18.8: Приклади проблем та їх вирішення

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Довгий циліндр радіусу,\(R\), carries a uniform charge per unit volume density, \(\rho\). If the electric potential at the surface of the cylinder is \(V_S = 100\text{V}\), then what is the electric potential inside and outside of the cylinder as a function of \(r\), the distance from the center of the cylinder?

Відповідь

Для визначення електричного потенціалу всередині і зовні циліндра можна використовувати електричне поле, яке ми повинні спочатку визначити. Ми зробимо це за допомогою закону Гауса. Ми будемо використовувати гаусову поверхню, яка є циліндром радіуса\(r\), і довжини,\(L\). В обох областях потік електричного поля буде задаватися:\[\begin{aligned} \int E dA = E 2\pi rL\end{aligned}\] так як електричне поле вказує в радіальному напрямку, віддаляючись від центру циліндра. Зовні циліндра (\(r>R\)), загальний заряд, укладений - це загальний заряд на довжину циліндра, який має об'єм,\(\pi R^2 L\):\[\begin{aligned} Q^{enc}=\rho \pi R^2 L\end{aligned}\] Таким чином, застосовуючи Закон Гауса поза циліндром, дає електричне поле для\(L\)\(r>R\) :\[\begin{aligned} \int E dA &= \frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}\\ E 2\pi rL &= \frac{\rho \pi R^2 L}{\epsilon_0}\\ \therefore E(r) &= \frac{\rho R^2}{2\epsilon_0r}\quad(r\geq R)\end{aligned}\] Усередині циліндра, закритий заряд, що укладено циліндром радіуса\(r\), і довжини,\(L\):\[\begin{aligned} Q^{enc}=\rho \pi r^2 L\end{aligned}\] Застосовуючи закон Гауса, електричне поле всередині циліндра задається:\[\begin{aligned} \int E dA &= \frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}\\ E 2\pi rL &= \frac{\rho \pi r^2 L}{\epsilon_0}\\ \therefore E(r) &= \frac{\rho r}{2\epsilon_0}\quad(r<R)\end{aligned}\] Враховуючи електричне поле скрізь у просторі, ми тепер можна визначити електричний потенціал. Почнемо з розрахунку електричного потенціалу в будь-якому місці циліндра\(V(r)\), використовуючи різницю потенціалів між цією точкою і поверхнею циліндра:\[\begin{aligned} \Delta V &= V_S - V(r) = -\int_{r}^{R} \vec E\cdot d \vec r\\ &= -\int_{r}^{R} \frac{\rho r}{2\epsilon_0} \hat r \cdot d \vec r\\ &= -\int_{r}^{R} \frac{\rho r}{2\epsilon_0} dr\\ &= -\frac{\rho (R^2-r^2)}{4\epsilon_0}\\ \therefore V(r) &= V_S + \frac{\rho (R^2-r^2)}{4\epsilon_0}\\ &=100\text{V}+\frac{\rho (R^2-r^2)}{4\epsilon_0}\end{aligned}\] Таким чином, скрізь всередині циліндра електричний потенціал більше\(100\text{V}\), ніж, оскільки \(R^2-r^2>0\). Це має сенс, оскільки електричне поле вказує подалі від центру, а позитивні заряди зменшуватимуть свою потенційну енергію, рухаючись далі від центру.

