18.3: Розрахунок електричного потенціалу за розподілами заряду

У цьому розділі ми наведемо два приклади визначення електричного потенціалу для різних розподілів зарядів. У нас є два методи, які ми можемо використовувати для розрахунку електричного потенціалу з розподілу зарядів:

1. Моделюйте розподіл заряду як суму нескінченно малих точкових зарядів\(dq\), і складіть разом електричні потенціали\(dV\), від усіх зарядів\(dq\). Це вимагає,\(0\text{V}\) щоб один вибирав розташовуватися на нескінченності, так що всі\(dV\) вони відносно однієї точки.
2. Обчисліть електричне поле (або як інтеграл, або за законом Гауса), і використовуйте:\[\begin{aligned} \Delta V &=V(\vec r_B)-V(\vec r_A)=-\int_A^B \vec E\cdot d\vec r\end{aligned}\]

Перший метод схожий на те, як ми розрахували електричне поле для розподілених зарядів у главі 16, але зі спрощенням, що нам потрібно лише підсумувати скаляри замість векторів. Другий спосіб вже був введений в цьому розділі.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Кільце радіусу\(R\) carries a total charge \(+Q\). Determine the electric potential a distance \(a\) from the center of the ring, along the axis of symmetry of the ring. Assume that zero electric potential is defined at infinity.

Рішення:

\(\PageIndex{1}\)На малюнку показана діаграма кільця, і наш вибір нескінченно малого заряду,\(dq\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Визначення електричного потенціалу на осі кільця радіуса,\(R\) що несе заряд\(Q\).

Для того, щоб обчислити електричний потенціал в точці\(P\), з\(0\text{V}\) визначеною бути на нескінченності, спочатку обчислимо нескінченно малий потенціал в\(P\) від нескінченно малого точкового заряду,\(dq\):\[\begin{aligned} dV=k\frac{dq}{r}\end{aligned}\] Загальний електричний потенціал то сума (інтеграл) цих потенціалів:\[\begin{aligned} V=\int dV=\int k\frac{dq}{r} = \frac{k}{r}\int dq=k\frac{Q}{r}=k\frac{Q}{\sqrt{a^2+R^2}}\end{aligned}\] де ми визнали, що\(k\) і\(r\) однакові для кожного\(dq\), так що вони могли б вивести з інтеграла. \(\int dq=Q\)то просто сума нескінченно малих зарядів, які повинні додати до заряду кільця.

Обговорення:

У цьому прикладі ми визначили електричний потенціал, щодо нескінченності, відстань\(a\) від центру зарядового кільця, вздовж його осі симетрії. Ми змоделювали кільце як складене з безлічі нескінченно малих точкових зарядів і підсумовували нескінченно малі електричні потенціали від цих зарядів відносно нескінченності. Це було набагато простіше, ніж визначити електричне поле, так як електричний потенціал є скалярним і нам не потрібно розглядати, як будуть скасовуватися компоненти з різних\(dq\) уздовж кільця.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Довгий, тонкий, прямий провід несе рівномірний заряд на одиницю довжини,\(\lambda\). Встановлено, що різниця електричних потенціалів між точками, розташованими на відстанях\(r_B=2\text{cm}\) і\(r_A=1\text{cm}\) від дроту\(V(r_B)-V(r_A)=-100\text{V}\). Яка лінійна щільність заряду на дроті,\(\lambda\)?

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Довгий тонкий провід з вимірюваннями електричного потенціалу в різних точках.

Рішення:

У цьому випадку ми можемо використовувати Закон Гауса для визначення електричного поля на певній відстані від дроту. З цього ми можемо обчислити різницю електричних потенціалів між будь-якими двома точками біля проводу, і, таким чином, щільність заряду на дроті.

Використовуючи циліндричну поверхню довжини та радіуса\(r\), ми можемо використовувати Закон Гауса для визначення поля на відстані від дроту:\[\begin{aligned} \oint \vec E\cdot d\vec A&=\frac{Q^{enc}}{\epsilon_0}\\ 2\pi r L E&= \frac{\lambda L}{\epsilon_0}\\ \therefore \vec E(r)&=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}\hat r\end{aligned}\] Використовуючи електричне поле, ми можемо обчислити різницю потенціалів між двома точками, які знаходяться в\(L\)\(r\) відстані,\(r_A\) і\(r_B\), від дроту:\[\begin{aligned} \Delta V &=V(r_B)-V(r_A)=-\int_{r_A}^{r_B} \vec E\cdot d\vec r\\ &=-\int_{r_A}^{r_B} \left( \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r}\hat r \right)\cdot d\vec r=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\int_{r_A}^{r_B} \frac{1}{r}\hat r \cdot d\vec r=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\int_{r_A}^{r_B} \frac{1}{r}dr\\ &=-\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\left[|\ln(r)|\right]_{r_A}^{r_B} = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\left(\frac{r_B}{r_A}\right)\\ \therefore\Delta V &=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\left(\frac{r_A}{r_B}\right)\end{aligned}\] де в другому останньому рядку ми прибрали абсолютне значення з логарифма, так як\(r_A<r_B\), і в останньому рядку ми прибрали знак мінус, перевернувши аргумент логарифма. Оскільки нам відома різниця потенціалів\(\Delta V\), то для двох точок, розташованих на відстанях\(r_B=2\text{cm}\) і\(r_A=1\text{cm}\), ми можемо визначити щільність заряду на дроті:\[\begin{aligned} \Delta V &=V(r_B)-V(r_A)=-100\text{V}\\ \Delta V &=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\left(\frac{r_A}{r_B}\right)\\ \therefore \lambda &= \frac{2\pi\epsilon_0\Delta V}{\ln\left(\frac{r_A}{r_B}\right)}=\frac{2\pi(8.85\times 10^{-12}\text{C}^2\cdot \text{N}^{-1}\cdot \text{m}^{-2})(-100\text{V})}{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}=8.02\times 10^{-9}\text{C/m}\end{aligned}\] де, знову ж таки, потрібно бути дуже обережним зі знаками! Зверніть увагу, що також має сенс, що різниця потенціалів\(\Delta V =V(r_B)-V(r_A)\), є негативною, оскільки\(r_A\) ближче до позитивно зарядженого проводу. Позитивний заряд в спокої віддалявся б від позитивно зарядженого дроту, від\(r_A\) до\(r_B\), від високого потенціалу до низького потенціалу.

Обговорення:

У цьому прикладі ми показали, як визначити електричний потенціал поблизу нескінченно довгого зарядженого проводу за допомогою електричного поля, яке ми визначили за законом Гауса. Знаючи різницю потенціалів між двома точками біля проводу, ми потім змогли зробити висновок про щільність заряду на дроті.