18.6: Резюме

Ключові виноси

Електрична сила консервативна, тому ми можемо визначити потенційну енергетичну функцію\(U(\vec r)\). Функція потенційної енергії для точкового заряду\(q\), в положенні\(\vec r\), відносно точкового заряду\(Q\), задається:\[\begin{aligned} U(\vec r) = \frac{kQ}{r}q + C\end{aligned}\] де,\(C\), є довільною константою, так як тільки різниця в потенційній енергії є фізично значущою (так як відповідають роботі). Зверніть увагу, що знак енергії електричного потенціалу буде залежати від відносного знака\(q\) і\(Q\).

Якщо колекція зарядів утримується разом, загальна енергія електричного потенціалу, яка зберігається, називається «енергією електростатичного потенціалу».

Аналогічно електричному полю\(\vec E(\vec r)\), відповідає електричній силі на одиницю заряду, «електричний потенціал»\(V(\vec r)\), відповідає енергії електричного потенціалу на одиницю заряду. Електричний потенціал в положенні\(\vec r\), щодо точкового заряду\(Q\), задається:\[\begin{aligned} V(\vec r) =\frac{U(\vec r)}{q}= \frac{kQ}{r} + C'\end{aligned}\] а також залежить від довільної константи\(C'\), так як тільки відмінності електричного потенціалу призведуть до відмінностей потенційної енергії. Значення електричного потенціалу\(V\), в деякому положенні в просторі\(\vec r\), дозволяє визначити енергію електричного потенціалу\(U\), в такому положенні для будь-якого заряду\(q\):\[\begin{aligned} U = qV\end{aligned}\] Це аналогічно визначенню сили на заряді,\(q\) коли ми знаємо електричне поле в якійсь точці простору:\[\begin{aligned} \vec F = q \vec E\end{aligned}\] Відмінності електричного потенціалу називаються «напругами», а одиниця потенціалу S.I. називається «вольт» (V). В одиницях S.I. електричне поле часто виражається в одиницях вольт на метр (В/м).

Коли частинка із зарядом\(q\), змінює положення таким чином, що відповідна зміна електричного потенціалу є\(\Delta V\), потенційна енергія частинки зміниться на:\[\begin{aligned} \Delta U = q\Delta V\end{aligned}\] Зокрема, негативний заряд зазнає зменшення потенційної енергії, коли електричний потенціал збільшується, тоді як позитивний заряд буде відчувати збільшення потенційної енергії при збільшенні електричного потенціалу. Це відображає той факт, що електрична сила, пов'язана з електричним потенціалом, буде діяти в протилежних напрямках на позитивний і негативний заряд.

Для того щоб описати енергії частинок, що взаємодіють з електричними силами, зручніше використовувати «електронвольт» замість Джоуля. Електронвольт визначається як енергія, яку отримує заряд з величиною\(e\) (величиною заряду електрона) при прискоренні через різницю потенціалів\(\Delta V=1\text{V}\):\[\begin{aligned} 1\text{eV}&=(e)(1\text{V})=1.6\times 10^{-19}\text{J}\end{aligned}\]

Функцію електричного потенціалу можна визначити двома різними способами:

1. Моделюючи розподіл зарядів як суму нескінченно малих точкових зарядів\(dq\), і складаючи разом електричні потенціали\(dV\), від усіх зарядів,\(dq\). Це вимагає, щоб один вибрати,\(0\text{V}\) щоб він був розташований на нескінченності, щоб всі\(dV\) вони були відносно однієї і тієї ж точки.
2. Розраховуючи електричне поле (або як інтеграл, або за законом Гауса), і використовуючи:\[\begin{aligned} \Delta V &=V(\vec r_B)-V(\vec r_A)=-\int_A^B \vec E\cdot d\vec r\end{aligned}\]

Варто відзначити, що потрібно бути дуже обережним зі знаками при використанні вищевказаного інтеграла. Зокрема, відзначимо, що береться негатив інтеграла\(B\), від\(A\) до, щоб визначити потенціал при\(B\) мінус потенціал при\(A\).

Аналогічно можна визначити величину електричного поля\(\vec E(\vec r)=\vec E(x,y,z)\), з електричного потенціалу,\(V(\vec r)=V(x,y,z)\):\[\begin{aligned} \vec E(x,y,z) = -\nabla V =-\frac{\partial V}{\partial x}\hat x-\frac{\partial V}{\partial y}\hat y-\frac{\partial V}{\partial z}\hat z\end{aligned}\] де,\(\nabla V\), - градієнт електричного потенціалу.

Електричний потенціал можна візуалізувати різними способами. Найбільш поширеним є накреслення контурів постійного електричного потенціалу, схожих на контури на географічних картах, які використовуються для показу областей постійної висоти (тобто постійної гравітаційної потенційної енергії).

