.5\text{cm}\), який загальний струм в дроті?

    Відповідь

    Для визначення струму по всьому перетину проводу спочатку ділимо перетин дроту на нескінченно малі концентричні кільця радіусом\(r\), і шириною,\(dr\). Площа поперечного перерізу одного кільця задається:\[\begin{aligned} dA = 2\pi r dr\end{aligned}\] так, що струм через одне кільце задається:\[\begin{aligned} dI = j(r) dA = 2\pi a r^2 dr\end{aligned}\] Струм через весь провід потім знаходять шляхом підсумовування струмів через кожне кільце:\[\begin{aligned} I=\int dI = \int_0^R 2\pi a r^2 dr=\frac{2}{3}\pi aR^3\end{aligned}\]

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Резистор вимірюється, щоб мати\(R_1=103.4 \Omega\) опір при температурі\(T_1=30^{\circ}\text{C}\), і опір при\(R_2=106.8\Omega\) температурі\(T_1=40^{\circ}\text{C}\). Використовуючи значення в таблиці 19.3.1, визначте матеріал, з якого виготовлений резистор.

    Відповідь

    Для визначення матеріалу резистора ми можемо знайти температурний коефіцієнт\(\alpha\), так як нам даються вимірювання опору,\(R_1\) причому\(R_2\), при двох різних температурах\(T_1\), і\(T_2\), відповідно. Орієнтовна температура встановлена рівною\(T_0=20^{\circ}\text{Celsius}\), так що ми можемо порівняти з табл. 19.3.1.

    Ми знаємо, що опір буде змінюватися в залежності від температури, оскільки питомий опір залежить від температури. Температурна залежність питомого опору задається:

    \[\begin{aligned} \rho(T)=\rho_0[1+\alpha(T-T_0)]\end{aligned}\]

    Якщо резистор має довжину\(L\), і площу поперечного перерізу\(A\), то він матиме опір\(R\), заданий:

    \[\begin{aligned} R(T)=\rho(T) \frac{L}{A}=\frac{\rho_0 L}{A}[1+\alpha(T-T_0)]=R_0[1+\alpha(T-T_0)]\end{aligned}\]

    де\(R_0\) - опір при еталонній температурі,\(T_0\). Оскільки нам дається опір при двох різних температурах, ми можемо визначити і те\(R_0\),\(\alpha\) і інше, для вибору\(T_0=20^{\circ}\text{C}\):

    \[\begin{aligned} R_1&=R_0[1+\alpha(T_1-T_0)]\\ R_2&=R_0[1+\alpha(T_2-T_0)]\\ \therefore\frac{R_1}{R_2}&=\frac{1+\alpha(T_1-T_0)}{1+\alpha(T_2-T_0)}\\ R_1 [1+\alpha(T_2-T_0)]&=R_2 [1+\alpha(T_1-T_0)]\\ \alpha \left( R_1(T_2-T_0) - R_2(T_2-T_0) \right)&=R_2-R_1\\ \therefore \alpha &= \frac{R_2-R_1}{R_1(T_2-T_0) - R_2(T_1-T_0) }\\ &=\frac{(106.8\Omega) - (103.4\Omega)}{(103.4\Omega)((40^{\circ}\text{Celsius})-(20^{\circ}\text{Celsius})) - (106.8\Omega)((30^{\circ}\text{Celsius})-(20^{\circ}\text{Celsius})) }\\ &=0.0034\end{aligned}\]Посилаючись на таблицю 19.3.1, матеріалом, ймовірно, може бути золото.