Ми діємо таким же чином, щоб визначити різницю потенціалу між точкою на відстані\(r>R\), і потенціалом\(V_S\), на поверхні циліндра:\[\begin{aligned} \Delta V &= V(r) - V_S = -\int_{R}^{r} \vec E\cdot d \vec r\\ &= -\int_{R}^{r} \frac{\rho R^2}{2\epsilon_0r} \hat r \cdot d \vec r\\ &= - \frac{\rho R^2}{2\epsilon_0} \int_{R}^{r} \frac{1}{r}dr\\ &=- \frac{\rho R^2}{2\epsilon_0} \ln \left( \frac{R}{r} \right)\\ \therefore V(r) &= V_S - \frac{\rho R^2}{2\epsilon_0} \ln \left( \frac{R}{r} \right)\\ &= 100\text{V} - \frac{\rho R^2}{2\epsilon_0} \ln \left( \frac{R}{r} \right)\end{aligned}\] Ми знаходимо, що за межами циліндра електричний потенціал зменшується з\(100\text{V}\) як один відходить від циліндра, як годиться.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Конденсатор будується шляхом розміщення концентричної провідної циліндричної оболонки незначної товщини і внутрішнього радіуса\(R_B\), навколо твердого провідного циліндра радіуса\(R_A\), як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Яка ємність цього конденсатора, де твердий циліндр і циліндрична оболонка утворюють два електроди?

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Конденсатор, побудований з концентричних циліндрів.

Відповідь

Ємність ми визначимо, зв'язавши різницю потенціалів між електродами з зарядом, що зберігається на електродах. Використовуючи Закон Гаусса, ми можемо визначити електричне поле між електродами на основі заряду на цих електродах, і звідти ми можемо визначити різницю потенціалів. Ми будемо ігнорувати той факт, що циліндр має кінцеву довжину і що Закон Гаусса не буде триматися біля країв циліндра, де електричне поле вже не точно знаходиться в радіальному напрямку.

Припускаємо, що кожен електрод несе рівний і протилежний заряд на одиницю довжини,\(\lambda\). Для того щоб визначити електричне поле в області\(R_A<r<R_B\), розглянемо гаусову поверхню, яка є циліндром радіуса\(r\), і довжини\(L\), як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\), яка буде укладати заряд\(Q^{enc}=\lambda L\) від внутрішнього циліндр.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Рішення\(E\) між двома циліндрами за допомогою закону Гауса.

Застосування закону Гауса:\[\begin{aligned} \int E dA &= \frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}\\ E 2\pi rL &= \frac{\lambda L}{\epsilon_0}\\ \therefore E(r) &= \frac{\lambda }{2\pi \epsilon_0 r}\end{aligned}\] і електричне поле вказує в радіальному напрямку (назовні, якщо внутрішній електрод позитивний). Ми можемо знайти різницю потенціалів між двома електродами за допомогою електричного поля:\[\begin{aligned} \Delta V &= V(R_B)-V(R_A)= -\int_{R_A}^{R_B} \vec E \cdot d\vec r\\ &=-\int_{R_A}^{R_B} \frac{\lambda }{2\pi \epsilon_0 r} dr\\ &= -\frac{\lambda }{2\pi \epsilon_0}\ln\left( \frac{R_B}{R_A} \right) \end{aligned}\] де слід зазначити, що знак мінус неоднозначний, так як фактична ознака різниці потенціалів буде залежати від знака\(\lambda\), заряду на внутрішньому циліндрі. Якщо заряд на внутрішньому циліндрі позитивний, різниця потенціалів негативна, що вказує на те, що зовнішній циліндр має менший потенціал, ніж внутрішній (що має сенс, оскільки електричне поле буде вказувати назовні між двома циліндрами).

Ми можемо визначити ємність між електродами, взявши абсолютне значення різниці потенціалів вище, і скориставшись тим, що заряд\(Q\), по довжині\(L\), одного електрода задається\(Q=\lambda L\):\[\begin{aligned} Q &= C\Delta V\\ \lambda L &= C\frac{\lambda }{2\pi \epsilon_0}\ln\left( \frac{R_B}{R_A} \right)\\ \therefore C&=\frac{2\pi \epsilon_0}{L\ln\left( \frac{R_B}{R_A} \right)}\end{aligned}\] Відзначимо, що ємність не залежить від (довільного) заряду на одиницю довжини,\(\lambda\) який ми розмістили на внутрішньому циліндрі для того, щоб змоделювати конденсатор. Ємність залежить тільки від геометрії конденсатора, і матеріалу, який використовується між обкладинками.