Області постійного електричного потенціалу називаються «рівнопотенціалами», і можуть бути лініями, поверхнями або обсягами. Рівнопотенціали завжди перпендикулярні електричному полю. В електростатиці (коли заряди не рухаються) електричне поле в провіднику повинно бути нульовим, щоб провідник завжди утворював рівнопотенціал, а електричне поле на поверхні провідника завжди було перпендикулярно поверхні.

Коли заряди будуть розміщені на провіднику, вони будуть поширюватися по зовнішній поверхні провідника. Поверхнева щільність зарядів буде найвищою там, де провідник має найменший радіус кривизни (наприклад, у різкій точці). Отже, електричне поле на поверхні зарядженого провідника найбільш високе поблизу гострих точок.

Конденсатори - це пристрої, які використовуються для зберігання заряду. Зазвичай вони виготовляються за допомогою двох провідних пластин («клем» або «електродів»), які утримують рівний і протилежний заряд\(Q\), при фіксованій різниці\(\Delta V\) потенціалів, між електродами. Кількість заряду, яке зберігається на конденсаторі, спостерігається пропорційно різниці потенціалів між електродами:\[\begin{aligned} Q=C\Delta V\end{aligned}\] де константа пропорційності\(C\), називається «ємністю» конденсатора. Одиницею ємності S.I. є «Фарад» (F). Ємність конденсатора залежить від його геометрії (наприклад, його розміру) та матеріалів, які він розміщений між електродами.

Зазвичай між двома електродами поміщають діелектричний матеріал для того, щоб збільшити ємність, і знизити ризик пробою. Якщо цей матеріал має «діелектричну проникність»\(K\), то ємність задається:\[\begin{aligned} C=KC_0\end{aligned}\] де\(C_0\), відповідає ємності, якщо між електродами був розрідження. Діелектрична проникність повітря дуже близька до 1, так що конденсатор в повітрі дуже схожий на конденсатор у вакуумі. Діелектричний матеріал - це той, який складається з молекул, які можуть поляризуватися під присутністю електричного поля; тобто молекули мають електричний дипольний момент. Коли молекули в матеріалі поляризуються, це зменшує загальне електричне поле в матеріалі, що збільшує ємність конденсатора. Усередині діелектричного матеріалу ми можемо визначити «діелектричну проникність»\(\epsilon\), як:\[\begin{aligned} \epsilon=K\epsilon_0\end{aligned}\] де\(\epsilon_0\) діелектрична проникність вільного простору. У діелектричному матеріалі Закон Гаусса модифікований таким чином:\[\begin{aligned} \oint \vec E \cdot d\vec A=\frac{Q^{enc}}{\epsilon}\end{aligned}\]

Оскільки заряди утримуються при фіксованій різниці потенціалів на конденсаторі, конденсатори є способом зберігання енергії електричного потенціалу. Кількість енергії електричного потенціалу, що зберігається в конденсаторі з ємністю\(C\), коли конденсатор має різницю\(\Delta V\) потенціалів, через його електроди задається:\[\begin{aligned} U = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2}C(\Delta V)^2=\frac{1}{2}Q\Delta V\end{aligned}\]

Важливі рівняння

Електрична потенційна енергія від точкового заряду

\[\begin{aligned} U(r)=\frac{kQq}{r}+C\end{aligned}\]

Електричний потенціал

\[\begin{aligned} V=\frac{U}{q}\end{aligned}\]

Електричний потенціал:

\[\begin{aligned} \Delta V = V(\vec r_B)-V(\vec r_A)\\ \Delta V = -\int_{A}^{B}\vec E \cdot d\vec r\end{aligned}\]

Електричне поле:

\[\begin{aligned} \vec E=-\nabla V =-\frac{\partial V}{\partial x}\hat x-\frac{\partial V}{\partial y}\hat y-\frac{\partial V}{\partial z}\hat z\end{aligned}\]

Електричний потенціал від точкового заряду

\[\begin{aligned} V(r)=\frac{kQ}{r}+C\end{aligned}\]

Електричний потенціал між двома паралельними пластинами

\[\begin{aligned} \Delta V = EL\end{aligned}\]

Заряд, що зберігається в конденсаторі:

\[\begin{aligned} Q = C\Delta V\end{aligned}\]

Енергія, що зберігається в конденсаторі

\[\begin{aligned} U = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2}C(\Delta V)^2=\frac{1}{2}Q\Delta V\end{aligned}\]

Важливі визначення

Визначення

Електричний потенціал: Електрична потенційна енергія на одиницю заряду. Одиниці СІ:\([\text{V}]\). Загальна змінна (и):\(V\), часто з'являється як\(\Delta V\) (різниця потенціалів).

Визначення

Ємність: Скільки заряду може утримувати конденсатор, враховуючи різницю потенціалів між клемами конденсатора. Одиниці СІ:\([\text{F}]\). Загальна змінна (и):\(C\).

Визначення

Діелектрична проникність: постійна, яка визначається як (безрозмірне) співвідношення діелектричної проникності речовини та діелектричної проникності вакууму. Загальна змінна (и):\(K\).