18.4: Електричне поле і потенціал на поверхні провідника

Якщо розглядати провідну сферу радіуса\(R\), з зарядом\(+Q\), електричне поле на поверхні сфери задається:\[\begin{aligned} E=k\frac{Q}{R^2}\end{aligned}\] як ми знайшли в главі 17. Якщо визначити електричний потенціал рівним нулю на нескінченності, то електричний потенціал на поверхні сфери задається:\[\begin{aligned} V=k\frac{Q}{R}\end{aligned}\] Зокрема, електричне поле на поверхні сфери пов'язане з електричним потенціалом на її поверхні шляхом:\[\begin{aligned} E=\frac{V}{R}\end{aligned}\] Таким чином, якщо дві сфери знаходяться в одному електричному потенціал, той, що має менший радіус, матиме сильніше електричне поле на своїй поверхні.

Оскільки провідна сфера симетрична, заряди будуть розподілятися симетрично навколо всієї зовнішньої поверхні сфери. Заряд на одиницю площі\(\sigma\), на поверхні сфери, таким чином, задається:\[\begin{aligned} \sigma &= \frac{Q}{4\pi R^2}\end{aligned}\] Щільність заряду може бути пов'язана\(k\) з електричним полем на поверхні сфери:\[\begin{aligned} E&=k\frac{Q}{R^2}=k\frac{4\pi R^2\sigma}{R^2}=4\pi\sigma k=\frac{\sigma}{\epsilon_0}\end{aligned}\] де в останній рівності ми використовували\(\epsilon_0\) і підтвердили загальний результат з розділу 17.3, де ми визначили електричне поле поблизу провідника з поверхневим зарядом,\(\sigma\).

Розглянемо сферу радіуса\(R_1\), що несе загальний заряд,\(+Q\). Нейтральну другу, меншу, провідну сферу, радіуса\(R_2\) потім з'єднують з першою сферою, використовуючи провідний провід, як на малюнку\(\PageIndex{1}\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Дві провідні сфери з'єднуються провідним проводом. Заряд\(Q\), який спочатку був на більшій сфері, розподіляється на дві сфери.

Оскільки заряди на великій сфері можуть вільно переміщатися, деякі з них будуть переміщатися в меншу сферу. Дуже швидко заряди перестануть рухатися і сфери радіусу,\(R_1\) причому\(R_2\), в кінцевому підсумку будуть нести заряди,\(Q_1\) і\(Q_2\), відповідно (припускаємо, що провід досить малий, щоб мізерно малі суми заряду розподілялися на провід). Оскільки дві провідні сфери з'єднані провідником, вони утворюють рівнопотенціал, і, таким чином, знаходяться при однаковій напрузі\(V\), щодо нескінченності. Оскільки дві сфери знаходяться в одному електричному потенціалі, електричне поле на поверхні кожної сфери пов'язані між собою:\[\begin{aligned} E_1&=\frac{V}{R_1}\\ E_2&=\frac{V}{R_2}\\ \therefore \frac{E_2}{E_1}&=\frac{R_1}{R_2}\\ \therefore E_2&=E_1\frac{R_1}{R_2}\end{aligned}\] і електричне поле на поверхні меншої сфери\(E_2\), з тих пір сильніше\(R_2<R_1\). Ми також можемо порівняти щільності поверхневого заряду на двох сферах:\[\begin{aligned} E_1&=\frac{\sigma_1}{\epsilon_0}\\ E_2&=\frac{\sigma_2}{\epsilon_0}\\ \therefore \frac{\sigma_2}{\sigma_1}&=\frac{E_2}{E_1}=\frac{R_1}{R_2}\\ \therefore \sigma_2&=\sigma_1 \frac{R_1}{R_2}\end{aligned}\] і ми виявимо, що щільність заряду вища на меншій сфері. Таким чином, на меншій сфері є більше зарядів на одиницю площі, ніж більша сфера.

Ми можемо узагальнити цю модель для опису зарядів на будь-якому зарядженому провідному об'єкті. Якщо заряди відкладаються на провідний об'єкт, який не є сферою, як на малюнку\(\PageIndex{2}\), вони не будуть розподілятися рівномірно. Натомість буде більша щільність заряду (заряди на одиницю площі), поблизу частин об'єкта, які мають невеликий радіус кривизни (гострі точки на об'єкті зокрема), так само, як щільність заряду була вищою на меншій сфері, описаній вище. Внаслідок більш високої концентрації зарядів поблизу «пуантьє» частин об'єкта електричне поле на поверхні буде найсильнішим в тих областях (так як воно сильніше у поверхні більш дрібної сфери, описаної вище).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): На нерівному провіднику заряди будуть накопичуватися на більш гострих точках, де радіус кривизни найменший.

У повітрі, якщо електричне поле перевищує величину приблизно\(3\times 10^{6}\text{V/m}\), повітря, як кажуть, «електричний прорив». Сильне електричне поле може видаляти електрон з атомів у повітрі, іонізуючи повітря в ланцюговій реакції і роблячи його провідним. Таким чином, якщо електричне поле в точці на поверхні провідника дуже сильне, повітря поблизу цієї точки зламається, і заряди покинуть провідник через повітря, щоб знайти місце з меншою енергією електричного потенціалу (як правило, земля). Електричний прорив - це те, що ми відчуваємо як іскру (або блискавку, у більшому масштабі), і зазвичай є дискретною (і потенційно драматичною) подією. Коронний розряд - це ще один механізм, за допомогою якого сильне електричне поле може зробити повітря провідним, але в цьому випадку заряди витікають у повітря більш поступово, на відміну від електричного руйнування. Заряди, що просочуються в повітря через коронний розряд, випромінюють слабке блакитне світло («Корона»), а також чутний шиплячий звук.

Предмети, які призначені для утримання високого електричного потенціалу (наприклад, електроди на високовольтних лініях) зазвичай виготовляються дуже обережно, щоб вони мали дуже гладку поверхню і не мали гострих країв. Це зменшує ризик пробою або коронного розряду на поверхні, що призведе до втрати заряду.

Всупереч поширеній думці, громовідводи не призначені для залучення освітлення. Натомість громовідводи призначені для провідників з дуже гострою точкою, так що коронний розряд може відбуватися на їх кінчику. Це дозволяє зарядам повільно витікати з Землі в хмару через коронний розряд, тим самим зменшуючи різницю потенціалів між хмарою і Землею, щоб не сталося удару блискавки (електричного пробою). Коли трапляється удар блискавки, він потрапить у громовідвід, оскільки електричне поле у верхній частині стрижня високе, і це найімовірніша точка для руйнування повітря; але це не мета громовідводу!